Номер 5.17, страница 121 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 5. Применение производной. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 5.17, страница 121.

Условие.

5.17 ИССЛЕДУЕМ. Последовательность задана формулой общего члена:

a) $x_n = n^2 - 30.5n + 205$;

б) $x_n = n^2 - 40.5n + 305$.

Найдите наименьший член последовательности.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) $x_n = n^2 - 30,5n + 205$

Чтобы найти наименьший член последовательности, заданной формулой $x_n = n^2 - 30,5n + 205$, мы можем рассмотреть соответствующую квадратичную функцию $f(n) = n^2 - 30,5n + 205$. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $n^2$ положителен (равен 1). Наименьшее значение такая функция принимает в своей вершине.

Координата вершины параболы по оси абсцисс (в данном случае по оси $n$) вычисляется по формуле $n_0 = -b/(2a)$. Для нашей функции $a=1$ и $b=-30,5$.

$n_0 = -(-30,5) / (2 \cdot 1) = 30,5 / 2 = 15,25$.

Поскольку номер члена последовательности $n$ должен быть натуральным числом, наименьший член последовательности будет соответствовать одному из двух натуральных чисел, ближайших к найденному значению $n_0 = 15,25$. Этими числами являются $n=15$ и $n=16$.

Вычислим значения члена последовательности для этих двух номеров:

При $n=15$:
$x_{15} = 15^2 - 30,5 \cdot 15 + 205 = 225 - 457,5 + 205 = 430 - 457,5 = -27,5$.

При $n=16$:
$x_{16} = 16^2 - 30,5 \cdot 16 + 205 = 256 - 488 + 205 = 461 - 488 = -27$.

Сравнивая полученные значения, видим, что $-27,5 < -27$. Следовательно, наименьший член последовательности равен $-27,5$.

Ответ: -27,5.

б) $x_n = n^2 - 40,5n + 305$

Действуем аналогично предыдущему пункту. Рассмотрим квадратичную функцию $f(n) = n^2 - 40,5n + 305$. Это парабола с ветвями, направленными вверх, так как коэффициент $a=1$ положителен.

Найдем координату вершины параболы по оси $n$, где $a=1$ и $b=-40,5$:

$n_0 = -(-40,5) / (2 \cdot 1) = 40,5 / 2 = 20,25$.

Так как $n$ — натуральное число, наименьшее значение последовательности будет достигаться при одном из двух натуральных чисел, ближайших к $n_0 = 20,25$. Этими числами являются $n=20$ и $n=21$.

Вычислим значения члена последовательности для этих номеров:

При $n=20$:
$x_{20} = 20^2 - 40,5 \cdot 20 + 305 = 400 - 810 + 305 = 705 - 810 = -105$.

При $n=21$:
$x_{21} = 21^2 - 40,5 \cdot 21 + 305 = 441 - 850,5 + 305 = 746 - 850,5 = -104,5$.

Сравнивая полученные значения, видим, что $-105 < -104,5$. Следовательно, наименьший член последовательности равен $-105$.

Ответ: -105.