Страница 111 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Укажите, при каких значениях x функция $f(x)$ имеет производную, и найдите эту производную, если (4.62—4.65):

4.62 a) $f(x) = x^{0.5}$;
б) $f(x) = x^{-0.5}$;
в) $f(x) = x^{4.2}$;
г) $f(x) = x^{-0.2}$;
д) $f(x) = x^{\frac{4}{3}}$;
е) $f(x) = x^{\frac{13}{3}}$;
ж) $f(x) = x^{-3.5}$;
з) $f(x) = x^{\frac{16}{3}}$.

а)

Функция $f(x) = x^{0,5}$ (или $f(x) = \sqrt{x}$) определена при $x \ge 0$.

Для нахождения производной используем формулу производной степенной функции $(x^a)' = ax^{a-1}$:

$f'(x) = (x^{0,5})' = 0,5 \cdot x^{0,5 - 1} = 0,5x^{-0,5} = \frac{1}{2x^{0,5}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

Выражение для производной определено, когда знаменатель не равен нулю, то есть $x \neq 0$. Учитывая область определения исходной функции, получаем, что производная существует при $x > 0$.

Ответ: производная существует при $x > 0$; $f'(x) = 0,5x^{-0,5}$.

б)

Функция $f(x) = x^{-0,5}$ (или $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$) определена при $x > 0$.

Находим производную по формуле $(x^a)' = ax^{a-1}$:

$f'(x) = (x^{-0,5})' = -0,5 \cdot x^{-0,5 - 1} = -0,5x^{-1,5}$.

Область определения производной $f'(x) = -\frac{0,5}{x^{1,5}}$ также $x > 0$. Таким образом, функция имеет производную на всей своей области определения.

Ответ: производная существует при $x > 0$; $f'(x) = -0,5x^{-1,5}$.

в)

Функция $f(x) = x^{4,2}$ определена при $x \ge 0$ (стандартное определение степенной функции с нецелым показателем).

Находим производную по формуле $(x^a)' = ax^{a-1}$:

$f'(x) = (x^{4,2})' = 4,2 \cdot x^{4,2 - 1} = 4,2x^{3,2}$.

Выражение для производной $f'(x)$ определено для всех $x \ge 0$. В частности, при $x=0$ производная существует и равна $f'(0) = 4,2 \cdot 0^{3,2} = 0$.

Ответ: производная существует при $x \ge 0$; $f'(x) = 4,2x^{3,2}$.

г)

Функция $f(x) = x^{-0,2}$ (или $f(x) = \frac{1}{x^{0,2}}$) определена при $x > 0$.

Находим производную по формуле $(x^a)' = ax^{a-1}$:

$f'(x) = (x^{-0,2})' = -0,2 \cdot x^{-0,2 - 1} = -0,2x^{-1,2}$.

Область определения производной $f'(x) = -\frac{0,2}{x^{1,2}}$ есть $x > 0$. Таким образом, функция имеет производную на всей своей области определения.

Ответ: производная существует при $x > 0$; $f'(x) = -0,2x^{-1,2}$.

д)

Функция $f(x) = x^{\frac{4}{3}}$ (или $f(x) = \sqrt[3]{x^4}$) определена для всех действительных чисел $x$, так как знаменатель показателя степени (3) нечетный.

Находим производную по формуле $(x^a)' = ax^{a-1}$:

$f'(x) = (x^{\frac{4}{3}})' = \frac{4}{3} \cdot x^{\frac{4}{3} - 1} = \frac{4}{3}x^{\frac{1}{3}} = \frac{4}{3}\sqrt[3]{x}$.

Производная $f'(x)$ определена для всех действительных чисел $x \in (-\infty, +\infty)$.

Ответ: производная существует при $x \in (-\infty, +\infty)$; $f'(x) = \frac{4}{3}x^{\frac{1}{3}}$.

е)

Функция $f(x) = x^{\frac{13}{3}}$ (или $f(x) = \sqrt[3]{x^{13}}$) определена для всех действительных чисел $x$, так как знаменатель показателя степени (3) нечетный.

Находим производную по формуле $(x^a)' = ax^{a-1}$:

$f'(x) = (x^{\frac{13}{3}})' = \frac{13}{3} \cdot x^{\frac{13}{3} - 1} = \frac{13}{3}x^{\frac{10}{3}}$.

Производная $f'(x) = \frac{13}{3}\sqrt[3]{x^{10}}$ определена для всех действительных чисел $x \in (-\infty, +\infty)$.

Ответ: производная существует при $x \in (-\infty, +\infty)$; $f'(x) = \frac{13}{3}x^{\frac{10}{3}}$.

ж)

Функция $f(x) = x^{-3,5}$ (или $f(x) = \frac{1}{x^{3,5}}$) определена при $x > 0$.

Находим производную по формуле $(x^a)' = ax^{a-1}$:

$f'(x) = (x^{-3,5})' = -3,5 \cdot x^{-3,5 - 1} = -3,5x^{-4,5}$.

Область определения производной $f'(x) = -\frac{3,5}{x^{4,5}}$ есть $x > 0$. Таким образом, функция имеет производную на всей своей области определения.

Ответ: производная существует при $x > 0$; $f'(x) = -3,5x^{-4,5}$.

з)

Функция $f(x) = x^{\frac{16}{3}}$ (или $f(x) = \sqrt[3]{x^{16}}$) определена для всех действительных чисел $x$, так как знаменатель показателя степени (3) нечетный.

Находим производную по формуле $(x^a)' = ax^{a-1}$:

$f'(x) = (x^{\frac{16}{3}})' = \frac{16}{3} \cdot x^{\frac{16}{3} - 1} = \frac{16}{3}x^{\frac{13}{3}}$.

Производная $f'(x) = \frac{16}{3}\sqrt[3]{x^{13}}$ определена для всех действительных чисел $x \in (-\infty, +\infty)$.

Ответ: производная существует при $x \in (-\infty, +\infty)$; $f'(x) = \frac{16}{3}x^{\frac{13}{3}}$.

4.63 а) $f(x) = \sqrt{x};$

б) $f(x) = \sqrt[3]{x};$

в) $f(x) = \sqrt[3]{x^2};$

г) $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}};$

д) $f(x) = \frac{1}{\sqrt[3]{x}};$

е) $f(x) = \frac{1}{\sqrt[3]{x^2}};$

ж) $f(x) = x^2\sqrt{x};$

з) $f(x) = \frac{x^3}{\sqrt[3]{x}}.$

а) Чтобы найти производную функции $f(x) = \sqrt{x}$, сначала представим ее в виде степенной функции: $f(x) = x^{1/2}$.
Далее используем формулу производной для степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$:
$f'(x) = (x^{1/2})' = \frac{1}{2}x^{1/2 - 1} = \frac{1}{2}x^{-1/2}$.
Теперь вернемся к записи с корнем:
$f'(x) = \frac{1}{2x^{1/2}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.
Ответ: $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

б) Представим функцию $f(x) = \sqrt[3]{x}$ в виде $f(x) = x^{1/3}$.
Найдем производную, используя ту же формулу:
$f'(x) = (x^{1/3})' = \frac{1}{3}x^{1/3 - 1} = \frac{1}{3}x^{-2/3}$.
Перепишем результат в виде корня:
$f'(x) = \frac{1}{3x^{2/3}} = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$.
Ответ: $f'(x) = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$.

в) Представим функцию $f(x) = \sqrt[3]{x^2}$ в виде $f(x) = x^{2/3}$.
Найдем производную:
$f'(x) = (x^{2/3})' = \frac{2}{3}x^{2/3 - 1} = \frac{2}{3}x^{-1/3}$.
Перепишем результат в виде корня:
$f'(x) = \frac{2}{3x^{1/3}} = \frac{2}{3\sqrt[3]{x}}$.
Ответ: $f'(x) = \frac{2}{3\sqrt[3]{x}}$.

г) Представим функцию $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$ в виде степенной функции с отрицательным показателем: $f(x) = \frac{1}{x^{1/2}} = x^{-1/2}$.
Найдем производную:
$f'(x) = (x^{-1/2})' = -\frac{1}{2}x^{-1/2 - 1} = -\frac{1}{2}x^{-3/2}$.
Перепишем результат в виде дроби с корнем:
$f'(x) = -\frac{1}{2x^{3/2}} = -\frac{1}{2x\sqrt{x}}$.
Ответ: $f'(x) = -\frac{1}{2x\sqrt{x}}$.

д) Представим функцию $f(x) = \frac{1}{\sqrt[3]{x}}$ в виде $f(x) = \frac{1}{x^{1/3}} = x^{-1/3}$.
Найдем производную:
$f'(x) = (x^{-1/3})' = -\frac{1}{3}x^{-1/3 - 1} = -\frac{1}{3}x^{-4/3}$.
Перепишем результат в виде дроби с корнем:
$f'(x) = -\frac{1}{3x^{4/3}} = -\frac{1}{3x\sqrt[3]{x}}$.
Ответ: $f'(x) = -\frac{1}{3x\sqrt[3]{x}}$.

е) Представим функцию $f(x) = \frac{1}{\sqrt[3]{x^2}}$ в виде $f(x) = \frac{1}{x^{2/3}} = x^{-2/3}$.
Найдем производную:
$f'(x) = (x^{-2/3})' = -\frac{2}{3}x^{-2/3 - 1} = -\frac{2}{3}x^{-5/3}$.
Перепишем результат в виде дроби с корнем:
$f'(x) = -\frac{2}{3x^{5/3}} = -\frac{2}{3x\sqrt[3]{x^2}}$.
Ответ: $f'(x) = -\frac{2}{3x\sqrt[3]{x^2}}$.

ж) Упростим функцию $f(x) = x^2\sqrt{x}$, представив ее в виде одной степени: $f(x) = x^2 \cdot x^{1/2} = x^{2 + 1/2} = x^{5/2}$.
Найдем производную:
$f'(x) = (x^{5/2})' = \frac{5}{2}x^{5/2 - 1} = \frac{5}{2}x^{3/2}$.
Перепишем результат в виде выражения с корнем:
$f'(x) = \frac{5}{2}x^{1+1/2} = \frac{5}{2}x\sqrt{x}$.
Ответ: $f'(x) = \frac{5}{2}x\sqrt{x}$.

з) Упростим функцию $f(x) = \frac{x^3}{\sqrt[3]{x}}$, представив ее в виде одной степени: $f(x) = \frac{x^3}{x^{1/3}} = x^{3 - 1/3} = x^{8/3}$.
Найдем производную:
$f'(x) = (x^{8/3})' = \frac{8}{3}x^{8/3 - 1} = \frac{8}{3}x^{5/3}$.
Перепишем результат в виде выражения с корнем:
$f'(x) = \frac{8}{3}x^{1+2/3} = \frac{8}{3}x\sqrt[3]{x^2}$.
Ответ: $f'(x) = \frac{8}{3}x\sqrt[3]{x^2}$.

4.64* a) $f(x) = \sqrt{x^2 - 3x + 10};$

б) $f(x) = \sqrt{3x^2 + 5x + 4};$

В) $f(x) = \sqrt{x^2 - 3x + 2};$

Г) $f(x) = \sqrt{4x^2 - 5x + 1};$

Д) $f(x) = \sqrt[3]{x^2 - 6x + 9};$

е) $f(x) = \sqrt[3]{x^2 + 4x + 4};$

Ж) $f(x) = \sqrt[3]{x^2 - 6x + 5};$

з) $f(x) = \sqrt[3]{x^2 + 4x + 3}.$

а)

Для нахождения области определения функции $f(x) = \sqrt{x^2 - 3x + 10}$ необходимо, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным. Решим неравенство:

$x^2 - 3x + 10 \ge 0$

Найдем дискриминант $D$ соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 3x + 10 = 0$:

$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 9 - 40 = -31$

Так как дискриминант отрицательный ($D < 0$) и старший коэффициент положителен ($a = 1 > 0$), то парабола $y = x^2 - 3x + 10$ полностью расположена выше оси абсцисс. Это означает, что выражение $x^2 - 3x + 10$ всегда положительно.

Следовательно, неравенство выполняется для всех действительных чисел $x$.

Ответ: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

б)

Для функции $f(x) = \sqrt{3x^2 + 5x + 4}$ подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$3x^2 + 5x + 4 \ge 0$

Найдем дискриминант $D$ квадратного уравнения $3x^2 + 5x + 4 = 0$:

$D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 25 - 48 = -23$

Поскольку $D < 0$ и $a = 3 > 0$, парабола $y = 3x^2 + 5x + 4$ полностью лежит выше оси абсцисс, и выражение $3x^2 + 5x + 4$ всегда положительно.

Неравенство верно для всех действительных чисел $x$.

Ответ: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

в)

Для функции $f(x) = \sqrt{x^2 - 3x + 2}$ подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$x^2 - 3x + 2 \ge 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - 3x + 2 = 0$. По теореме Виета, $x_1 = 1$, $x_2 = 2$.

Разложим левую часть на множители: $(x - 1)(x - 2) \ge 0$.

Парабола $y = x^2 - 3x + 2$ имеет ветви, направленные вверх. Значения функции неотрицательны, когда $x$ находится вне интервала между корнями.

Ответ: $D(f) = (-\infty; 1] \cup [2; +\infty)$.

г)

Для функции $f(x) = \sqrt{4x^2 - 5x + 1}$ подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$4x^2 - 5x + 1 \ge 0$

Найдем корни уравнения $4x^2 - 5x + 1 = 0$:

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 25 - 16 = 9 = 3^2$

$x_1 = \frac{5 - 3}{2 \cdot 4} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$

$x_2 = \frac{5 + 3}{2 \cdot 4} = \frac{8}{8} = 1$

Парабола $y = 4x^2 - 5x + 1$ имеет ветви, направленные вверх. Неравенство выполняется, когда $x$ не входит в интервал между корнями.

Ответ: $D(f) = (-\infty; \frac{1}{4}] \cup [1; +\infty)$.

д)

Функция $f(x) = \sqrt[3]{x^2 - 6x + 9}$. Корень нечетной степени (кубический) определен для любого действительного значения подкоренного выражения.

Подкоренное выражение $x^2 - 6x + 9$ является многочленом и определено для всех $x \in \mathbb{R}$.

Следовательно, область определения функции — множество всех действительных чисел.

Ответ: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

е)

Функция $f(x) = \sqrt[3]{x^2 + 4x + 4}$. Корень нечетной степени определен для любого действительного числа.

Подкоренное выражение $x^2 + 4x + 4$ является многочленом, который определен при всех $x \in \mathbb{R}$.

Следовательно, область определения функции — множество всех действительных чисел.

Ответ: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

ж)

Функция $f(x) = \sqrt[3]{x^2 - 6x + 5}$. Корень нечетной степени определен для любого действительного числа.

Подкоренное выражение $x^2 - 6x + 5$ является многочленом, который определен при всех $x \in \mathbb{R}$.

Следовательно, область определения функции — множество всех действительных чисел.

Ответ: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

з)

Функция $f(x) = \sqrt[3]{x^2 + 4x + 3}$. Корень нечетной степени определен для любого действительного числа.

Подкоренное выражение $x^2 + 4x + 3$ является многочленом, который определен при всех $x \in \mathbb{R}$.

Следовательно, область определения функции — множество всех действительных чисел.

Ответ: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

4.65* a) $f(x) = 4 \sin x \cos x;$

б) $f(x) = \cos^2 3x - \sin^2 3x;$

в) $f(x) = \frac{2 \operatorname{tg} 1000x}{1 - \operatorname{tg}^2 1000x};$

г) $f(x) = \sqrt[17]{\sin^2 7x + \cos^2 7x}.$

а)

Дана функция $f(x) = 4 \sin x \cos x$.
Для упрощения этого выражения воспользуемся формулой синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2 \sin \alpha \cos \alpha$.
Представим исходную функцию в виде: $f(x) = 2 \cdot (2 \sin x \cos x)$.
Применяя формулу синуса двойного угла, где $\alpha = x$, получаем: $f(x) = 2 \sin(2x)$.
Ответ: $f(x) = 2 \sin(2x)$.

б)

Дана функция $f(x) = \cos^2 3x - \sin^2 3x$.
Это выражение соответствует формуле косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha$.
В данном случае аргумент $\alpha = 3x$.
Следовательно, двойной угол будет равен $2\alpha = 2 \cdot (3x) = 6x$.
Применив формулу, мы упрощаем функцию: $f(x) = \cos(6x)$.
Ответ: $f(x) = \cos(6x)$.

в)

Дана функция $f(x) = \frac{2 \tg 1000x}{1 - \tg^2 1000x}$.
Это выражение является формулой тангенса двойного угла: $\tg(2\alpha) = \frac{2 \tg \alpha}{1 - \tg^2 \alpha}$.
Здесь аргумент $\alpha = 1000x$.
Тогда двойной угол равен $2\alpha = 2 \cdot (1000x) = 2000x$.
Подставляя в формулу, получаем упрощенный вид функции: $f(x) = \tg(2000x)$.
Ответ: $f(x) = \tg(2000x)$.

г)

Дана функция $f(x) = \sqrt[17]{\sin^2 7x + \cos^2 7x}$.
Выражение под корнем, $\sin^2 7x + \cos^2 7x$, представляет собой основное тригонометрическое тождество: $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$.
В нашем случае $\alpha = 7x$, поэтому $\sin^2 7x + \cos^2 7x = 1$ для любого значения $x$.
Таким образом, функция упрощается до: $f(x) = \sqrt[17]{1}$.
Корень 17-й степени из единицы равен единице.
$f(x) = 1$.
Ответ: $f(x) = 1$.

4.66* Докажите, что если в каждой точке интервала X функция $y = f(x)$ положительна и имеет производную, то на этом интервале совпадают промежутки знакопостоянства производных функций $y = f(x)$ и $y = \sqrt{f(x)}$.

Для доказательства данного утверждения нам необходимо найти производную функции $y = \sqrt{f(x)}$ и сравнить ее знак со знаком производной функции $y = f(x)$.

По условию, на интервале $X$ функция $f(x)$ положительна ($f(x) > 0$) и имеет производную $f'(x)$.

Рассмотрим функцию $g(x) = \sqrt{f(x)}$. Это сложная функция, ее производную найдем по цепному правилу (правилу дифференцирования сложной функции): $(\sqrt{u})' = \frac{1}{2\sqrt{u}} \cdot u'$.

Применяя это правило к нашей функции, где в качестве $u$ выступает $f(x)$, получаем:

$g'(x) = (\sqrt{f(x)})' = \frac{1}{2\sqrt{f(x)}} \cdot f'(x)$.

Мы получили соотношение между производными двух функций: $(\sqrt{f(x)})' = \frac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}}$.

Теперь проанализируем знак производной $(\sqrt{f(x)})'$. По условию задачи, $f(x) > 0$ для всех $x$ из интервала $X$. Это означает, что корень $\sqrt{f(x)}$ является действительным и положительным числом. Следовательно, весь знаменатель $2\sqrt{f(x)}$ также является положительным числом.

Таким образом, производная $(\sqrt{f(x)})'$ равна производной $f'(x)$, умноженной на положительный коэффициент $\frac{1}{2\sqrt{f(x)}}$. Умножение на положительное число не меняет знак, поэтому знак $(\sqrt{f(x)})'$ полностью определяется знаком $f'(x)$:
- Если $f'(x) > 0$, то и $(\sqrt{f(x)})' > 0$.
- Если $f'(x) < 0$, то и $(\sqrt{f(x)})' < 0$.
- Если $f'(x) = 0$, то и $(\sqrt{f(x)})' = 0$.

Поскольку знаки производных $f'(x)$ и $(\sqrt{f(x)})'$ совпадают в каждой точке интервала $X$, то и промежутки, на которых эти производные сохраняют свой знак (промежутки знакопостоянства), будут одинаковыми.
Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Промежутки знакопостоянства производных функций $y = f(x)$ и $y = \sqrt{f(x)}$ совпадают, поскольку производная $(\sqrt{f(x)})' = \frac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}}$, а множитель $\frac{1}{2\sqrt{f(x)}}$ всегда положителен в силу условия $f(x) > 0$, и, следовательно, знак производной $(\sqrt{f(x)})'$ совпадает со знаком производной $f'(x)$.

4.67* Вычислите значение производной функции в указанных точках $x_1$ и $x_2$:

а) $y = (x - 2)^{20}$, $x_1 = 1$, $x_2 = 3$;

б) $y = (x + 5)^{21}$, $x_1 = -6$, $x_2 = -4$;

в) $y = (2x - 11)^{100}$, $x_1 = 5$, $x_2 = 6$;

г) $y = (2x - 3)^{1001}$, $x_1 = 1$, $x_2 = 2$.

Для решения задачи во всех пунктах используется правило нахождения производной сложной функции (также известное как цепное правило). Если функция имеет вид $y = (f(x))^n$, то ее производная равна $y' = n \cdot (f(x))^{n-1} \cdot f'(x)$.

а) Дана функция $y = (x - 2)^{20}$ и точки $x_1 = 1, x_2 = 3$.

1. Найдем производную функции. В данном случае $f(x) = x - 2$ и $n = 20$. Производная внутренней функции $f'(x) = (x - 2)' = 1$.
$y' = 20 \cdot (x - 2)^{20-1} \cdot (x-2)' = 20(x-2)^{19} \cdot 1 = 20(x-2)^{19}$.

2. Вычислим значение производной в точке $x_1 = 1$:
$y'(1) = 20(1-2)^{19} = 20(-1)^{19} = 20 \cdot (-1) = -20$.

3. Вычислим значение производной в точке $x_2 = 3$:
$y'(3) = 20(3-2)^{19} = 20(1)^{19} = 20 \cdot 1 = 20$.

Ответ: $y'(1) = -20$, $y'(3) = 20$.

б) Дана функция $y = (x + 5)^{21}$ и точки $x_1 = -6, x_2 = -4$.

1. Найдем производную функции. Здесь $f(x) = x + 5$, $n = 21$. Производная внутренней функции $f'(x) = (x + 5)' = 1$.
$y' = 21 \cdot (x + 5)^{21-1} \cdot (x+5)' = 21(x+5)^{20} \cdot 1 = 21(x+5)^{20}$.

2. Вычислим значение производной в точке $x_1 = -6$:
$y'(-6) = 21(-6+5)^{20} = 21(-1)^{20} = 21 \cdot 1 = 21$.

3. Вычислим значение производной в точке $x_2 = -4$:
$y'(-4) = 21(-4+5)^{20} = 21(1)^{20} = 21 \cdot 1 = 21$.

Ответ: $y'(-6) = 21$, $y'(-4) = 21$.

в) Дана функция $y = (2x - 11)^{100}$ и точки $x_1 = 5, x_2 = 6$.

1. Найдем производную функции. Здесь $f(x) = 2x - 11$, $n = 100$. Производная внутренней функции $f'(x) = (2x - 11)' = 2$.
$y' = 100 \cdot (2x - 11)^{100-1} \cdot (2x-11)' = 100(2x - 11)^{99} \cdot 2 = 200(2x - 11)^{99}$.

2. Вычислим значение производной в точке $x_1 = 5$:
$y'(5) = 200(2 \cdot 5 - 11)^{99} = 200(10 - 11)^{99} = 200(-1)^{99} = 200 \cdot (-1) = -200$.

3. Вычислим значение производной в точке $x_2 = 6$:
$y'(6) = 200(2 \cdot 6 - 11)^{99} = 200(12 - 11)^{99} = 200(1)^{99} = 200 \cdot 1 = 200$.

Ответ: $y'(5) = -200$, $y'(6) = 200$.

г) Дана функция $y = (2x - 3)^{1001}$ и точки $x_1 = 1, x_2 = 2$.

1. Найдем производную функции. Здесь $f(x) = 2x - 3$, $n = 1001$. Производная внутренней функции $f'(x) = (2x - 3)' = 2$.
$y' = 1001 \cdot (2x - 3)^{1001-1} \cdot (2x - 3)' = 1001(2x - 3)^{1000} \cdot 2 = 2002(2x - 3)^{1000}$.

2. Вычислим значение производной в точке $x_1 = 1$:
$y'(1) = 2002(2 \cdot 1 - 3)^{1000} = 2002(2 - 3)^{1000} = 2002(-1)^{1000} = 2002 \cdot 1 = 2002$.

3. Вычислим значение производной в точке $x_2 = 2$:
$y'(2) = 2002(2 \cdot 2 - 3)^{1000} = 2002(4 - 3)^{1000} = 2002(1)^{1000} = 2002 \cdot 1 = 2002$.

Ответ: $y'(1) = 2002$, $y'(2) = 2002$.

4.68* Для любого $x > 0$ найдите производную функции:

а) $y = x^x$;

б) $y = x^{\sin x}$;

в) $y = x^{\cos x}$.

a) Для нахождения производной функции $y = x^x$ используется метод логарифмического дифференцирования. Этот метод применяется для функций вида $y = [f(x)]^{g(x)}$, где и основание, и показатель зависят от $x$. Условие $x > 0$ гарантирует, что функция определена и мы можем применять логарифмы.

1. Возьмем натуральный логарифм от обеих частей уравнения:

$\ln y = \ln(x^x)$

2. Используем свойство логарифма $\ln(a^b) = b \ln a$ для упрощения правой части:

$\ln y = x \ln x$

3. Теперь дифференцируем обе части по $x$. Левую часть дифференцируем как сложную функцию, а правую — по правилу производной произведения $(uv)' = u'v + uv'$:

$(\ln y)' = (x \ln x)'$

$\frac{1}{y} \cdot y' = (x)' \cdot \ln x + x \cdot (\ln x)'$

$\frac{y'}{y} = 1 \cdot \ln x + x \cdot \frac{1}{x}$

$\frac{y'}{y} = \ln x + 1$

4. Выражаем $y'$ (производную), умножая обе части на $y$:

$y' = y (\ln x + 1)$

5. Подставляем исходное выражение для $y = x^x$:

$y' = x^x (\ln x + 1)$

Ответ: $y' = x^x(1 + \ln x)$.

б) Найдём производную функции $y = x^{\sin x}$. Так же, как и в предыдущем пункте, применим логарифмическое дифференцирование.

1. Логарифмируем обе части функции:

$\ln y = \ln(x^{\sin x})$

2. Упрощаем правую часть:

$\ln y = \sin x \cdot \ln x$

3. Дифференцируем обе части по $x$, используя правило производной произведения для правой части:

$(\ln y)' = (\sin x \cdot \ln x)'$

$\frac{1}{y} \cdot y' = (\sin x)' \cdot \ln x + \sin x \cdot (\ln x)'$

$\frac{y'}{y} = \cos x \cdot \ln x + \sin x \cdot \frac{1}{x}$

$\frac{y'}{y} = \cos x \ln x + \frac{\sin x}{x}$

4. Выражаем $y'$:

$y' = y \left(\cos x \ln x + \frac{\sin x}{x}\right)$

5. Подставляем исходное выражение для $y = x^{\sin x}$:

$y' = x^{\sin x} \left(\cos x \ln x + \frac{\sin x}{x}\right)$

Ответ: $y' = x^{\sin x} \left(\cos x \ln x + \frac{\sin x}{x}\right)$.

в) Найдём производную функции $y = x^{\cos x}$. Метод решения аналогичен предыдущим пунктам.

1. Логарифмируем обе части функции:

$\ln y = \ln(x^{\cos x})$

2. Упрощаем правую часть:

$\ln y = \cos x \cdot \ln x$

3. Дифференцируем обе части по $x$:

$(\ln y)' = (\cos x \cdot \ln x)'$

$\frac{1}{y} \cdot y' = (\cos x)' \cdot \ln x + \cos x \cdot (\ln x)'$

$\frac{y'}{y} = -\sin x \cdot \ln x + \cos x \cdot \frac{1}{x}$

$\frac{y'}{y} = \frac{\cos x}{x} - \sin x \ln x$

4. Выражаем $y'$:

$y' = y \left(\frac{\cos x}{x} - \sin x \ln x\right)$

5. Подставляем исходное выражение для $y = x^{\cos x}$:

$y' = x^{\cos x} \left(\frac{\cos x}{x} - \sin x \ln x\right)$

Ответ: $y' = x^{\cos x} \left(\frac{\cos x}{x} - \sin x \ln x\right)$.

4.69 Докажите, что графики функций $f(x) = e^x$ и $\varphi(x) = x^e$ $(x > 0)$ в точке с абсциссой $x = e$ имеют общую касательную.

Чтобы доказать, что графики двух функций $f(x)$ и $\phi(x)$ имеют общую касательную в точке с абсциссой $x_0$, необходимо показать, что в этой точке одновременно выполняются два условия:

1. Значения функций в этой точке равны: $f(x_0) = \phi(x_0)$. Это означает, что графики проходят через одну и ту же точку.

2. Значения производных функций в этой точке также равны: $f'(x_0) = \phi'(x_0)$. Это означает, что угловые коэффициенты (наклоны) касательных к графикам в этой точке совпадают.

Если оба условия выполнены, то касательные к графикам в точке $(x_0, f(x_0))$ совпадают, то есть являются одной и той же прямой. Проверим эти условия для функций $f(x) = e^x$ и $\phi(x) = x^e$ в точке с абсциссой $x_0 = e$.

1. Проверка равенства значений функций в точке $x = e$

Вычислим значение функции $f(x)$ в точке $x = e$:
$f(e) = e^e$.

Вычислим значение функции $\phi(x)$ в точке $x = e$:
$\phi(e) = e^e$.

Поскольку $f(e) = \phi(e) = e^e$, первое условие выполнено. Это значит, что оба графика проходят через общую точку с координатами $(e, e^e)$.

2. Проверка равенства значений производных в точке $x = e$

Сначала найдем производные данных функций.

Производная функции $f(x) = e^x$ равна:
$f'(x) = (e^x)' = e^x$.

Производная функции $\phi(x) = x^e$ (степенная функция, так как $e$ — константа) равна:
$\phi'(x) = (x^e)' = e \cdot x^{e-1}$.

Теперь вычислим значения этих производных в точке $x = e$.

$f'(e) = e^e$.

$\phi'(e) = e \cdot e^{e-1} = e^1 \cdot e^{e-1} = e^{1 + (e-1)} = e^e$.

Поскольку $f'(e) = \phi'(e) = e^e$, второе условие также выполнено. Это означает, что наклоны касательных к обоим графикам в точке $(e, e^e)$ одинаковы.

Так как в точке с абсциссой $x=e$ значения функций и их производных совпадают, то графики функций $f(x)=e^x$ и $\phi(x)=x^e$ имеют общую касательную в этой точке. Что и требовалось доказать.

Ответ: Так как $f(e) = \phi(e) = e^e$ и $f'(e) = \phi'(e) = e^e$, то графики функций имеют общую точку $(e, e^e)$ и одинаковый наклон касательной в этой точке, следовательно, у них есть общая касательная. Утверждение доказано.