Номер 5.7, страница 120 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 5. Применение производной. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 5.7, страница 120.

Условие.

5.7 a) $y = \sqrt[3]{x}$, $[-1; 1]$;

б) $y = \sqrt[5]{x}$, $[-2; 2]$;

в) $y = 4\sqrt{x} - x$, $(0; 5]$;

г) $y = 2\sqrt{x} - x$, $(0; 2]$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Требуется найти наибольшее и наименьшее значения функции $y = \sqrt[3]{x}$ на отрезке $[-1; 1]$.
1. Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$. Отрезок $[-1; 1]$ входит в область определения.
2. Найдем производную функции: $y' = (x^{1/3})' = \frac{1}{3}x^{-2/3} = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$.
3. Найдем критические точки. Производная $y'$ никогда не равна нулю. Производная не существует при $x = 0$. Таким образом, $x = 0$ является критической точкой. Эта точка принадлежит отрезку $[-1; 1]$.
4. Вычислим значения функции в критической точке и на концах отрезка:
$y(-1) = \sqrt[3]{-1} = -1$
$y(0) = \sqrt[3]{0} = 0$
$y(1) = \sqrt[3]{1} = 1$
5. Сравнивая полученные значения, находим, что наименьшее значение функции равно -1, а наибольшее равно 1.

Ответ: Наименьшее значение функции $y_{наим} = -1$ (при $x=-1$), наибольшее значение функции $y_{наиб} = 1$ (при $x=1$).

б) Требуется найти наибольшее и наименьшее значения функции $y = \sqrt[5]{x}$ на отрезке $[-2; 2]$.
1. Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$. Отрезок $[-2; 2]$ входит в область определения.
2. Найдем производную функции: $y' = (x^{1/5})' = \frac{1}{5}x^{-4/5} = \frac{1}{5\sqrt[5]{x^4}}$.
3. Найдем критические точки. Производная $y'$ никогда не равна нулю. Производная не существует при $x = 0$. Таким образом, $x = 0$ является критической точкой. Эта точка принадлежит отрезку $[-2; 2]$.
4. Вычислим значения функции в критической точке и на концах отрезка:
$y(-2) = \sqrt[5]{-2} = -\sqrt[5]{2}$
$y(0) = \sqrt[5]{0} = 0$
$y(2) = \sqrt[5]{2}$
5. Сравнивая полученные значения, находим, что наименьшее значение функции равно $-\sqrt[5]{2}$, а наибольшее равно $\sqrt[5]{2}$.

Ответ: Наименьшее значение функции $y_{наим} = -\sqrt[5]{2}$ (при $x=-2$), наибольшее значение функции $y_{наиб} = \sqrt[5]{2}$ (при $x=2$).

в) Требуется найти наибольшее и наименьшее значения функции $y = 4\sqrt{x} - x$ на промежутке $(0; 5]$. Для нахождения наибольшего и наименьшего значений будем рассматривать функцию на замкнутом отрезке $[0; 5]$.
1. Область определения функции: $x \ge 0$. Отрезок $[0; 5]$ входит в область определения.
2. Найдем производную функции: $y' = (4x^{1/2} - x)' = 4 \cdot \frac{1}{2}x^{-1/2} - 1 = \frac{2}{\sqrt{x}} - 1$.
3. Найдем критические точки. Приравняем производную к нулю: $\frac{2}{\sqrt{x}} - 1 = 0 \Rightarrow \frac{2}{\sqrt{x}} = 1 \Rightarrow \sqrt{x} = 2 \Rightarrow x = 4$. Производная не существует при $x = 0$. Критические точки: $x = 0$ и $x = 4$. Обе точки принадлежат отрезку $[0; 5]$.
4. Вычислим значения функции в критических точках и на концах отрезка:
$y(0) = 4\sqrt{0} - 0 = 0$
$y(4) = 4\sqrt{4} - 4 = 4 \cdot 2 - 4 = 4$
$y(5) = 4\sqrt{5} - 5$. Так как $4 = \sqrt{16}$, а $4\sqrt{5} = \sqrt{16 \cdot 5} = \sqrt{80}$, и $8 < \sqrt{80} < 9$, то $3 < 4\sqrt{5} - 5 < 4$.
5. Сравнивая значения $0$, $4$ и $4\sqrt{5}-5$, находим, что наименьшее значение функции равно 0, а наибольшее равно 4.

Ответ: Наименьшее значение функции $y_{наим} = 0$ (при $x=0$), наибольшее значение функции $y_{наиб} = 4$ (при $x=4$).

г) Требуется найти наибольшее и наименьшее значения функции $y = 2\sqrt{x} - x$ на промежутке $(0; 2]$. Для нахождения наибольшего и наименьшего значений будем рассматривать функцию на замкнутом отрезке $[0; 2]$.
1. Область определения функции: $x \ge 0$. Отрезок $[0; 2]$ входит в область определения.
2. Найдем производную функции: $y' = (2x^{1/2} - x)' = 2 \cdot \frac{1}{2}x^{-1/2} - 1 = \frac{1}{\sqrt{x}} - 1$.
3. Найдем критические точки. Приравняем производную к нулю: $\frac{1}{\sqrt{x}} - 1 = 0 \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{x}} = 1 \Rightarrow \sqrt{x} = 1 \Rightarrow x = 1$. Производная не существует при $x = 0$. Критические точки: $x = 0$ и $x = 1$. Обе точки принадлежат отрезку $[0; 2]$.
4. Вычислим значения функции в критических точках и на концах отрезка:
$y(0) = 2\sqrt{0} - 0 = 0$
$y(1) = 2\sqrt{1} - 1 = 2 - 1 = 1$
$y(2) = 2\sqrt{2} - 2$. Так как $1 < \sqrt{2} < 2$, то $2 < 2\sqrt{2} < 4$, и $0 < 2\sqrt{2} - 2 < 2$. Точнее, $2\sqrt{2} \approx 2 \cdot 1.414 = 2.828$, поэтому $y(2) \approx 0.828$.
5. Сравнивая значения $0$, $1$ и $2\sqrt{2}-2$, находим, что наименьшее значение функции равно 0, а наибольшее равно 1.

Ответ: Наименьшее значение функции $y_{наим} = 0$ (при $x=0$), наибольшее значение функции $y_{наиб} = 1$ (при $x=1$).