Номер 5.5, страница 120 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 5. Применение производной. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 5.5, страница 120.

Условие.

5.5* Укажите наибольшее и наименьшее значения функции $y = f(x)$ на отрезке $[-2; 2]$, если:

а) $y = \begin{cases} -x, & \text{если } x < -1 \\ x + 2, & \text{если } -1 \le x < 1 \\ -3x + 6, & \text{если } x \ge 1 \end{cases}$;

б) $y = \begin{cases} -x + 2, & \text{если } x < -1 \\ -3x, & \text{если } -1 \le x < 1 \\ x - 4, & \text{если } x \ge 1 \end{cases}$;

в) $y = |x - 1| + |2x + 1|$;

г) $y = |x - 1| - |2x + 1|$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений кусочно-линейной функции на отрезке $[-2; 2]$ необходимо вычислить ее значения на концах этого отрезка ($x=-2$ и $x=2$) и в точках, где меняется ее аналитическое выражение ($x=-1$ и $x=1$). Функция непрерывна, так как значения на "стыках" совпадают.

Рассмотрим функцию на каждом из интервалов, входящих в отрезок $[-2; 2]$:
При $x \in [-2; -1)$ функция задана как $y = -x$.
При $x \in [-1; 1)$ функция задана как $y = x + 2$.
При $x \in [1; 2]$ функция задана как $y = -3x + 6$.

Вычислим значения в интересующих нас точках:
$f(-2) = -(-2) = 2$
$f(-1) = -1 + 2 = 1$
$f(1) = -3(1) + 6 = 3$
$f(2) = -3(2) + 6 = 0$

Сравниваем полученные значения: $0, 1, 2, 3$.
Наибольшее значение функции на отрезке $[-2; 2]$ равно 3 (достигается в точке $x=1$).
Наименьшее значение функции на отрезке $[-2; 2]$ равно 0 (достигается в точке $x=2$).

Ответ: наибольшее значение функции равно 3, наименьшее значение равно 0.

б)

Аналогично предыдущему пункту, вычислим значения непрерывной кусочно-линейной функции на концах отрезка $[-2; 2]$ и в точках излома ($x=-1$ и $x=1$).

Рассмотрим функцию на каждом из интервалов, входящих в отрезок $[-2; 2]$:
При $x \in [-2; -1)$ функция задана как $y = -x + 2$.
При $x \in [-1; 1)$ функция задана как $y = -3x$.
При $x \in [1; 2]$ функция задана как $y = x - 4$.

Вычислим значения в интересующих нас точках:
$f(-2) = -(-2) + 2 = 4$
$f(-1) = -3(-1) = 3$
$f(1) = 1 - 4 = -3$
$f(2) = 2 - 4 = -2$

Сравниваем полученные значения: $-3, -2, 3, 4$.
Наибольшее значение функции на отрезке $[-2; 2]$ равно 4 (достигается в точке $x=-2$).
Наименьшее значение функции на отрезке $[-2; 2]$ равно -3 (достигается в точке $x=1$).

Ответ: наибольшее значение функции равно 4, наименьшее значение равно -3.

в)

Рассмотрим функцию $y = |x - 1| + |2x + 1|$ на отрезке $[-2; 2]$.
Для того чтобы раскрыть модули, найдем точки, в которых выражения под модулем обращаются в ноль:
$x - 1 = 0 \implies x = 1$
$2x + 1 = 0 \implies x = -1/2$

Эти точки делят отрезок $[-2; 2]$ на три промежутка: $[-2; -1/2)$, $[-1/2; 1)$, и $[1; 2]$. Раскроем модули на каждом из этих промежутков.

1. При $x \in [-2; -1/2)$: оба выражения под модулями отрицательны.
$y = -(x - 1) - (2x + 1) = -x + 1 - 2x - 1 = -3x$.
Это убывающая функция. На концах промежутка: $f(-2) = -3(-2) = 6$, $f(-1/2) = -3(-1/2) = 3/2$.

2. При $x \in [-1/2; 1)$: выражение $(x-1)$ отрицательно, а $(2x+1)$ неотрицательно.
$y = -(x - 1) + (2x + 1) = -x + 1 + 2x + 1 = x + 2$.
Это возрастающая функция. На концах промежутка: $f(-1/2) = -1/2 + 2 = 3/2$, $f(1) = 1 + 2 = 3$.

3. При $x \in [1; 2]$: оба выражения под модулями неотрицательны.
$y = (x - 1) + (2x + 1) = x - 1 + 2x + 1 = 3x$.
Это возрастающая функция. На концах промежутка: $f(1) = 3(1) = 3$, $f(2) = 3(2) = 6$.

Теперь сравним значения функции на концах отрезка $[-2; 2]$ и в точках излома $x=-1/2$ и $x=1$: $f(-2)=6$, $f(-1/2)=3/2$, $f(1)=3$, $f(2)=6$.
Наибольшее значение функции равно 6 (достигается в точках $x=-2$ и $x=2$).
Наименьшее значение функции равно $3/2$ (достигается в точке $x=-1/2$).

Ответ: наибольшее значение функции равно 6, наименьшее значение равно $3/2$.

г)

Рассмотрим функцию $y = |x - 1| - |2x + 1|$ на отрезке $[-2; 2]$.
Нули подмодульных выражений, как и в предыдущем пункте, $x=1$ и $x=-1/2$.

Раскроем модули на тех же промежутках:

1. При $x \in [-2; -1/2)$:
$y = -(x - 1) - (-(2x + 1)) = -x + 1 + 2x + 1 = x + 2$.
Функция возрастает. $f(-2) = -2 + 2 = 0$, $f(-1/2) = -1/2 + 2 = 3/2$.

2. При $x \in [-1/2; 1)$:
$y = -(x - 1) - (2x + 1) = -x + 1 - 2x - 1 = -3x$.
Функция убывает. $f(-1/2) = -3(-1/2) = 3/2$, $f(1) = -3(1) = -3$.

3. При $x \in [1; 2]$:
$y = (x - 1) - (2x + 1) = x - 1 - 2x - 1 = -x - 2$.
Функция убывает. $f(1) = -1 - 2 = -3$, $f(2) = -2 - 2 = -4$.

Сравним значения функции на концах отрезка $[-2; 2]$ и в точках излома $x=-1/2$ и $x=1$: $f(-2)=0$, $f(-1/2)=3/2$, $f(1)=-3$, $f(2)=-4$.
Наибольшее значение функции равно $3/2$ (достигается в точке $x=-1/2$).
Наименьшее значение функции равно -4 (достигается в точке $x=2$).

Ответ: наибольшее значение функции равно $3/2$, наименьшее значение равно -4.