Номер 5.30, страница 124 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 5. Применение производной. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 5.30, страница 124.

Условие.

5.30 a) $f(x) = \frac{8}{\sqrt{x}}$, $x_0 = 4$;

б) $f(x) = \frac{-4}{\sqrt{x}}$, $x_0 = 2$;

В) $f(x) = \sin \frac{\pi x}{2} + \ln (2 - x)$, $x_0 = 1$;

Г) $f(x) = \cos \pi x - e^{1-x}$, $x_0 = 1$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Для функции $f(x) = \frac{8}{\sqrt{x}}$ в точке $x_0 = 4$ найдем уравнение касательной, которое имеет вид $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.
1. Найдем значение функции в точке $x_0 = 4$:
$f(4) = \frac{8}{\sqrt{4}} = \frac{8}{2} = 4$.
2. Найдем производную функции. Представим функцию в виде $f(x) = 8x^{-1/2}$ и применим правило дифференцирования степенной функции:
$f'(x) = (8x^{-1/2})' = 8 \cdot (-\frac{1}{2})x^{-1/2 - 1} = -4x^{-3/2} = -\frac{4}{x\sqrt{x}}$.
3. Найдем значение производной в точке $x_0 = 4$, которое является угловым коэффициентом касательной:
$f'(4) = -\frac{4}{4\sqrt{4}} = -\frac{4}{4 \cdot 2} = -\frac{4}{8} = -\frac{1}{2}$.
4. Подставим найденные значения $f(4)=4$ и $f'(4)=-1/2$ в уравнение касательной:
$y = 4 + (-\frac{1}{2})(x - 4) = 4 - \frac{1}{2}x + 2 = 6 - \frac{1}{2}x$.
Ответ: $y = 6 - \frac{1}{2}x$.

б) Для функции $f(x) = \frac{-4}{\sqrt{x}}$ в точке $x_0 = 2$ найдем уравнение касательной $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.
1. Найдем значение функции в точке $x_0 = 2$:
$f(2) = \frac{-4}{\sqrt{2}} = \frac{-4\sqrt{2}}{2} = -2\sqrt{2}$.
2. Найдем производную функции. Представим функцию в виде $f(x) = -4x^{-1/2}$:
$f'(x) = (-4x^{-1/2})' = -4 \cdot (-\frac{1}{2})x^{-1/2 - 1} = 2x^{-3/2} = \frac{2}{x\sqrt{x}}$.
3. Найдем значение производной в точке $x_0 = 2$:
$f'(2) = \frac{2}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
4. Подставим найденные значения в уравнение касательной:
$y = -2\sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}(x - 2) = -2\sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}x - \sqrt{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}x - 3\sqrt{2}$.
Ответ: $y = \frac{\sqrt{2}}{2}x - 3\sqrt{2}$.

в) Для функции $f(x) = \sin(\frac{\pi x}{2}) + \ln(2-x)$ в точке $x_0 = 1$ найдем уравнение касательной $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.
1. Найдем значение функции в точке $x_0 = 1$:
$f(1) = \sin(\frac{\pi \cdot 1}{2}) + \ln(2-1) = \sin(\frac{\pi}{2}) + \ln(1) = 1 + 0 = 1$.
2. Найдем производную функции, используя правило производной суммы и цепное правило:
$f'(x) = (\sin(\frac{\pi x}{2}))' + (\ln(2-x))' = \cos(\frac{\pi x}{2}) \cdot (\frac{\pi x}{2})' + \frac{1}{2-x} \cdot (2-x)' = \frac{\pi}{2}\cos(\frac{\pi x}{2}) - \frac{1}{2-x}$.
3. Найдем значение производной в точке $x_0 = 1$:
$f'(1) = \frac{\pi}{2}\cos(\frac{\pi}{2}) - \frac{1}{2-1} = \frac{\pi}{2} \cdot 0 - 1 = -1$.
4. Подставим найденные значения в уравнение касательной:
$y = 1 + (-1)(x - 1) = 1 - x + 1 = 2 - x$.
Ответ: $y = 2 - x$.

г) Для функции $f(x) = \cos(\pi x) - e^{1-x}$ в точке $x_0 = 1$ найдем уравнение касательной $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.
1. Найдем значение функции в точке $x_0 = 1$:
$f(1) = \cos(\pi \cdot 1) - e^{1-1} = \cos(\pi) - e^0 = -1 - 1 = -2$.
2. Найдем производную функции, используя правило производной разности и цепное правило:
$f'(x) = (\cos(\pi x))' - (e^{1-x})' = -\sin(\pi x) \cdot (\pi x)' - e^{1-x} \cdot (1-x)' = -\pi\sin(\pi x) - e^{1-x} \cdot (-1) = -\pi\sin(\pi x) + e^{1-x}$.
3. Найдем значение производной в точке $x_0 = 1$:
$f'(1) = -\pi\sin(\pi) + e^{1-1} = -\pi \cdot 0 + e^0 = 1$.
4. Подставим найденные значения в уравнение касательной:
$y = -2 + 1(x - 1) = -2 + x - 1 = x - 3$.
Ответ: $y = x - 3$.