Номер 5.20, страница 123 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 5. Применение производной. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 5.20, страница 123.

Условие.

5.20 $f(x) = x^2 + 2x - 3.$

а) $x_0 = 0;$

б) $x_0 = 1;$

в) $x_0 = -1;$

г) $x_0 = -2.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Подразумевается, что для каждого случая необходимо найти уравнение касательной к графику функции $f(x) = x^2 + 2x - 3$ в точке $x_0$.

Уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид:

$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$

Сначала найдем производную данной функции:

$f'(x) = (x^2 + 2x - 3)' = (x^2)' + (2x)' - (3)' = 2x + 2$.

Теперь поочередно для каждой точки найдем уравнение касательной.

а) $x_0 = 0$

1. Найдем значение функции в точке $x_0 = 0$:

$f(0) = 0^2 + 2 \cdot 0 - 3 = -3$.

2. Найдем значение производной в точке $x_0 = 0$:

$f'(0) = 2 \cdot 0 + 2 = 2$.

3. Подставим вычисленные значения $f(0) = -3$ и $f'(0) = 2$ в формулу уравнения касательной:

$y = -3 + 2(x - 0)$

$y = 2x - 3$.

Ответ: $y = 2x - 3$.

б) $x_0 = 1$

1. Найдем значение функции в точке $x_0 = 1$:

$f(1) = 1^2 + 2 \cdot 1 - 3 = 1 + 2 - 3 = 0$.

2. Найдем значение производной в точке $x_0 = 1$:

$f'(1) = 2 \cdot 1 + 2 = 4$.

3. Подставим вычисленные значения $f(1) = 0$ и $f'(1) = 4$ в формулу уравнения касательной:

$y = 0 + 4(x - 1)$

$y = 4x - 4$.

Ответ: $y = 4x - 4$.

в) $x_0 = -1$

1. Найдем значение функции в точке $x_0 = -1$:

$f(-1) = (-1)^2 + 2 \cdot (-1) - 3 = 1 - 2 - 3 = -4$.

2. Найдем значение производной в точке $x_0 = -1$:

$f'(-1) = 2 \cdot (-1) + 2 = -2 + 2 = 0$.

3. Подставим вычисленные значения $f(-1) = -4$ и $f'(-1) = 0$ в формулу уравнения касательной:

$y = -4 + 0(x - (-1))$

$y = -4 + 0 \cdot (x + 1)$

$y = -4$.

Ответ: $y = -4$.

г) $x_0 = -2$

1. Найдем значение функции в точке $x_0 = -2$:

$f(-2) = (-2)^2 + 2 \cdot (-2) - 3 = 4 - 4 - 3 = -3$.

2. Найдем значение производной в точке $x_0 = -2$:

$f'(-2) = 2 \cdot (-2) + 2 = -4 + 2 = -2$.

3. Подставим вычисленные значения $f(-2) = -3$ и $f'(-2) = -2$ в формулу уравнения касательной:

$y = -3 + (-2)(x - (-2))$

$y = -3 - 2(x + 2)$

$y = -3 - 2x - 4$

$y = -2x - 7$.

Ответ: $y = -2x - 7$.