Номер 4.59, страница 110 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Серия: мгу - школе
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087641-4
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 4. Производная. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 4.59, страница 110.
№4.59 (с. 110)
Условие. №4.59 (с. 110)
скриншот условия

4.59 a) $f(x) = \ln (3x);$
б) $f(x) = \ln (5 - 2x);$
в) $f(x) = \log_{5} (-3x - 1);$
г) $f(x) = \lg (2x + 4).$
Решение 1. №4.59 (с. 110)




Решение 2. №4.59 (с. 110)

Решение 4. №4.59 (с. 110)
а) $f(x) = \ln(3x)$
Для нахождения производной данной функции используется правило дифференцирования сложной функции (цепное правило): $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$. Также нам понадобится формула производной натурального логарифма: $(\ln x)' = \frac{1}{x}$.
В данном случае, внешняя функция — это натуральный логарифм $\ln(u)$, а внутренняя функция — $u(x) = 3x$.
Производная внешней функции по ее аргументу $u$: $(\ln u)' = \frac{1}{u}$.
Производная внутренней функции по $x$: $(3x)' = 3$.
Применяя цепное правило, получаем:
$f'(x) = (\ln(3x))' = \frac{1}{3x} \cdot (3x)' = \frac{1}{3x} \cdot 3 = \frac{3}{3x} = \frac{1}{x}$.
Ответ: $f'(x) = \frac{1}{x}$.
б) $f(x) = \ln(5 - 2x)$
Аналогично предыдущему пункту, используем цепное правило. Внешняя функция — $\ln(u)$, внутренняя функция — $u(x) = 5 - 2x$.
Производная внутренней функции:
$(5 - 2x)' = (5)' - (2x)' = 0 - 2 = -2$.
Собираем производную сложной функции:
$f'(x) = (\ln(5 - 2x))' = \frac{1}{5 - 2x} \cdot (5 - 2x)' = \frac{1}{5 - 2x} \cdot (-2) = -\frac{2}{5 - 2x} = \frac{2}{-(5 - 2x)} = \frac{2}{2x - 5}$.
Ответ: $f'(x) = \frac{2}{2x - 5}$.
в) $f(x) = \log_5(-3x - 1)$
Здесь используется производная логарифма по основанию $a$: $(\log_a u)' = \frac{1}{u \ln a} \cdot u'$.
Это также сложная функция. Внешняя функция — $\log_5(u)$, внутренняя функция — $u(x) = -3x - 1$. Основание логарифма $a=5$.
Производная внутренней функции:
$(-3x - 1)' = (-3x)' - (1)' = -3 - 0 = -3$.
Применяем формулу для производной сложной логарифмической функции:
$f'(x) = (\log_5(-3x - 1))' = \frac{1}{(-3x - 1)\ln 5} \cdot (-3x - 1)' = \frac{1}{(-3x - 1)\ln 5} \cdot (-3) = \frac{-3}{(-3x - 1)\ln 5} = \frac{3}{(3x + 1)\ln 5}$.
Ответ: $f'(x) = \frac{3}{(3x + 1)\ln 5}$.
г) $f(x) = \lg(2x + 4)$
Символ $\lg$ обозначает десятичный логарифм, то есть логарифм по основанию 10. Таким образом, $f(x) = \log_{10}(2x + 4)$.
Используем ту же формулу, что и в пункте в), с основанием $a=10$. Внутренняя функция $u(x) = 2x + 4$.
Производная внутренней функции:
$(2x + 4)' = (2x)' + (4)' = 2 + 0 = 2$.
Находим производную исходной функции:
$f'(x) = (\lg(2x + 4))' = \frac{1}{(2x + 4)\ln 10} \cdot (2x + 4)' = \frac{1}{(2x + 4)\ln 10} \cdot 2 = \frac{2}{2(x + 2)\ln 10} = \frac{1}{(x + 2)\ln 10}$.
Ответ: $f'(x) = \frac{1}{(x + 2)\ln 10}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 4.59 расположенного на странице 110 к учебнику серии мгу - школе 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №4.59 (с. 110), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.