Номер 4.72, страница 114 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 4. Производная. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 4.72, страница 114.

Условие.

4.72 Найдите производную функции $y = \text{arcctg} x, x \in \mathbb{R}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Чтобы найти производную функции $y = \text{arcctg } x$, мы воспользуемся правилом нахождения производной обратной функции.
Если дано $y = \text{arcctg } x$, то это означает, что $x = \text{ctg } y$. По определению арккотангенса, $y$ находится в интервале $(0, \pi)$.
Мы можем найти производную $x$ по переменной $y$:
$x'_y = \frac{dx}{dy} = (\text{ctg } y)' = -\frac{1}{\sin^2 y}$.
Согласно теореме о производной обратной функции, производная $y$ по $x$ равна:
$y'_x = \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\frac{dx}{dy}} = \frac{1}{x'_y}$.
Подставим найденное значение $x'_y$:
$y'_x = \frac{1}{-\frac{1}{\sin^2 y}} = -\sin^2 y$.
Теперь нам нужно выразить полученный результат через $x$. Для этого воспользуемся тригонометрическим тождеством:
$1 + \text{ctg}^2 y = \frac{1}{\sin^2 y}$.
Из этого тождества выразим $\sin^2 y$:
$\sin^2 y = \frac{1}{1 + \text{ctg}^2 y}$.
Так как мы знаем, что $x = \text{ctg } y$, мы можем подставить $x$ в это выражение:
$\sin^2 y = \frac{1}{1 + x^2}$.
Наконец, подставим это выражение в нашу формулу для производной $y'_x$:
$y'_x = - \frac{1}{1 + x^2}$.

Ответ: $(\text{arcctg } x)' = -\frac{1}{1 + x^2}$.