Номер 5.18, страница 123 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Функции. Производные. Интегралы. Параграф 5. Применение производной - номер 5.18, страница 123.

Условие.

5.18 Какими свойствами должна обладать функция $y = f(x)$, заданная на интервале $(a; b)$, чтобы в точке с абсциссой $x_0 \in (a; b)$ её график имел касательную? Каково уравнение этой касательной?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Какими свойствами должна обладать функция y = f(x), заданная на интервале (a; b), чтобы в точке с абсциссой x₀ ∈ (a; b) её график имел касательную?

Для того чтобы график функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имел касательную, функция должна быть дифференцируемой в этой точке.

По определению, касательная к графику функции в точке $M_0(x_0, f(x_0))$ — это предельное положение секущей $M_0M$, когда точка $M(x, f(x))$ стремится к точке $M_0$ вдоль кривой. Угловой коэффициент секущей $M_0M$ равен $\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$.

Чтобы у секущей было предельное положение (то есть чтобы существовала касательная), должен существовать конечный предел её углового коэффициента при $x \to x_0$. Этот предел и является производной функции $f(x)$ в точке $x_0$: $$ f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} $$ Таким образом, существование касательной в точке $x_0$ эквивалентно существованию конечной производной $f'(x_0)$ в этой точке.

Следует отметить, что если функция дифференцируема в точке, она обязательно непрерывна в этой точке.

Ответ: Функция $y = f(x)$ должна быть дифференцируемой в точке $x_0$.

Каково уравнение этой касательной?

Уравнение касательной — это уравнение прямой, проходящей через точку касания и имеющей определённый угловой коэффициент.

1. Точка касания. Касательная проходит через точку на графике, её координаты $(x_0, y_0)$, где $y_0 = f(x_0)$.

2. Угловой коэффициент. Геометрический смысл производной заключается в том, что её значение в точке касания равно угловому коэффициенту (тангенсу угла наклона) касательной. Таким образом, угловой коэффициент $k$ равен $f'(x_0)$.

Уравнение прямой, проходящей через точку $(x_0, y_0)$ с угловым коэффициентом $k$, имеет вид: $$ y - y_0 = k(x - x_0) $$

Подставив в это уравнение координаты точки касания и значение углового коэффициента, мы получим искомое уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$: $$ y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0) $$ Это уравнение можно также записать в виде: $$ y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) $$

Ответ: Уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.