Номер 4.54, страница 110 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Функции. Производные. Интегралы. Параграф 4. Производная - номер 4.54, страница 110.

Условие.

4.54* a) $f(x) = e^{x^3};$
б) $f(x) = e^{-x^4};$
в) $f(x) = 3^{x^3};$
г) $f(x) = 5^{-x^4};$
д) $f(x) = e^{\sin x};$
е) $f(x) = 9^{\cos x}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для нахождения производных заданных функций мы будем использовать правило дифференцирования сложной функции (цепное правило), которое гласит: если $h(x) = g(f(x))$, то $h'(x) = g'(f(x)) \cdot f'(x)$. Также нам понадобятся формулы производных показательной функции:

• $(e^u)' = e^u \cdot u'$
• $(a^u)' = a^u \ln(a) \cdot u'$

а) f(x) = $e^{x^3}$

Это сложная функция, где внешняя функция — это экспонента, а внутренняя — степенная функция $u(x) = x^3$.

Применим цепное правило: $f'(x) = (e^{x^3})' = e^{x^3} \cdot (x^3)'$

Находим производную внутренней функции: $(x^3)' = 3x^2$.

Подставляем результат в выражение для производной:

$f'(x) = e^{x^3} \cdot 3x^2 = 3x^2 e^{x^3}$

Ответ: $f'(x) = 3x^2 e^{x^3}$

б) f(x) = $e^{-x^4}$

Данная функция является сложной. Внешняя функция — $e^u$, внутренняя — $u(x) = -x^4$.

По цепному правилу, производная равна произведению производной внешней функции по внутренней и производной внутренней функции:

$f'(x) = (e^{-x^4})' = e^{-x^4} \cdot (-x^4)'$

Производная внутренней функции: $(-x^4)' = -4x^3$.

Таким образом, производная всей функции:

$f'(x) = e^{-x^4} \cdot (-4x^3) = -4x^3 e^{-x^4}$

Ответ: $f'(x) = -4x^3 e^{-x^4}$

в) f(x) = $3^{x^3}$

Это сложная показательная функция вида $a^{u(x)}$ с основанием $a=3$ и показателем $u(x) = x^3$.

Воспользуемся формулой $(a^u)' = a^u \ln(a) \cdot u'$:

$f'(x) = (3^{x^3})' = 3^{x^3} \ln(3) \cdot (x^3)'$

Производная показателя: $(x^3)' = 3x^2$.

Собираем все вместе:

$f'(x) = 3^{x^3} \ln(3) \cdot 3x^2 = 3x^2 \cdot 3^{x^3} \ln(3)$

Ответ: $f'(x) = 3x^2 \cdot 3^{x^3} \ln(3)$

г) f(x) = $5^{-x^4}$

Это сложная показательная функция, где $a=5$ и $u(x) = -x^4$.

Применяем формулу для производной показательной функции и цепное правило:

$f'(x) = (5^{-x^4})' = 5^{-x^4} \ln(5) \cdot (-x^4)'$

Находим производную показателя степени: $(-x^4)' = -4x^3$.

Подставляем и получаем конечный результат:

$f'(x) = 5^{-x^4} \ln(5) \cdot (-4x^3) = -4x^3 \cdot 5^{-x^4} \ln(5)$

Ответ: $f'(x) = -4x^3 \cdot 5^{-x^4} \ln(5)$

д) f(x) = $e^{\sin x}$

Это сложная функция, где внешняя функция — $e^u$, а внутренняя — $u(x) = \sin x$.

Используем цепное правило:

$f'(x) = (e^{\sin x})' = e^{\sin x} \cdot (\sin x)'$

Производная синуса: $(\sin x)' = \cos x$.

Следовательно, производная исходной функции:

$f'(x) = e^{\sin x} \cdot \cos x = \cos x \cdot e^{\sin x}$

Ответ: $f'(x) = \cos x \cdot e^{\sin x}$

е) f(x) = $9^{\cos x}$

Это сложная показательная функция с основанием $a=9$ и показателем $u(x) = \cos x$.

Используем формулу $(a^u)' = a^u \ln(a) \cdot u'$:

$f'(x) = (9^{\cos x})' = 9^{\cos x} \ln(9) \cdot (\cos x)'$

Производная косинуса: $(\cos x)' = -\sin x$.

Подставляем и получаем:

$f'(x) = 9^{\cos x} \ln(9) \cdot (-\sin x) = -\sin x \cdot 9^{\cos x} \ln(9)$

Можно упростить логарифм: $\ln(9) = \ln(3^2) = 2\ln(3)$.

$f'(x) = -\sin x \cdot 9^{\cos x} \cdot 2\ln(3) = -2\ln(3) \sin x \cdot 9^{\cos x}$

Ответ: $f'(x) = -2\ln(3) \sin x \cdot 9^{\cos x}$