Страница 114 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

4.70° По какой формуле находят производную данной функции, используя производную обратной к ней функции?

Пусть дана дифференцируемая функция $y = f(x)$, и для нее существует обратная функция $x = g(y)$, которая также является дифференцируемой. Чтобы найти формулу для производной $f'(x)$, воспользуемся тождеством, связывающим прямую и обратную функции:

$g(f(x)) = x$

Продифференцируем обе части этого тождества по переменной $x$. Для левой части применим правило дифференцирования сложной функции (цепное правило):

$(g(f(x)))' = (x)'$

$g'(f(x)) \cdot f'(x) = 1$

Теперь из полученного уравнения выразим искомую производную $f'(x)$:

$f'(x) = \frac{1}{g'(f(x))}$

Данная формула означает, что значение производной прямой функции в точке $x_0$ равно обратной величине значения производной обратной функции в соответствующей точке $y_0 = f(x_0)$. Важно, чтобы знаменатель, то есть $g'(f(x))$, не был равен нулю.

В обозначениях Лейбница эта зависимость выглядит более интуитивно. Если производная прямой функции обозначается как $\frac{dy}{dx}$, а производная обратной функции как $\frac{dx}{dy}$, то формула принимает вид:

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\frac{dx}{dy}}$

Ответ: Производную функции $y=f(x)$ находят, используя производную обратной к ней функции $x=g(y)$, по формуле $f'(x) = \frac{1}{g'(f(x))}$. В обозначениях Лейбница эта формула записывается как $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\frac{dx}{dy}}$.

4.71 Вычислите производную функции $y=f(x)$, используя производную обратной к ней функции $x=\varphi(y)$:

а) $y=\sqrt{x}$, $x \in (0;+\infty)$ и $x=y^2$, $y \in (0;+\infty);$

б) $y=-\sqrt{x}$, $x \in (0;+\infty)$ и $x=y^2$, $y \in (-\infty; 0);$

в) $y=\ln x$, $x \in (0;+\infty)$ и $x=e^y$, $y \in \mathbf{R}.$

Для вычисления производной функции $y = f(x)$ с использованием производной обратной к ней функции $x = \phi(y)$, воспользуемся формулой производной обратной функции:

$f'(x) = \frac{1}{\phi'(y)}$

где $f'(x)$ — производная исходной функции по $x$, а $\phi'(y)$ — производная обратной функции по $y$.

а) $y = \sqrt{x}, x \in (0; +\infty)$ и $x = y^2, y \in (0; +\infty)$

1. Находим производную обратной функции $x = \phi(y) = y^2$ по переменной $y$:

$\phi'(y) = \frac{dx}{dy} = (y^2)' = 2y$

2. Применяем формулу для производной исходной функции:

$f'(x) = \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\phi'(y)} = \frac{1}{2y}$

3. Выражаем полученный результат через $x$. Так как по условию $y = \sqrt{x}$, подставляем это в наше выражение для производной:

$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

Ответ: $(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

б) $y = -\sqrt{x}, x \in (0; +\infty)$ и $x = y^2, y \in (-\infty; 0)$

1. Обратная функция здесь та же, что и в пункте а): $x = \phi(y) = y^2$. Её производная по $y$ также равна:

$\phi'(y) = \frac{dx}{dy} = (y^2)' = 2y$

2. Применяем формулу для производной обратной функции:

$f'(x) = \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\phi'(y)} = \frac{1}{2y}$

3. Выражаем результат через $x$. В данном случае $y = -\sqrt{x}$. Подставляем это значение:

$f'(x) = \frac{1}{2(-\sqrt{x})} = -\frac{1}{2\sqrt{x}}$

Ответ: $(-\sqrt{x})' = -\frac{1}{2\sqrt{x}}$

в) $y = \ln x, x \in (0; +\infty)$ и $x = e^y, y \in \mathbb{R}$

1. Находим производную обратной функции $x = \phi(y) = e^y$ по переменной $y$:

$\phi'(y) = \frac{dx}{dy} = (e^y)' = e^y$

2. Воспользуемся формулой производной обратной функции:

$f'(x) = \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\phi'(y)} = \frac{1}{e^y}$

3. Выражаем результат через $x$. Мы знаем, что обратная функция задается как $x = e^y$. Подставим это в выражение для производной:

$f'(x) = \frac{1}{x}$

Ответ: $(\ln x)' = \frac{1}{x}$

4.72 Найдите производную функции $y = \text{arcctg} x, x \in \mathbb{R}$.

Чтобы найти производную функции $y = \text{arcctg } x$, мы воспользуемся правилом нахождения производной обратной функции.
Если дано $y = \text{arcctg } x$, то это означает, что $x = \text{ctg } y$. По определению арккотангенса, $y$ находится в интервале $(0, \pi)$.
Мы можем найти производную $x$ по переменной $y$:
$x'_y = \frac{dx}{dy} = (\text{ctg } y)' = -\frac{1}{\sin^2 y}$.
Согласно теореме о производной обратной функции, производная $y$ по $x$ равна:
$y'_x = \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\frac{dx}{dy}} = \frac{1}{x'_y}$.
Подставим найденное значение $x'_y$:
$y'_x = \frac{1}{-\frac{1}{\sin^2 y}} = -\sin^2 y$.
Теперь нам нужно выразить полученный результат через $x$. Для этого воспользуемся тригонометрическим тождеством:
$1 + \text{ctg}^2 y = \frac{1}{\sin^2 y}$.
Из этого тождества выразим $\sin^2 y$:
$\sin^2 y = \frac{1}{1 + \text{ctg}^2 y}$.
Так как мы знаем, что $x = \text{ctg } y$, мы можем подставить $x$ в это выражение:
$\sin^2 y = \frac{1}{1 + x^2}$.
Наконец, подставим это выражение в нашу формулу для производной $y'_x$:
$y'_x = - \frac{1}{1 + x^2}$.

Ответ: $(\text{arcctg } x)' = -\frac{1}{1 + x^2}$.

4.73 Найдите производную данной функции:

а) $y = \arccos (\pi x)$, $x \in \left(-\frac{1}{\pi}; \frac{1}{\pi}\right)$;

б) $y = \operatorname{arctg} x^3$, $x \in \mathbb{R}$;

в) $y = \arcsin (5x)$, $x \in \left(-\frac{1}{5}; \frac{1}{5}\right)$;

г) $y = (\operatorname{arcctg} (3x))^5$, $x \in \mathbb{R}$;

д) $y = \arccos (-2x)$, $x \in \left(-\frac{1}{2}; \frac{1}{2}\right)$;

е) $y = (\arcsin (4x))^5$, $x \in \left(-\frac{1}{4}; \frac{1}{4}\right)$.

а) Для функции $y = \arccos(\pi x)$ мы используем правило дифференцирования сложной функции (цепное правило). Пусть $u(x) = \pi x$, тогда $y(u) = \arccos(u)$. Производная будет равна $y' = y'(u) \cdot u'(x)$.
Производная от арккосинуса: $(\arccos u)' = -\frac{1}{\sqrt{1-u^2}}$.
Производная от внутренней функции: $(\pi x)' = \pi$.
Собирая все вместе, получаем:
$y' = -\frac{1}{\sqrt{1-(\pi x)^2}} \cdot (\pi x)' = -\frac{1}{\sqrt{1-\pi^2 x^2}} \cdot \pi = -\frac{\pi}{\sqrt{1-\pi^2 x^2}}$.
Ответ: $y' = -\frac{\pi}{\sqrt{1-\pi^2 x^2}}$.

б) Для функции $y = \operatorname{arctg}(x^3)$ также применим цепное правило. Пусть $u(x) = x^3$, тогда $y(u) = \operatorname{arctg}(u)$.
Производная от арктангенса: $(\operatorname{arctg} u)' = \frac{1}{1+u^2}$.
Производная от внутренней функции: $(x^3)' = 3x^2$.
Таким образом, производная исходной функции равна:
$y' = \frac{1}{1+(x^3)^2} \cdot (x^3)' = \frac{1}{1+x^6} \cdot 3x^2 = \frac{3x^2}{1+x^6}$.
Ответ: $y' = \frac{3x^2}{1+x^6}$.

в) Для функции $y = \arcsin(5x)$ используем цепное правило. Пусть $u(x) = 5x$, тогда $y(u) = \arcsin(u)$.
Производная от арксинуса: $(\arcsin u)' = \frac{1}{\sqrt{1-u^2}}$.
Производная от внутренней функции: $(5x)' = 5$.
Собирая все вместе, получаем:
$y' = \frac{1}{\sqrt{1-(5x)^2}} \cdot (5x)' = \frac{1}{\sqrt{1-25x^2}} \cdot 5 = \frac{5}{\sqrt{1-25x^2}}$.
Ответ: $y' = \frac{5}{\sqrt{1-25x^2}}$.

г) Для функции $y = (\operatorname{arcctg}(3x))^5$ применяем цепное правило несколько раз. Сначала для степенной функции $y=u^5$, где $u = \operatorname{arcctg}(3x)$.
$y' = (u^5)' = 5u^4 \cdot u' = 5(\operatorname{arcctg}(3x))^4 \cdot (\operatorname{arcctg}(3x))'$.
Теперь найдем производную от $u = \operatorname{arcctg}(3x)$. Это снова сложная функция. Пусть $v=3x$.
Производная от арккотангенса: $(\operatorname{arcctg} v)' = -\frac{1}{1+v^2}$.
$(\operatorname{arcctg}(3x))' = -\frac{1}{1+(3x)^2} \cdot (3x)' = -\frac{1}{1+9x^2} \cdot 3 = -\frac{3}{1+9x^2}$.
Подставляем это в выражение для $y'$:
$y' = 5(\operatorname{arcctg}(3x))^4 \cdot \left(-\frac{3}{1+9x^2}\right) = -\frac{15(\operatorname{arcctg}(3x))^4}{1+9x^2}$.
Ответ: $y' = -\frac{15(\operatorname{arcctg}(3x))^4}{1+9x^2}$.

д) Для функции $y = \arccos(-2x)$ используем цепное правило. Пусть $u(x) = -2x$, тогда $y(u) = \arccos(u)$.
Производная от арккосинуса: $(\arccos u)' = -\frac{1}{\sqrt{1-u^2}}$.
Производная от внутренней функции: $(-2x)' = -2$.
Следовательно, производная равна:
$y' = -\frac{1}{\sqrt{1-(-2x)^2}} \cdot (-2x)' = -\frac{1}{\sqrt{1-4x^2}} \cdot (-2) = \frac{2}{\sqrt{1-4x^2}}$.
Ответ: $y' = \frac{2}{\sqrt{1-4x^2}}$.

е) Для функции $y = (\arcsin(4x))^5$ применяем цепное правило. Сначала для степенной функции $y=u^5$, где $u = \arcsin(4x)$.
$y' = (u^5)' = 5u^4 \cdot u' = 5(\arcsin(4x))^4 \cdot (\arcsin(4x))'$.
Теперь найдем производную от $u = \arcsin(4x)$. Пусть $v=4x$.
Производная от арксинуса: $(\arcsin v)' = \frac{1}{\sqrt{1-v^2}}$.
$(\arcsin(4x))' = \frac{1}{\sqrt{1-(4x)^2}} \cdot (4x)' = \frac{1}{\sqrt{1-16x^2}} \cdot 4 = \frac{4}{\sqrt{1-16x^2}}$.
Подставляем это в выражение для $y'$:
$y' = 5(\arcsin(4x))^4 \cdot \frac{4}{\sqrt{1-16x^2}} = \frac{20(\arcsin(4x))^4}{\sqrt{1-16x^2}}$.
Ответ: $y' = \frac{20(\arcsin(4x))^4}{\sqrt{1-16x^2}}$.