Номер 5.18, страница 123 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Серия: мгу - школе
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087641-4
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 5. Применение производной. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 5.18, страница 123.
№5.18 (с. 123)
Условие. №5.18 (с. 123)
скриншот условия

5.18 Какими свойствами должна обладать функция $y = f(x)$, заданная на интервале $(a; b)$, чтобы в точке с абсциссой $x_0 \in (a; b)$ её график имел касательную? Каково уравнение этой касательной?
Решение 1. №5.18 (с. 123)

Решение 2. №5.18 (с. 123)

Решение 4. №5.18 (с. 123)
Какими свойствами должна обладать функция y = f(x), заданная на интервале (a; b), чтобы в точке с абсциссой x₀ ∈ (a; b) её график имел касательную?
Для того чтобы график функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имел касательную, функция должна быть дифференцируемой в этой точке.
По определению, касательная к графику функции в точке $M_0(x_0, f(x_0))$ — это предельное положение секущей $M_0M$, когда точка $M(x, f(x))$ стремится к точке $M_0$ вдоль кривой. Угловой коэффициент секущей $M_0M$ равен $\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$.
Чтобы у секущей было предельное положение (то есть чтобы существовала касательная), должен существовать конечный предел её углового коэффициента при $x \to x_0$. Этот предел и является производной функции $f(x)$ в точке $x_0$: $$ f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} $$ Таким образом, существование касательной в точке $x_0$ эквивалентно существованию конечной производной $f'(x_0)$ в этой точке.
Следует отметить, что если функция дифференцируема в точке, она обязательно непрерывна в этой точке.
Ответ: Функция $y = f(x)$ должна быть дифференцируемой в точке $x_0$.
Каково уравнение этой касательной?
Уравнение касательной — это уравнение прямой, проходящей через точку касания и имеющей определённый угловой коэффициент.
1. Точка касания. Касательная проходит через точку на графике, её координаты $(x_0, y_0)$, где $y_0 = f(x_0)$.
2. Угловой коэффициент. Геометрический смысл производной заключается в том, что её значение в точке касания равно угловому коэффициенту (тангенсу угла наклона) касательной. Таким образом, угловой коэффициент $k$ равен $f'(x_0)$.
Уравнение прямой, проходящей через точку $(x_0, y_0)$ с угловым коэффициентом $k$, имеет вид: $$ y - y_0 = k(x - x_0) $$
Подставив в это уравнение координаты точки касания и значение углового коэффициента, мы получим искомое уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$: $$ y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0) $$ Это уравнение можно также записать в виде: $$ y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) $$
Ответ: Уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 5.18 расположенного на странице 123 к учебнику серии мгу - школе 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №5.18 (с. 123), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.