Номер 5.16, страница 121 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Серия: мгу - школе
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087641-4
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 5. Применение производной. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 5.16, страница 121.
№5.16 (с. 121)
Условие. №5.16 (с. 121)
скриншот условия

5.16 При каком значении $a$ наибольшее значение функции $y = |x - a|$ на отрезке $[-2; 3]$:
а) равно 4,5;
б) равно 3,5;
в) достигается в двух точках?
Решение 1. №5.16 (с. 121)



Решение 2. №5.16 (с. 121)


Решение 3. №5.16 (с. 121)

Решение 4. №5.16 (с. 121)
Наибольшее значение функции $y = |x - a|$ на замкнутом отрезке $[-2; 3]$ достигается на одном из его концов, так как ее график представляет собой "галочку", вершина которой является точкой минимума. Следовательно, искомое наибольшее значение $M(a)$ равно наибольшему из значений функции в точках $x=-2$ и $x=3$.
$M(a) = \max(y(-2), y(3)) = \max(|-2-a|, |3-a|) = \max(|a+2|, |a-3|)$.
Для нахождения этого максимума сравним значения $|a+2|$ и $|a-3|$. Равенство $|a+2| = |a-3|$ достигается, когда точка $a$ на числовой прямой равноудалена от точек $-2$ и $3$. Такой точкой является середина отрезка $[-2; 3]$, то есть $a = \frac{-2+3}{2} = 0.5$.
Если $a > 0.5$, точка $a$ находится ближе к $3$, чем к $-2$, поэтому $|a-3| < |a+2|$. В этом случае $M(a) = |a+2| = a+2$ (так как $a > 0.5 > -2$).
Если $a < 0.5$, точка $a$ находится ближе к $-2$, чем к $3$, поэтому $|a+2| < |a-3|$. В этом случае $M(a) = |a-3| = 3-a$ (так как $a < 0.5 < 3$).
Теперь мы можем решить каждую из подзадач.
а) Требуется найти $a$, при котором наибольшее значение функции равно 4,5. То есть, $M(a) = 4.5$.
Рассмотрим два случая:
1. При $a \le 0.5$, имеем уравнение $3 - a = 4.5$. Отсюда $a = 3 - 4.5 = -1.5$. Условие $a \le 0.5$ выполняется, так как $-1.5 \le 0.5$.
2. При $a > 0.5$, имеем уравнение $a + 2 = 4.5$. Отсюда $a = 4.5 - 2 = 2.5$. Условие $a > 0.5$ выполняется, так как $2.5 > 0.5$.
Таким образом, подходят два значения параметра $a$.
Ответ: $a = -1.5$ или $a = 2.5$.
б) Требуется найти $a$, при котором наибольшее значение функции равно 3,5. То есть, $M(a) = 3.5$.
Рассмотрим те же два случая:
1. При $a \le 0.5$, имеем уравнение $3 - a = 3.5$. Отсюда $a = 3 - 3.5 = -0.5$. Условие $a \le 0.5$ выполняется, так как $-0.5 \le 0.5$.
2. При $a > 0.5$, имеем уравнение $a + 2 = 3.5$. Отсюда $a = 3.5 - 2 = 1.5$. Условие $a > 0.5$ выполняется, так как $1.5 > 0.5$.
Таким образом, подходят два значения параметра $a$.
Ответ: $a = -0.5$ или $a = 1.5$.
в) Требуется найти $a$, при котором наибольшее значение достигается в двух точках.
Как было установлено, наибольшее значение функции на отрезке $[-2; 3]$ достигается на его концах. Чтобы это значение достигалось в двух точках, необходимо, чтобы значения функции на концах отрезка были равны:
$y(-2) = y(3)$
$|-2 - a| = |3 - a|$
$|a + 2| = |a - 3|$
Это равенство, как было показано ранее, выполняется только в одной точке $a$, которая является серединой отрезка $[-2; 3]$.
$a = \frac{-2 + 3}{2} = 0.5$
При $a = 0.5$ наибольшее значение функции равно $y(-2) = y(3) = |0.5 + 2| = 2.5$, и оно достигается в двух точках: $x=-2$ и $x=3$. При любом другом значении $a$ значение на одном из концов будет строго больше, чем на другом, и, следовательно, максимум будет достигаться только в одной точке.
Ответ: $a = 0.5$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 5.16 расположенного на странице 121 к учебнику серии мгу - школе 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №5.16 (с. 121), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.