Номер 4.59, страница 110 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Функции. Производные. Интегралы. Параграф 4. Производная - номер 4.59, страница 110.

Условие.

4.59 a) $f(x) = \ln (3x);$

б) $f(x) = \ln (5 - 2x);$

в) $f(x) = \log_{5} (-3x - 1);$

г) $f(x) = \lg (2x + 4).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) $f(x) = \ln(3x)$

Для нахождения производной данной функции используется правило дифференцирования сложной функции (цепное правило): $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$. Также нам понадобится формула производной натурального логарифма: $(\ln x)' = \frac{1}{x}$.

В данном случае, внешняя функция — это натуральный логарифм $\ln(u)$, а внутренняя функция — $u(x) = 3x$.

Производная внешней функции по ее аргументу $u$: $(\ln u)' = \frac{1}{u}$.

Производная внутренней функции по $x$: $(3x)' = 3$.

Применяя цепное правило, получаем:

$f'(x) = (\ln(3x))' = \frac{1}{3x} \cdot (3x)' = \frac{1}{3x} \cdot 3 = \frac{3}{3x} = \frac{1}{x}$.

Ответ: $f'(x) = \frac{1}{x}$.

б) $f(x) = \ln(5 - 2x)$

Аналогично предыдущему пункту, используем цепное правило. Внешняя функция — $\ln(u)$, внутренняя функция — $u(x) = 5 - 2x$.

Производная внутренней функции:

$(5 - 2x)' = (5)' - (2x)' = 0 - 2 = -2$.

Собираем производную сложной функции:

$f'(x) = (\ln(5 - 2x))' = \frac{1}{5 - 2x} \cdot (5 - 2x)' = \frac{1}{5 - 2x} \cdot (-2) = -\frac{2}{5 - 2x} = \frac{2}{-(5 - 2x)} = \frac{2}{2x - 5}$.

Ответ: $f'(x) = \frac{2}{2x - 5}$.

в) $f(x) = \log_5(-3x - 1)$

Здесь используется производная логарифма по основанию $a$: $(\log_a u)' = \frac{1}{u \ln a} \cdot u'$.

Это также сложная функция. Внешняя функция — $\log_5(u)$, внутренняя функция — $u(x) = -3x - 1$. Основание логарифма $a=5$.

Производная внутренней функции:

$(-3x - 1)' = (-3x)' - (1)' = -3 - 0 = -3$.

Применяем формулу для производной сложной логарифмической функции:

$f'(x) = (\log_5(-3x - 1))' = \frac{1}{(-3x - 1)\ln 5} \cdot (-3x - 1)' = \frac{1}{(-3x - 1)\ln 5} \cdot (-3) = \frac{-3}{(-3x - 1)\ln 5} = \frac{3}{(3x + 1)\ln 5}$.

Ответ: $f'(x) = \frac{3}{(3x + 1)\ln 5}$.

г) $f(x) = \lg(2x + 4)$

Символ $\lg$ обозначает десятичный логарифм, то есть логарифм по основанию 10. Таким образом, $f(x) = \log_{10}(2x + 4)$.

Используем ту же формулу, что и в пункте в), с основанием $a=10$. Внутренняя функция $u(x) = 2x + 4$.

Производная внутренней функции:

$(2x + 4)' = (2x)' + (4)' = 2 + 0 = 2$.

Находим производную исходной функции:

$f'(x) = (\lg(2x + 4))' = \frac{1}{(2x + 4)\ln 10} \cdot (2x + 4)' = \frac{1}{(2x + 4)\ln 10} \cdot 2 = \frac{2}{2(x + 2)\ln 10} = \frac{1}{(x + 2)\ln 10}$.

Ответ: $f'(x) = \frac{1}{(x + 2)\ln 10}$.