Номер 5.22, страница 123 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Функции. Производные. Интегралы. Параграф 5. Применение производной - номер 5.22, страница 123.

Условие.

5.22 $f(x) = \sin x$.

а) $x_0 = 0$;

б) $x_0 = \frac{\pi}{2}$;

в) $x_0 = -\frac{\pi}{2}$;

г) $x_0 = \pi$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Для решения задачи необходимо найти уравнение касательной к графику функции $f(x) = \sin x$ в каждой из заданных точек $x_0$. Общее уравнение касательной в точке $x_0$ имеет вид:

$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$

Сначала найдем производную функции $f(x) = \sin x$:

$f'(x) = (\sin x)' = \cos x$

Теперь поочередно рассмотрим каждый случай.

а) $x_0 = 0$

1. Найдем значение функции в точке $x_0 = 0$:
$f(0) = \sin(0) = 0$.

2. Найдем значение производной в точке $x_0 = 0$:
$f'(0) = \cos(0) = 1$.

3. Подставим найденные значения $f(x_0)$ и $f'(x_0)$ в уравнение касательной:
$y = f(0) + f'(0)(x - 0)$
$y = 0 + 1 \cdot (x - 0)$
$y = x$.

Ответ: $y = x$.

б) $x_0 = \frac{\pi}{2}$

1. Найдем значение функции в точке $x_0 = \frac{\pi}{2}$:
$f(\frac{\pi}{2}) = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$.

2. Найдем значение производной в точке $x_0 = \frac{\pi}{2}$:
$f'(\frac{\pi}{2}) = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$.

3. Подставим найденные значения в уравнение касательной:
$y = f(\frac{\pi}{2}) + f'(\frac{\pi}{2})(x - \frac{\pi}{2})$
$y = 1 + 0 \cdot (x - \frac{\pi}{2})$
$y = 1$.

Ответ: $y = 1$.

в) $