Номер 5.21, страница 123 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Функции. Производные. Интегралы. Параграф 5. Применение производной - номер 5.21, страница 123.

Условие.

5.21 $f(x) = x^3 - 3x^2 + x - 1.$

а) $x_0 = 0;$

б) $x_0 = 1;$

в) $x_0 = -1;$

г) $x_0 = -2.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Поскольку в задаче не указано, что именно нужно найти, но дан вид задачи предполагает работу с производной, наиболее полной и стандартной задачей в данном случае является нахождение уравнения касательной к графику функции $f(x)$ в точке $x_0$.

Уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид:

$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$

Дана функция $f(x) = x^3 - 3x^2 + x - 1$.

1. Найдем производную функции $f(x)$

Используя правила дифференцирования, получаем:

$f'(x) = (x^3 - 3x^2 + x - 1)' = (x^3)' - (3x^2)' + (x)' - (1)' = 3x^2 - 6x + 1$.

Теперь для каждой точки $x_0$ найдем $f(x_0)$, $f'(x_0)$ и составим уравнение касательной.

а) $x_0 = 0$

Найдем значение функции в этой точке:

$f(0) = 0^3 - 3 \cdot 0^2 + 0 - 1 = -1$.

Найдем значение производной в этой точке (угловой коэффициент касательной):

$f'(0) = 3 \cdot 0^2 - 6 \cdot 0 + 1 = 1$.

Подставим найденные значения в уравнение касательной:

$y = f(0) + f'(0)(x - 0)$

$y = -1 + 1 \cdot (x - 0)$

$y = x - 1$.

Ответ: уравнение касательной: $y = x - 1$.

б) $x_0 = 1$

Найдем значение функции в этой точке:

$f(1) = 1^3 - 3 \cdot 1^2 + 1 - 1 = 1 - 3 + 1 - 1 = -2$.

Найдем значение производной в этой точке:

$f'(1) = 3 \cdot 1^2 - 6 \cdot 1 + 1 = 3 - 6 + 1 = -2$.

Подставим найденные значения в уравнение касательной:

$y = f(1) + f'(1)(x - 1)$

$y = -2 + (-2) \cdot (x - 1)$

$y = -2 - 2x + 2$

$y = -2x$.

Ответ: уравнение касательной: $y = -2x$.

в) $x_0 = -1$

Найдем значение функции в этой точке:

$f(-1) = (-1)^3 - 3 \cdot (-1)^2 + (-1) - 1 = -1 - 3 \cdot 1 - 1 - 1 = -1 - 3 - 1 - 1 = -6$.

Найдем значение производной в этой точке:

$f'(-1) = 3 \cdot (-1)^2 - 6 \cdot (-1) + 1 = 3 \cdot 1 + 6 + 1 = 3 + 6 + 1 = 10$.

Подставим найденные значения в уравнение касательной:

$y = f(-1) + f'(-1)(x - (-1))$

$y = -6 + 10 \cdot (x + 1)$

$y = -6 + 10x + 10$

$y = 10x + 4$.

Ответ: уравнение касательной: $y = 10x + 4$.

г) $x_0 = -2$

Найдем значение функции в этой точке:

$f(-2) = (-2)^3 - 3 \cdot (-2)^2 + (-2) - 1 = -8 - 3 \cdot 4 - 2 - 1 = -8 - 12 - 2 - 1 = -23$.

Найдем значение производной в этой точке:

$f'(-2) = 3 \cdot (-2)^2 - 6 \cdot (-2) + 1 = 3 \cdot 4 + 12 + 1 = 12 + 12 + 1 = 25$.

Подставим найденные значения в уравнение касательной:

$y = f(-2) + f'(-2)(x - (-2))$

$y = -23 + 25 \cdot (x + 2)$

$y = -23 + 25x + 50$

$y = 25x + 27$.

Ответ: уравнение касательной: $y = 25x + 27$.