Номер 4.54, страница 110 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Серия: мгу - школе
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087641-4
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 4. Производная. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 4.54, страница 110.
№4.54 (с. 110)
Условие. №4.54 (с. 110)
скриншот условия

4.54* a) $f(x) = e^{x^3};$
б) $f(x) = e^{-x^4};$
в) $f(x) = 3^{x^3};$
г) $f(x) = 5^{-x^4};$
д) $f(x) = e^{\sin x};$
е) $f(x) = 9^{\cos x}.$
Решение 1. №4.54 (с. 110)






Решение 2. №4.54 (с. 110)

Решение 3. №4.54 (с. 110)

Решение 4. №4.54 (с. 110)
Для нахождения производных заданных функций мы будем использовать правило дифференцирования сложной функции (цепное правило), которое гласит: если $h(x) = g(f(x))$, то $h'(x) = g'(f(x)) \cdot f'(x)$. Также нам понадобятся формулы производных показательной функции:
- $(e^u)' = e^u \cdot u'$
- $(a^u)' = a^u \ln(a) \cdot u'$
а) f(x) = $e^{x^3}$
Это сложная функция, где внешняя функция — это экспонента, а внутренняя — степенная функция $u(x) = x^3$.
Применим цепное правило: $f'(x) = (e^{x^3})' = e^{x^3} \cdot (x^3)'$
Находим производную внутренней функции: $(x^3)' = 3x^2$.
Подставляем результат в выражение для производной:
$f'(x) = e^{x^3} \cdot 3x^2 = 3x^2 e^{x^3}$
Ответ: $f'(x) = 3x^2 e^{x^3}$
б) f(x) = $e^{-x^4}$
Данная функция является сложной. Внешняя функция — $e^u$, внутренняя — $u(x) = -x^4$.
По цепному правилу, производная равна произведению производной внешней функции по внутренней и производной внутренней функции:
$f'(x) = (e^{-x^4})' = e^{-x^4} \cdot (-x^4)'$
Производная внутренней функции: $(-x^4)' = -4x^3$.
Таким образом, производная всей функции:
$f'(x) = e^{-x^4} \cdot (-4x^3) = -4x^3 e^{-x^4}$
Ответ: $f'(x) = -4x^3 e^{-x^4}$
в) f(x) = $3^{x^3}$
Это сложная показательная функция вида $a^{u(x)}$ с основанием $a=3$ и показателем $u(x) = x^3$.
Воспользуемся формулой $(a^u)' = a^u \ln(a) \cdot u'$:
$f'(x) = (3^{x^3})' = 3^{x^3} \ln(3) \cdot (x^3)'$
Производная показателя: $(x^3)' = 3x^2$.
Собираем все вместе:
$f'(x) = 3^{x^3} \ln(3) \cdot 3x^2 = 3x^2 \cdot 3^{x^3} \ln(3)$
Ответ: $f'(x) = 3x^2 \cdot 3^{x^3} \ln(3)$
г) f(x) = $5^{-x^4}$
Это сложная показательная функция, где $a=5$ и $u(x) = -x^4$.
Применяем формулу для производной показательной функции и цепное правило:
$f'(x) = (5^{-x^4})' = 5^{-x^4} \ln(5) \cdot (-x^4)'$
Находим производную показателя степени: $(-x^4)' = -4x^3$.
Подставляем и получаем конечный результат:
$f'(x) = 5^{-x^4} \ln(5) \cdot (-4x^3) = -4x^3 \cdot 5^{-x^4} \ln(5)$
Ответ: $f'(x) = -4x^3 \cdot 5^{-x^4} \ln(5)$
д) f(x) = $e^{\sin x}$
Это сложная функция, где внешняя функция — $e^u$, а внутренняя — $u(x) = \sin x$.
Используем цепное правило:
$f'(x) = (e^{\sin x})' = e^{\sin x} \cdot (\sin x)'$
Производная синуса: $(\sin x)' = \cos x$.
Следовательно, производная исходной функции:
$f'(x) = e^{\sin x} \cdot \cos x = \cos x \cdot e^{\sin x}$
Ответ: $f'(x) = \cos x \cdot e^{\sin x}$
е) f(x) = $9^{\cos x}$
Это сложная показательная функция с основанием $a=9$ и показателем $u(x) = \cos x$.
Используем формулу $(a^u)' = a^u \ln(a) \cdot u'$:
$f'(x) = (9^{\cos x})' = 9^{\cos x} \ln(9) \cdot (\cos x)'$
Производная косинуса: $(\cos x)' = -\sin x$.
Подставляем и получаем:
$f'(x) = 9^{\cos x} \ln(9) \cdot (-\sin x) = -\sin x \cdot 9^{\cos x} \ln(9)$
Можно упростить логарифм: $\ln(9) = \ln(3^2) = 2\ln(3)$.
$f'(x) = -\sin x \cdot 9^{\cos x} \cdot 2\ln(3) = -2\ln(3) \sin x \cdot 9^{\cos x}$
Ответ: $f'(x) = -2\ln(3) \sin x \cdot 9^{\cos x}$
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 4.54 расположенного на странице 110 к учебнику серии мгу - школе 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №4.54 (с. 110), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.