Номер 5.11, страница 120 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Функции. Производные. Интегралы. Параграф 5. Применение производной - номер 5.11, страница 120.

Условие.

5.11 a) $y = 2x^3 - x^2$, $[-1; 1];$

B) $y = 2x^3 + 6x^2 + 8$, $[-3; 2];$

б) $y = 2x^3 + x$, $[-1; 1];$

Г) $y = x^3 + 6x$, $[-2; 1].$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на замкнутом отрезке используется следующий алгоритм:

1. Найти производную функции.
2. Найти критические точки функции, решив уравнение $y' = 0$.
3. Выбрать критические точки, которые принадлежат заданному отрезку.
4. Вычислить значения функции в выбранных критических точках и на концах отрезка.
5. Сравнить полученные значения: самое большое из них будет наибольшим значением функции на отрезке, а самое маленькое — наименьшим.

а)

Найти наибольшее и наименьшее значения функции $y = 2x^3 - x^2$ на отрезке $[-1; 1]$.

1. Находим производную функции:
$y' = (2x^3 - x^2)' = 6x^2 - 2x$.

2. Находим критические точки, решив уравнение $y' = 0$:
$6x^2 - 2x = 0$
$2x(3x - 1) = 0$
Отсюда получаем две критические точки: $x_1 = 0$ и $x_2 = 1/3$.

3. Обе критические точки, $x=0$ и $x=1/3$, принадлежат отрезку $[-1; 1]$.

4. Вычисляем значения функции в критических точках и на концах отрезка:
$y(-1) = 2(-1)^3 - (-1)^2 = -2 - 1 = -3$
$y(0) = 2(0)^3 - (0)^2 = 0$
$y(1/3) = 2(1/3)^3 - (1/3)^2 = 2/27 - 1/9 = 2/27 - 3/27 = -1/27$
$y(1) = 2(1)^3 - (1)^2 = 2 - 1 = 1$

5. Сравниваем полученные значения: $-3, 0, -1/27, 1$.
Наибольшее значение функции $\max_{[-1; 1]} y = 1$.
Наименьшее значение функции $\min_{[-1; 1]} y = -3$.

Ответ: Наибольшее значение функции равно $1$, наименьшее значение функции равно $-3$.

б)

Найти наибольшее и наименьшее значения функции $y = 2x^3 + x$ на отрезке $[-1; 1]$.

1. Находим производную функции:
$y' = (2x^3 + x)' = 6x^2 + 1$.

2. Находим критические точки, решив уравнение $y' = 0$:
$6x^2 + 1 = 0$
$6x^2 = -1$
Данное уравнение не имеет действительных корней, так как $x^2$ не может быть отрицательным. Следовательно, у функции нет критических точек.

3. Поскольку критических точек нет, наибольшее и наименьшее значения функция достигает на концах отрезка. Вычисляем значения функции на концах отрезка $[-1; 1]$:
$y(-1) = 2(-1)^3 + (-1) = -2 - 1 = -3$
$y(1) = 2(1)^3 + 1 = 2 + 1 = 3$

4. Сравнивая значения, получаем:
Наибольшее значение функции $\max_{[-1; 1]} y = 3$.
Наименьшее значение функции $\min_{[-1; 1]} y = -3$.

Ответ: Наибольшее значение функции равно $3$, наименьшее значение функции равно $-3$.

в)

Найти наибольшее и наименьшее значения функции $y = 2x^3 + 6x^2 + 8$ на отрезке $[-3; 2]$.

1. Находим производную функции:
$y' = (2x^3 + 6x^2 + 8)' = 6x^2 + 12x$.

2. Находим критические точки, решив уравнение $y' = 0$:
$6x^2 + 12x = 0$
$6x(x + 2) = 0$
Отсюда получаем две критические точки: $x_1 = 0$ и $x_2 = -2$.

3. Обе критические точки, $x=0$ и $x=-2$, принадлежат отрезку $[-3; 2]$.

4. Вычисляем значения функции в критических точках и на концах отрезка:
$y(-3) = 2(-3)^3 + 6(-3)^2 + 8 = 2(-27) + 6(9) + 8 = -54 + 54 + 8 = 8$
$y(-2) = 2(-2)^3 + 6(-2)^2 + 8 = 2(-8) + 6(4) + 8 = -16 + 24 + 8 = 16$
$y(0) = 2(0)^3 + 6(0)^2 + 8 = 8$
$y(2) = 2(2)^3 + 6(2)^2 + 8 = 2(8) + 6(4) + 8 = 16 + 24 + 8 = 48$

5. Сравниваем полученные значения: $8, 16, 8, 48$.
Наибольшее значение функции $\max_{[-3; 2]} y = 48$.
Наименьшее значение функции $\min_{[-3; 2]} y = 8$.

Ответ: Наибольшее значение функции равно $48$, наименьшее значение функции равно $8$.

г)

Найти наибольшее и наименьшее значения функции $y = x^3 + 6x$ на отрезке $[-2; 1]$.

1. Находим производную функции:
$y' = (x^3 + 6x)' = 3x^2 + 6$.

2. Находим критические точки, решив уравнение $y' = 0$:
$3x^2 + 6 = 0$
$3x^2 = -6$
Данное уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, у функции нет критических точек.

3. Поскольку критических точек нет, наибольшее и наименьшее значения функция достигает на концах отрезка. Вычисляем значения функции на концах отрезка $[-2; 1]$:
$y(-2) = (-2)^3 + 6(-2) = -8 - 12 = -20$
$y(1) = 1^3 + 6(1) = 1 + 6 = 7$

4. Сравнивая значения, получаем:
Наибольшее значение функции $\max_{[-2; 1]} y = 7$.
Наименьшее значение функции $\min_{[-2; 1]} y = -20$.

Ответ: Наибольшее значение функции равно $7$, наименьшее значение функции равно $-20$.