Номер 5.13, страница 120 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Функции. Производные. Интегралы. Параграф 5. Применение производной - номер 5.13, страница 120.

Условие.

5.13 Определите наибольшее и наименьшее значения функции:

a) $y = x + \ln(-x)$ на отрезке $[-4; -0,5];

б) $y = x + e^{-x}$ на отрезке $[-\ln 4; \ln 2].

Можно считать, что $\ln 2 \approx 0,7$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а)

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции $y = x + \ln(-x)$ на отрезке $[-4; -0,5]$, будем следовать стандартному алгоритму исследования функции на отрезке.
1. Находим производную функции.
2. Находим стационарные (критические) точки, в которых производная равна нулю или не существует, и отбираем те, что принадлежат заданному отрезку.
3. Вычисляем значения функции в отобранных критических точках и на концах отрезка.
4. Из полученных значений выбираем наибольшее и наименьшее.

1. Нахождение производной.
Область определения функции задается условием $-x > 0$, то есть $x < 0$. Весь отрезок $[-4; -0,5]$ входит в область определения.
Производная функции $y(x)$ равна:
$y'(x) = (x + \ln(-x))' = 1 + \frac{1}{-x} \cdot (-x)' = 1 + \frac{1}{-x} \cdot (-1) = 1 + \frac{1}{x}$.

2. Нахождение критических точек.
Приравниваем производную к нулю:
$y'(x) = 0 \implies 1 + \frac{1}{x} = 0 \implies \frac{1}{x} = -1 \implies x = -1$.
Производная не существует при $x=0$, но эта точка не входит в область определения функции.
Критическая точка $x = -1$ принадлежит отрезку $[-4; -0,5]$, так как $-4 < -1 < -0,5$.

3. Вычисление значений функции.
Вычислим значения функции в критической точке $x = -1$ и на концах отрезка $x = -4$ и $x = -0,5$.
В критической точке:
$y(-1) = -1 + \ln(-(-1)) = -1 + \ln(1) = -1 + 0 = -1$.
На левом конце отрезка:
$y(-4) = -4 + \ln(-(-4)) = -4 + \ln(4)$.
На правом конце отрезка:
$y(-0,5) = -0,5 + \ln(-(-0,5)) = -0,5 + \ln(0,5) = -0,5 + \ln(2^{-1}) = -0,5 - \ln(2)$.

4. Сравнение значений.
Сравним полученные значения: $-1$, $-4 + \ln(4)$ и $-0,5 - \ln(2)$.
Используем свойство логарифма $\ln(4) = \ln(2^2) = 2\ln(2)$ и данное в условии приближение $\ln 2 \approx 0,7$.
$y(-1) = -1$.
$y(-4) = -4 + 2\ln(2) \approx -4 + 2 \cdot 0,7 = -4 + 1,4 = -2,6$.
$y(-0,5) = -0,5 - \ln(2) \approx -0,5 - 0,7 = -1,2$.
Сравнивая числа $-1$, $-2,6$ и $-1,2$, заключаем, что наибольшее значение – это $-1$, а наименьшее – $-2,6$.
Таким образом, наибольшее значение достигается в точке $x=-1$, а наименьшее – в точке $x=-4$.

Ответ: наибольшее значение функции $y_{наиб.} = -1$, наименьшее значение $y_{наим.} = -4 + \ln(4)$.

б)

Найдем наибольшее и наименьшее значения функции $y = x + e^{-x}$ на отрезке $[-\ln 4; \ln 2]$, используя тот же алгоритм.

1. Нахождение производной.
Область определения функции – все действительные числа ($x \in \mathbb{R}$), поэтому функция определена на всем отрезке.
Производная функции $y(x)$ равна:
$y'(x) = (x + e^{-x})' = 1 + e^{-x} \cdot (-1) = 1 - e^{-x}$.

2. Нахождение критических точек.
Приравниваем производную к нулю:
$y'(x) = 0 \implies 1 - e^{-x} = 0 \implies e^{-x} = 1$.
Так как $e^0 = 1$, то $-x = 0$, откуда $x = 0$.
Проверим, принадлежит ли точка $x = 0$ отрезку $[-\ln 4; \ln 2]$.
Поскольку $4 > 1$, то $\ln 4 > \ln 1 = 0$, значит $-\ln 4 < 0$.
Поскольку $2 > 1$, то $\ln 2 > \ln 1 = 0$.
Таким образом, $-\ln 4 < 0 < \ln 2$, и точка $x=0$ принадлежит заданному отрезку.

3. Вычисление значений функции.
Вычислим значения функции в критической точке $x=0$ и на концах отрезка $x = -\ln 4$ и $x = \ln 2$.
В критической точке:
$y(0) = 0 + e^{-0} = 0 + 1 = 1$.
На левом конце отрезка:
$y(-\ln 4) = -\ln 4 + e^{-(-\ln 4)} = -\ln 4 + e^{\ln 4} = 4 - \ln 4$.
На правом конце отрезка:
$y(\ln 2) = \ln 2 + e^{-\ln 2} = \ln 2 + e^{\ln(2^{-1})} = \ln 2 + \frac{1}{2} = \ln 2 + 0,5$.

4. Сравнение значений.
Сравним полученные значения: $1$, $4 - \ln 4$ и $\ln 2 + 0,5$.
Используем приближения $\ln 2 \approx 0,7$ и $\ln 4 = 2\ln 2 \approx 1,4$.
$y(0) = 1$.
$y(-\ln 4) = 4 - \ln 4 \approx 4 - 1,4 = 2,6$.
$y(\ln 2) = \ln 2 + 0,5 \approx 0,7 + 0,5 = 1,2$.
Сравнивая числа $1$, $2,6$ и $1,2$, заключаем, что наибольшее значение – это $2,6$, а наименьшее – $1$.
Таким образом, наибольшее значение достигается в точке $x=-\ln 4$, а наименьшее – в точке $x=0$.

Ответ: наибольшее значение функции $y_{наиб.} = 4 - \ln 4$, наименьшее значение $y_{наим.} = 1$.