Номер 4.63, страница 111 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 4. Производная. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 4.63, страница 111.

Условие.

4.63 а) $f(x) = \sqrt{x};$

б) $f(x) = \sqrt[3]{x};$

в) $f(x) = \sqrt[3]{x^2};$

г) $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}};$

д) $f(x) = \frac{1}{\sqrt[3]{x}};$

е) $f(x) = \frac{1}{\sqrt[3]{x^2}};$

ж) $f(x) = x^2\sqrt{x};$

з) $f(x) = \frac{x^3}{\sqrt[3]{x}}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) Чтобы найти производную функции $f(x) = \sqrt{x}$, сначала представим ее в виде степенной функции: $f(x) = x^{1/2}$.
Далее используем формулу производной для степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$:
$f'(x) = (x^{1/2})' = \frac{1}{2}x^{1/2 - 1} = \frac{1}{2}x^{-1/2}$.
Теперь вернемся к записи с корнем:
$f'(x) = \frac{1}{2x^{1/2}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.
Ответ: $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

б) Представим функцию $f(x) = \sqrt[3]{x}$ в виде $f(x) = x^{1/3}$.
Найдем производную, используя ту же формулу:
$f'(x) = (x^{1/3})' = \frac{1}{3}x^{1/3 - 1} = \frac{1}{3}x^{-2/3}$.
Перепишем результат в виде корня:
$f'(x) = \frac{1}{3x^{2/3}} = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$.
Ответ: $f'(x) = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$.

в) Представим функцию $f(x) = \sqrt[3]{x^2}$ в виде $f(x) = x^{2/3}$.
Найдем производную:
$f'(x) = (x^{2/3})' = \frac{2}{3}x^{2/3 - 1} = \frac{2}{3}x^{-1/3}$.
Перепишем результат в виде корня:
$f'(x) = \frac{2}{3x^{1/3}} = \frac{2}{3\sqrt[3]{x}}$.
Ответ: $f'(x) = \frac{2}{3\sqrt[3]{x}}$.

г) Представим функцию $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$ в виде степенной функции с отрицательным показателем: $f(x) = \frac{1}{x^{1/2}} = x^{-1/2}$.
Найдем производную:
$f'(x) = (x^{-1/2})' = -\frac{1}{2}x^{-1/2 - 1} = -\frac{1}{2}x^{-3/2}$.
Перепишем результат в виде дроби с корнем:
$f'(x) = -\frac{1}{2x^{3/2}} = -\frac{1}{2x\sqrt{x}}$.
Ответ: $f'(x) = -\frac{1}{2x\sqrt{x}}$.

д) Представим функцию $f(x) = \frac{1}{\sqrt[3]{x}}$ в виде $f(x) = \frac{1}{x^{1/3}} = x^{-1/3}$.
Найдем производную:
$f'(x) = (x^{-1/3})' = -\frac{1}{3}x^{-1/3 - 1} = -\frac{1}{3}x^{-4/3}$.
Перепишем результат в виде дроби с корнем:
$f'(x) = -\frac{1}{3x^{4/3}} = -\frac{1}{3x\sqrt[3]{x}}$.
Ответ: $f'(x) = -\frac{1}{3x\sqrt[3]{x}}$.

е) Представим функцию $f(x) = \frac{1}{\sqrt[3]{x^2}}$ в виде $f(x) = \frac{1}{x^{2/3}} = x^{-2/3}$.
Найдем производную:
$f'(x) = (x^{-2/3})' = -\frac{2}{3}x^{-2/3 - 1} = -\frac{2}{3}x^{-5/3}$.
Перепишем результат в виде дроби с корнем:
$f'(x) = -\frac{2}{3x^{5/3}} = -\frac{2}{3x\sqrt[3]{x^2}}$.
Ответ: $f'(x) = -\frac{2}{3x\sqrt[3]{x^2}}$.

ж) Упростим функцию $f(x) = x^2\sqrt{x}$, представив ее в виде одной степени: $f(x) = x^2 \cdot x^{1/2} = x^{2 + 1/2} = x^{5/2}$.
Найдем производную:
$f'(x) = (x^{5/2})' = \frac{5}{2}x^{5/2 - 1} = \frac{5}{2}x^{3/2}$.
Перепишем результат в виде выражения с корнем:
$f'(x) = \frac{5}{2}x^{1+1/2} = \frac{5}{2}x\sqrt{x}$.
Ответ: $f'(x) = \frac{5}{2}x\sqrt{x}$.

з) Упростим функцию $f(x) = \frac{x^3}{\sqrt[3]{x}}$, представив ее в виде одной степени: $f(x) = \frac{x^3}{x^{1/3}} = x^{3 - 1/3} = x^{8/3}$.
Найдем производную:
$f'(x) = (x^{8/3})' = \frac{8}{3}x^{8/3 - 1} = \frac{8}{3}x^{5/3}$.
Перепишем результат в виде выражения с корнем:
$f'(x) = \frac{8}{3}x^{1+2/3} = \frac{8}{3}x\sqrt[3]{x^2}$.
Ответ: $f'(x) = \frac{8}{3}x\sqrt[3]{x^2}$.