Номер 5.15, страница 120 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 5. Применение производной. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 5.15, страница 120.

Условие.

5.15* Найдите максимум и минимум функции $y = \sqrt{|x|}$ на:

а) отрезке $ [-1; 1] $;

б) интервале $ (-1; 1) $;

в) полуинтервале $ [-1; 1) $;

г) полуинтервале $ (-1; 1] $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Для нахождения максимума и минимума функции $y = \sqrt{|x|}$ на заданных промежутках, исследуем ее поведение. Функция определена для всех $x$, так как подкоренное выражение $|x| \ge 0$ всегда.При $x > 0$ функция имеет вид $y = \sqrt{x}$ и является возрастающей.При $x < 0$ функция имеет вид $y = \sqrt{-x}$ и является убывающей.В точке $x=0$ функция непрерывна, и так как слева от этой точки функция убывает, а справа — возрастает, то $x=0$ является точкой глобального минимума. Значение функции в этой точке: $y(0) = \sqrt{|0|} = 0$.Функция является четной, поскольку $y(-x) = \sqrt{|-x|} = \sqrt{|x|} = y(x)$, ее график симметричен относительно оси Oy.

а) отрезке [-1; 1];

На замкнутом отрезке $[-1; 1]$ непрерывная функция достигает своих наибольшего и наименьшего значений. Для их нахождения нужно проверить значения функции в критических точках внутри отрезка и на его концах. Критическая точка одна: $x=0$. Вычислим значения: $y(0) = 0$, $y(-1) = \sqrt{|-1|} = 1$, $y(1) = \sqrt{|1|} = 1$. Сравнивая эти значения, получаем, что наименьшее значение функции (минимум) равно 0, а наибольшее (максимум) равно 1.

Ответ: минимум функции равен 0 (при $x=0$), максимум равен 1 (при $x=-1$ и $x=1$).

б) интервале (-1; 1);

На открытом интервале $(-1; 1)$ точка минимума $x=0$ принадлежит этому интервалу, поэтому наименьшее значение функции достигается и равно $y(0) = 0$. При приближении $x$ к концам интервала (к -1 и к 1), значения функции $y(x)$ стремятся к 1, но никогда его не достигают, поскольку точки $x=-1$ и $x=1$ не принадлежат интервалу. Следовательно, точную верхнюю грань (супремум), равную 1, функция не достигает, и максимума на данном интервале не существует.

Ответ: минимум функции равен 0 (при $x=0$), максимума не существует.

в) полуинтервале [-1; 1);

На полуинтервале $[-1; 1)$ точка минимума $x=0$ принадлежит этому промежутку, поэтому наименьшее значение функции равно $y(0)=0$. Для нахождения максимума сравним значение функции на включенной границе $x=-1$ и поведение функции у невключенной границы. Значение на границе: $y(-1) = \sqrt{|-1|} = 1$. При $x \to 1^-$, значения $y(x)$ стремятся к 1. Поскольку значение 1 достигается в точке $x=-1$, а все другие значения функции на промежутке не больше 1, то максимум функции равен 1.

Ответ: минимум функции равен 0 (при $x=0$), максимум равен 1 (при $x=-1$).

г) полуинтервале (-1; 1].

На полуинтервале $(-1; 1]$ рассуждения аналогичны. Точка минимума $x=0$ принадлежит промежутку, следовательно, наименьшее значение функции равно $y(0)=0$. Для нахождения максимума сравним значение функции на включенной границе $x=1$ и поведение у невключенной границы $x=-1$. Значение на границе: $y(1) = \sqrt{|1|} = 1$. При $x \to -1^+$, значения $y(x)$ стремятся к 1. Так как значение 1 достигается в точке $x=1$, а все другие значения функции на промежутке не больше 1, то максимум функции равен 1.

Ответ: минимум функции равен 0 (при $x=0$), максимум равен 1 (при $x=1$).