Номер 5.23, страница 123 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Функции. Производные. Интегралы. Параграф 5. Применение производной - номер 5.23, страница 123.

Условие.

5.23 $f(x) = \cos x.$

а) $x_0 = 0;$

б) $x_0 = \frac{\pi}{2};$

в) $x_0 = -\frac{\pi}{2};$

г) $x_0 = -\pi.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Общий вид уравнения касательной к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

Дана функция $f(x) = \cos x$.

Найдем её производную: $f'(x) = (\cos x)' = -\sin x$.

а) $x_0 = 0$

Найдём значение функции и её производной в точке $x_0 = 0$:

$f(x_0) = f(0) = \cos(0) = 1$

$f'(x_0) = f'(0) = -\sin(0) = 0$

Подставим эти значения в уравнение касательной:

$y = 1 + 0 \cdot (x - 0)$

$y = 1$

Ответ: $y=1$.

б) $x_0 = \frac{\pi}{2}$

Найдём значение функции и её производной в точке $x_0 = \frac{\pi}{2}$:

$f(x_0) = f(\frac{\pi}{2}) = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$

$f'(x_0) = f'(\frac{\pi}{2}) = -\sin(\frac{\pi}{2}) = -1$

Подставим эти значения в уравнение касательной:

$y = 0 + (-1) \cdot (x - \frac{\pi}{2})$

$y = -x + \frac{\pi}{2}$

Ответ: $y = -x + \frac{\pi}{2}$.

в) $x_0 = -\frac{\pi}{2}$

Найдём значение функции и её производной в точке $x_0 = -\frac{\pi}{2}$:

$f(x_0) = f(-\frac{\pi}{2}) = \cos(-\frac{\pi}{2}) = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$

$f'(x_0) = f'(-\frac{\pi}{2}) = -\sin(-\frac{\pi}{2}) = -(-\sin(\frac{\pi}{2})) = 1$

Подставим эти значения в уравнение касательной:

$y = 0 + 1 \cdot (x - (-\frac{\pi}{2}))$

$y = x + \frac{\pi}{2}$

Ответ: $y = x + \frac{\pi}{2}$.

г) $x_0 = -\pi$

Найдём значение функции и её производной в точке $x_0 = -\pi$:

$f(x_0) = f(-\pi) = \cos(-\pi) = \cos(\pi) = -1$

$f'(x_0) = f'(-\pi) = -\sin(-\pi) = -(-\sin(\pi)) = 0$

Подставим эти значения в уравнение касательной:

$y = -1 + 0 \cdot (x - (-\pi))$

$y = -1$

Ответ: $y=-1$.