Страница 124 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

5.24 $f(x) = \text{tg } x.$

а) $x_0 = 0;$

б) $x_0 = \frac{\pi}{4};$

в) $x_0 = -\frac{\pi}{4};$

г) $x_0 = \frac{\pi}{6}.$

Для решения задачи необходимо найти производную функции $f(x) = \tg x$, а затем вычислить её значение в каждой из заданных точек $x_0$.

Производная функции тангенса является стандартной и находится по формуле:

$f'(x) = (\tg x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$.

Теперь вычислим значения производной для каждого случая.

а) $x_0 = 0$

Подставим значение $x_0 = 0$ в формулу производной:

$f'(0) = \frac{1}{\cos^2(0)}$

Зная, что $\cos(0) = 1$, получаем:

$f'(0) = \frac{1}{1^2} = 1$.

Ответ: $1$.

б) $x_0 = \frac{\pi}{4}$

Подставим значение $x_0 = \frac{\pi}{4}$ в формулу производной:

$f'\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\cos^2\left(\frac{\pi}{4}\right)}$

Зная, что $\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем:

$f'\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2} = \frac{1}{\frac{2}{4}} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2$.

Ответ: $2$.

в) $x_0 = -\frac{\pi}{4}$

Подставим значение $x_0 = -\frac{\pi}{4}$ в формулу производной:

$f'\left(-\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\cos^2\left(-\frac{\pi}{4}\right)}$

Функция косинуса является четной, то есть $\cos(-x) = \cos(x)$. Поэтому $\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

$f'\left(-\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2} = \frac{1}{\frac{2}{4}} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2$.

Ответ: $2$.

г) $x_0 = \frac{\pi}{6}$

Подставим значение $x_0 = \frac{\pi}{6}$ в формулу производной:

$f'\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{\cos^2\left(\frac{\pi}{6}\right)}$

Зная, что $\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:

$f'\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} = \frac{1}{\frac{3}{4}} = \frac{4}{3}$.

Ответ: $\frac{4}{3}$.

5.25 $f(x) = \text{ctg } x.$

а) $x_0 = \frac{\pi}{2};$

б) $x_0 = -\frac{\pi}{2};$

в) $x_0 = \frac{\pi}{4};$

г) $x_0 = -\frac{\pi}{6}.$

а) Чтобы найти значение функции $f(x) = \operatorname{ctg} x$ в точке $x_0 = \frac{\pi}{2}$, необходимо подставить это значение аргумента в функцию.

$f(\frac{\pi}{2}) = \operatorname{ctg}(\frac{\pi}{2})$

Значение котангенса для угла $\frac{\pi}{2}$ (или 90°) можно найти из определения $\operatorname{ctg} x = \frac{\cos x}{\sin x}$:

$\operatorname{ctg}(\frac{\pi}{2}) = \frac{\cos(\frac{\pi}{2})}{\sin(\frac{\pi}{2})} = \frac{0}{1} = 0$

Ответ: $0$.

б) Найдем значение функции $f(x) = \operatorname{ctg} x$ в точке $x_0 = -\frac{\pi}{2}$.

$f(-\frac{\pi}{2}) = \operatorname{ctg}(-\frac{\pi}{2})$

Функция котангенс является нечетной, то есть для любого $x$ из области определения выполняется равенство $\operatorname{ctg}(-x) = -\operatorname{ctg} x$.

Используя это свойство и результат из пункта а):

$\operatorname{ctg}(-\frac{\pi}{2}) = -\operatorname{ctg}(\frac{\pi}{2}) = -0 = 0$

Ответ: $0$.

в) Найдем значение функции $f(x) = \operatorname{ctg} x$ в точке $x_0 = \frac{\pi}{4}$.

$f(\frac{\pi}{4}) = \operatorname{ctg}(\frac{\pi}{4})$

Это табличное значение для тригонометрических функций. Для угла $\frac{\pi}{4}$ (или 45°) значения синуса и косинуса равны: $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

$\operatorname{ctg}(\frac{\pi}{4}) = \frac{\cos(\frac{\pi}{4})}{\sin(\frac{\pi}{4})} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 1$

Ответ: $1$.

г) Найдем значение функции $f(x) = \operatorname{ctg} x$ в точке $x_0 = -\frac{\pi}{6}$.

$f(-\frac{\pi}{6}) = \operatorname{ctg}(-\frac{\pi}{6})$

Воспользуемся свойством нечетности функции котангенс:

$\operatorname{ctg}(-\frac{\pi}{6}) = -\operatorname{ctg}(\frac{\pi}{6})$

Найдем табличное значение для $\operatorname{ctg}(\frac{\pi}{6})$. Для угла $\frac{\pi}{6}$ (или 30°) имеем $\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$.

$\operatorname{ctg}(\frac{\pi}{6}) = \frac{\cos(\frac{\pi}{6})}{\sin(\frac{\pi}{6})} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = \sqrt{3}$

Следовательно:

$\operatorname{ctg}(-\frac{\pi}{6}) = -\sqrt{3}$

Ответ: $-\sqrt{3}$.

5.26 $f(x) = \ln x.$

а) $x_0 = 1;$

б) $x_0 = 2;$

в) $x_0 = 3;$

г) $x_0 = e.$

Для решения задачи найдем уравнения касательных к графику функции $f(x) = \ln x$ в каждой из заданных точек $x_0$. Уравнение касательной в точке с абсциссой $x_0$ задается формулой: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

Производная данной функции: $f'(x) = (\ln x)' = \frac{1}{x}$.

а) Для точки $x_0 = 1$.

Вычислим значение функции и ее производной в точке $x_0 = 1$:

$f(x_0) = f(1) = \ln(1) = 0$

$f'(x_0) = f'(1) = \frac{1}{1} = 1$

Подставим эти значения в уравнение касательной:

$y = 0 + 1 \cdot (x - 1)$

Упрощая, получаем уравнение касательной:

$y = x - 1$

Ответ: $y = x - 1$.

б) Для точки $x_0 = 2$.

Вычислим значение функции и ее производной в точке $x_0 = 2$:

$f(x_0) = f(2) = \ln(2)$

$f'(x_0) = f'(2) = \frac{1}{2}$

Подставим эти значения в уравнение касательной:

$y = \ln(2) + \frac{1}{2}(x - 2)$

Упрощая, получаем уравнение касательной:

$y = \ln(2) + \frac{1}{2}x - 1$

$y = \frac{1}{2}x + \ln 2 - 1$

Ответ: $y = \frac{1}{2}x + \ln 2 - 1$.

в) Для точки $x_0 = 3$.

Вычислим значение функции и ее производной в точке $x_0 = 3$:

$f(x_0) = f(3) = \ln(3)$

$f'(x_0) = f'(3) = \frac{1}{3}$

Подставим эти значения в уравнение касательной:

$y = \ln(3) + \frac{1}{3}(x - 3)$

Упрощая, получаем уравнение касательной:

$y = \ln(3) + \frac{1}{3}x - 1$

$y = \frac{1}{3}x + \ln 3 - 1$

Ответ: $y = \frac{1}{3}x + \ln 3 - 1$.

г) Для точки $x_0 = e$.

Вычислим значение функции и ее производной в точке $x_0 = e$:

$f(x_0) = f(e) = \ln(e) = 1$

$f'(x_0) = f'(e) = \frac{1}{e}$

Подставим эти значения в уравнение касательной:

$y = 1 + \frac{1}{e}(x - e)$

Упрощая, получаем уравнение касательной:

$y = 1 + \frac{1}{e}x - \frac{e}{e}$

$y = 1 + \frac{1}{e}x - 1$

$y = \frac{1}{e}x$

Ответ: $y = \frac{1}{e}x$.

5.27 $f(x) = \log_2 x$.

a) $x_0 = 1$;

б) $x_0 = 2$;

в) $x_0 = 4$;

г) $x_0 = 8$.

а)

Дана функция $f(x) = \log_2 x$. Чтобы найти значение функции в точке $x_0 = 1$, нужно подставить это значение в функцию:

$f(1) = \log_2 1$.

По определению логарифма, $\log_b a$ — это показатель степени, в которую надо возвести основание $b$, чтобы получить число $a$. В данном случае мы ищем степень, в которую нужно возвести 2, чтобы получить 1. Так как любое число (кроме 0) в степени 0 равно 1, то есть $2^0 = 1$, то логарифм равен 0.

$f(1) = 0$.

Ответ: $0$.

б)

Найдем значение функции $f(x) = \log_2 x$ в точке $x_0 = 2$.

Подставляем $x_0 = 2$ в функцию:

$f(2) = \log_2 2$.

Мы ищем степень, в которую нужно возвести 2, чтобы получить 2. Так как $2^1 = 2$, то логарифм равен 1.

$f(2) = 1$.

Ответ: $1$.

в)

Найдем значение функции $f(x) = \log_2 x$ в точке $x_0 = 4$.

Подставляем $x_0 = 4$ в функцию:

$f(4) = \log_2 4$.

Мы ищем степень, в которую нужно возвести 2, чтобы получить 4. Так как $4 = 2^2$, то логарифм равен 2. Можно также использовать свойство логарифма: $\log_b (a^p) = p \log_b a$.

$f(4) = \log_2 (2^2) = 2 \cdot \log_2 2 = 2 \cdot 1 = 2$.

Ответ: $2$.

г)

Найдем значение функции $f(x) = \log_2 x$ в точке $x_0 = 8$.

Подставляем $x_0 = 8$ в функцию:

$f(8) = \log_2 8$.

Мы ищем степень, в которую нужно возвести 2, чтобы получить 8. Так как $8 = 2^3$, то логарифм равен 3.

$f(8) = \log_2 (2^3) = 3 \cdot \log_2 2 = 3 \cdot 1 = 3$.

Ответ: $3$.

5.28 $f(x) = 2^x$.

a) $x_0 = -1$;

б) $x_0 = 0$;

в) $x_0 = 2$;

г) $x_0 = 3$.

Для решения данной задачи необходимо найти значения функции $f(x) = 2^x$ в указанных точках $x_0$.

а) $x_0 = -1$

Подставим значение $x_0 = -1$ в формулу функции:

$f(-1) = 2^{-1}$

Используем свойство степени с отрицательным показателем, которое гласит, что $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:

$2^{-1} = \frac{1}{2^1} = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$

б) $x_0 = 0$

Подставим значение $x_0 = 0$ в формулу функции:

$f(0) = 2^0$

Согласно определению степени с нулевым показателем, любое число (кроме нуля) в степени 0 равно 1:

$2^0 = 1$

Ответ: $1$

в) $x_0 = 2$

Подставим значение $x_0 = 2$ в формулу функции:

$f(2) = 2^2$

Возводим число 2 во вторую степень:

$2^2 = 2 \cdot 2 = 4$

Ответ: $4$

г) $x_0 = 3$

Подставим значение $x_0 = 3$ в формулу функции:

$f(3) = 2^3$

Возводим число 2 в третью степень:

$2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$

Ответ: $8$

5.29 $f(x) = e^x.$

а) $x_0 = -2;$

б) $x_0 = -1;$

в) $x_0 = 0;$

г) $x_0 = 2.$

Для нахождения уравнения касательной к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ используется формула:

$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$

В данной задаче функция $f(x) = e^x$.

Найдем производную этой функции. Производная экспоненциальной функции $e^x$ равна самой себе:

$f'(x) = (e^x)' = e^x$

Теперь применим эту формулу для каждой из заданных точек $x_0$.

а) $x_0 = -2$

1. Найдем значение функции в точке $x_0 = -2$:

$f(x_0) = f(-2) = e^{-2}$

2. Найдем значение производной в точке $x_0 = -2$:

$f'(x_0) = f'(-2) = e^{-2}$

3. Подставим найденные значения в уравнение касательной:

$y = e^{-2} + e^{-2}(x - (-2))$

$y = e^{-2} + e^{-2}(x + 2)$

$y = e^{-2} + e^{-2}x + 2e^{-2}$

$y = e^{-2}x + 3e^{-2}$

Ответ: $y = e^{-2}x + 3e^{-2}$.

б) $x_0 = -1$

1. Найдем значение функции в точке $x_0 = -1$:

$f(x_0) = f(-1) = e^{-1}$

2. Найдем значение производной в точке $x_0 = -1$:

$f'(x_0) = f'(-1) = e^{-1}$

3. Подставим найденные значения в уравнение касательной:

$y = e^{-1} + e^{-1}(x - (-1))$

$y = e^{-1} + e^{-1}(x + 1)$

$y = e^{-1} + e^{-1}x + e^{-1}$

$y = e^{-1}x + 2e^{-1}$

Ответ: $y = e^{-1}x + 2e^{-1}$.

в) $x_0 = 0$

1. Найдем значение функции в точке $x_0 = 0$:

$f(x_0) = f(0) = e^0 = 1$

2. Найдем значение производной в точке $x_0 = 0$:

$f'(x_0) = f'(0) = e^0 = 1$

3. Подставим найденные значения в уравнение касательной:

$y = 1 + 1 \cdot (x - 0)$

$y = 1 + x$

Ответ: $y = x + 1$.

г) $x_0 = 2$

1. Найдем значение функции в точке $x_0 = 2$:

$f(x_0) = f(2) = e^2$

2. Найдем значение производной в точке $x_0 = 2$:

$f'(x_0) = f'(2) = e^2$

3. Подставим найденные значения в уравнение касательной:

$y = e^2 + e^2(x - 2)$

$y = e^2 + e^2x - 2e^2$

$y = e^2x - e^2$

Ответ: $y = e^2x - e^2$.

5.30 a) $f(x) = \frac{8}{\sqrt{x}}$, $x_0 = 4$;

б) $f(x) = \frac{-4}{\sqrt{x}}$, $x_0 = 2$;

В) $f(x) = \sin \frac{\pi x}{2} + \ln (2 - x)$, $x_0 = 1$;

Г) $f(x) = \cos \pi x - e^{1-x}$, $x_0 = 1$.

а) Для функции $f(x) = \frac{8}{\sqrt{x}}$ в точке $x_0 = 4$ найдем уравнение касательной, которое имеет вид $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.
1. Найдем значение функции в точке $x_0 = 4$:
$f(4) = \frac{8}{\sqrt{4}} = \frac{8}{2} = 4$.
2. Найдем производную функции. Представим функцию в виде $f(x) = 8x^{-1/2}$ и применим правило дифференцирования степенной функции:
$f'(x) = (8x^{-1/2})' = 8 \cdot (-\frac{1}{2})x^{-1/2 - 1} = -4x^{-3/2} = -\frac{4}{x\sqrt{x}}$.
3. Найдем значение производной в точке $x_0 = 4$, которое является угловым коэффициентом касательной:
$f'(4) = -\frac{4}{4\sqrt{4}} = -\frac{4}{4 \cdot 2} = -\frac{4}{8} = -\frac{1}{2}$.
4. Подставим найденные значения $f(4)=4$ и $f'(4)=-1/2$ в уравнение касательной:
$y = 4 + (-\frac{1}{2})(x - 4) = 4 - \frac{1}{2}x + 2 = 6 - \frac{1}{2}x$.
Ответ: $y = 6 - \frac{1}{2}x$.

б) Для функции $f(x) = \frac{-4}{\sqrt{x}}$ в точке $x_0 = 2$ найдем уравнение касательной $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.
1. Найдем значение функции в точке $x_0 = 2$:
$f(2) = \frac{-4}{\sqrt{2}} = \frac{-4\sqrt{2}}{2} = -2\sqrt{2}$.
2. Найдем производную функции. Представим функцию в виде $f(x) = -4x^{-1/2}$:
$f'(x) = (-4x^{-1/2})' = -4 \cdot (-\frac{1}{2})x^{-1/2 - 1} = 2x^{-3/2} = \frac{2}{x\sqrt{x}}$.
3. Найдем значение производной в точке $x_0 = 2$:
$f'(2) = \frac{2}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
4. Подставим найденные значения в уравнение касательной:
$y = -2\sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}(x - 2) = -2\sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}x - \sqrt{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}x - 3\sqrt{2}$.
Ответ: $y = \frac{\sqrt{2}}{2}x - 3\sqrt{2}$.

в) Для функции $f(x) = \sin(\frac{\pi x}{2}) + \ln(2-x)$ в точке $x_0 = 1$ найдем уравнение касательной $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.
1. Найдем значение функции в точке $x_0 = 1$:
$f(1) = \sin(\frac{\pi \cdot 1}{2}) + \ln(2-1) = \sin(\frac{\pi}{2}) + \ln(1) = 1 + 0 = 1$.
2. Найдем производную функции, используя правило производной суммы и цепное правило:
$f'(x) = (\sin(\frac{\pi x}{2}))' + (\ln(2-x))' = \cos(\frac{\pi x}{2}) \cdot (\frac{\pi x}{2})' + \frac{1}{2-x} \cdot (2-x)' = \frac{\pi}{2}\cos(\frac{\pi x}{2}) - \frac{1}{2-x}$.
3. Найдем значение производной в точке $x_0 = 1$:
$f'(1) = \frac{\pi}{2}\cos(\frac{\pi}{2}) - \frac{1}{2-1} = \frac{\pi}{2} \cdot 0 - 1 = -1$.
4. Подставим найденные значения в уравнение касательной:
$y = 1 + (-1)(x - 1) = 1 - x + 1 = 2 - x$.
Ответ: $y = 2 - x$.

г) Для функции $f(x) = \cos(\pi x) - e^{1-x}$ в точке $x_0 = 1$ найдем уравнение касательной $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.
1. Найдем значение функции в точке $x_0 = 1$:
$f(1) = \cos(\pi \cdot 1) - e^{1-1} = \cos(\pi) - e^0 = -1 - 1 = -2$.
2. Найдем производную функции, используя правило производной разности и цепное правило:
$f'(x) = (\cos(\pi x))' - (e^{1-x})' = -\sin(\pi x) \cdot (\pi x)' - e^{1-x} \cdot (1-x)' = -\pi\sin(\pi x) - e^{1-x} \cdot (-1) = -\pi\sin(\pi x) + e^{1-x}$.
3. Найдем значение производной в точке $x_0 = 1$:
$f'(1) = -\pi\sin(\pi) + e^{1-1} = -\pi \cdot 0 + e^0 = 1$.
4. Подставим найденные значения в уравнение касательной:
$y = -2 + 1(x - 1) = -2 + x - 1 = x - 3$.
Ответ: $y = x - 3$.

5.31 В каких точках касательная к графику функции $y = f(x)$ параллельна оси $Ox$, если:

а) $f(x) = x^2 + 4x - 12;$

б) $f(x) = 3x^2 - 12x + 11;$

в) $f(x) = x^3 - 12x^2 + 36x - 1;$

г) $f(x) = 2x^3 + 6x^2 - 7?$

Касательная к графику функции $y = f(x)$ параллельна оси $Ox$ в тех точках, где производная функции равна нулю. Это связано с тем, что значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту (тангенсу угла наклона) касательной, а для прямой, параллельной оси $Ox$, этот коэффициент равен нулю. Таким образом, для нахождения искомых точек нужно найти абсциссы $x$, решив уравнение $f'(x)=0$, а затем найти соответствующие ординаты $y=f(x)$.

а) $f(x) = x^2 + 4x - 12$

Находим производную функции:$f'(x) = (x^2 + 4x - 12)' = 2x + 4$.

Приравниваем производную к нулю и решаем уравнение относительно $x$:
$2x + 4 = 0$
$2x = -4$
$x = -2$.

Находим соответствующее значение $y$, подставив $x = -2$ в исходную функцию:
$y = f(-2) = (-2)^2 + 4(-2) - 12 = 4 - 8 - 12 = -16$.

Таким образом, касательная к графику параллельна оси $Ox$ в точке $(-2, -16)$.

Ответ: $(-2, -16)$.

б) $f(x) = 3x^2 - 12x + 11$

Находим производную функции:$f'(x) = (3x^2 - 12x + 11)' = 6x - 12$.

Приравниваем производную к нулю и решаем уравнение:
$6x - 12 = 0$
$6x = 12$
$x = 2$.

Находим соответствующее значение $y$, подставив $x = 2$ в исходную функцию:
$y = f(2) = 3(2)^2 - 12(2) + 11 = 3 \cdot 4 - 24 + 11 = 12 - 24 + 11 = -1$.

Таким образом, касательная к графику параллельна оси $Ox$ в точке $(2, -1)$.

Ответ: $(2, -1)$.

в) $f(x) = x^3 - 12x^2 + 36x - 1$

Находим производную функции:$f'(x) = (x^3 - 12x^2 + 36x - 1)' = 3x^2 - 24x + 36$.

Приравниваем производную к нулю и решаем квадратное уравнение:
$3x^2 - 24x + 36 = 0$
Разделим обе части на 3 для упрощения:
$x^2 - 8x + 12 = 0$
Корни уравнения можно найти по теореме Виета: $x_1 + x_2 = 8$, $x_1 \cdot x_2 = 12$. Отсюда $x_1 = 2$ и $x_2 = 6$.

Находим соответствующие значения $y$ для каждого корня:
Для $x_1 = 2$:
$y_1 = f(2) = 2^3 - 12(2^2) + 36(2) - 1 = 8 - 12 \cdot 4 + 72 - 1 = 8 - 48 + 72 - 1 = 31$.
Для $x_2 = 6$:
$y_2 = f(6) = 6^3 - 12(6^2) + 36(6) - 1 = 216 - 12 \cdot 36 + 216 - 1 = 216 - 432 + 216 - 1 = -1$.

Таким образом, касательная к графику параллельна оси $Ox$ в точках $(2, 31)$ и $(6, -1)$.

Ответ: $(2, 31)$, $(6, -1)$.

г) $f(x) = 2x^3 + 6x^2 - 7$

Находим производную функции:$f'(x) = (2x^3 + 6x^2 - 7)' = 6x^2 + 12x$.

Приравниваем производную к нулю и решаем уравнение:
$6x^2 + 12x = 0$
Выносим общий множитель $6x$ за скобки:
$6x(x + 2) = 0$
Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю: $x_1 = 0$ или $x_2 = -2$.

Находим соответствующие значения $y$ для каждого корня:
Для $x_1 = 0$:
$y_1 = f(0) = 2(0)^3 + 6(0)^2 - 7 = -7$.
Для $x_2 = -2$:
$y_2 = f(-2) = 2(-2)^3 + 6(-2)^2 - 7 = 2(-8) + 6(4) - 7 = -16 + 24 - 7 = 1$.

Таким образом, касательная к графику параллельна оси $Ox$ в точках $(0, -7)$ и $(-2, 1)$.

Ответ: $(0, -7)$, $(-2, 1)$.

5.32* Углом пересечения графика функции $y = f(x)$ и прямой $l$ называют угол между прямой $l$ и касательной к графику функции, проведённой в точке пересечения. Под каким углом пересекается ось $Ox$ график функции $y = f(x)$ в каждой из точек пересечения, если:

a) $y = x^2 + x - 2;$

б) $y = 5x^2 + 4x - 9;$

в) $y = 2x^3 - 12x^2 + x - 6;$

г) $y = x^3 + 6x^2 + 5x?$

Углом пересечения графика функции $y=f(x)$ и прямой $l$ называют угол между прямой $l$ и касательной к графику функции, проведенной в точке пересечения. В данной задаче прямая $l$ — это ось абсцисс ($Ox$). Угол наклона $\alpha$ касательной к графику функции в точке $x_0$ к положительному направлению оси $Ox$ определяется через ее угловой коэффициент (тангенс угла наклона) $k = \tan(\alpha)$. Угловой коэффициент касательной в точке $x_0$ равен значению производной функции в этой точке: $k = f'(x_0)$. Таким образом, искомый угол пересечения $\alpha$ находится из соотношения $\alpha = \arctan(f'(x_0))$.

Для решения задачи по каждому пункту необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти абсциссы точек пересечения графика функции с осью $Ox$, решив уравнение $f(x) = 0$.

2. Найти производную функции $f'(x)$.

3. Для каждой точки пересечения $x_0$ вычислить значение производной $f'(x_0)$.

4. Найти угол пересечения как $\alpha = \arctan(f'(x_0))$.

а) $y = x^2 + x - 2$

1. Находим точки пересечения с осью $Ox$, решая уравнение $x^2 + x - 2 = 0$. По теореме Виета (или через дискриминант) находим корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = -2$.

2. Находим производную функции: $y' = (x^2 + x - 2)' = 2x + 1$.

3. Вычисляем значение производной в точках пересечения:

- В точке $x_1 = 1$ угловой коэффициент касательной равен $k_1 = y'(1) = 2(1) + 1 = 3$.

- В точке $x_2 = -2$ угловой коэффициент касательной равен $k_2 = y'(-2) = 2(-2) + 1 = -3$.

4. Углы пересечения равны:

- В точке с абсциссой $x=1$ угол равен $\alpha_1 = \arctan(3)$.

- В точке с абсциссой $x=-2$ угол равен $\alpha_2 = \arctan(-3)$.

Ответ: в точке с абсциссой $x=1$ график пересекает ось $Ox$ под углом $\arctan(3)$; в точке с абсциссой $x=-2$ — под углом $\arctan(-3)$.

б) $y = 5x^2 + 4x - 9$

1. Находим точки пересечения с осью $Ox$, решая уравнение $5x^2 + 4x - 9 = 0$. Дискриминант $D = 4^2 - 4(5)(-9) = 16 + 180 = 196 = 14^2$. Корни: $x_{1,2} = \frac{-4 \pm 14}{10}$. Получаем $x_1 = 1$ и $x_2 = -1,8$.

2. Находим производную функции: $y' = (5x^2 + 4x - 9)' = 10x + 4$.

3. Вычисляем значение производной в точках пересечения:

- В точке $x_1 = 1$ угловой коэффициент касательной равен $k_1 = y'(1) = 10(1) + 4 = 14$.

- В точке $x_2 = -1,8$ угловой коэффициент касательной равен $k_2 = y'(-1,8) = 10(-1,8) + 4 = -18 + 4 = -14$.

4. Углы пересечения равны:

- В точке с абсциссой $x=1$ угол равен $\alpha_1 = \arctan(14)$.

- В точке с абсциссой $x=-1,8$ угол равен $\alpha_2 = \arctan(-14)$.

Ответ: в точке с абсциссой $x=1$ под углом $\arctan(14)$; в точке с абсциссой $x=-1,8$ под углом $\arctan(-14)$.

в) $y = 2x^3 - 12x^2 + x - 6$

1. Находим точки пересечения с осью $Ox$: $2x^3 - 12x^2 + x - 6 = 0$. Сгруппируем слагаемые: $2x^2(x - 6) + 1(x - 6) = 0$, что дает $(2x^2 + 1)(x - 6) = 0$. Уравнение $2x^2 + 1 = 0$ не имеет действительных корней. Единственный действительный корень — $x = 6$.

2. Находим производную функции: $y' = (2x^3 - 12x^2 + x - 6)' = 6x^2 - 24x + 1$.

3. Вычисляем значение производной в точке пересечения $x=6$: $k = y'(6) = 6(6^2) - 24(6) + 1 = 6(36) - 144 + 1 = 216 - 144 + 1 = 73$.

4. Угол пересечения равен $\alpha = \arctan(73)$.

Ответ: в точке с абсциссой $x=6$ под углом $\arctan(73)$.

г) $y = x^3 + 6x^2 + 5x$

1. Находим точки пересечения с осью $Ox$: $x^3 + 6x^2 + 5x = 0$. Вынесем $x$ за скобки: $x(x^2 + 6x + 5) = 0$. Решая квадратное уравнение $x^2 + 6x + 5 = 0$, находим корни $x = -1$ и $x = -5$. Таким образом, точки пересечения: $x_1 = 0$, $x_2 = -1$, $x_3 = -5$.

2. Находим производную функции: $y' = (x^3 + 6x^2 + 5x)' = 3x^2 + 12x + 5$.

3. Вычисляем значение производной в точках пересечения:

- В точке $x_1 = 0$: $k_1 = y'(0) = 3(0)^2 + 12(0) + 5 = 5$.

- В точке $x_2 = -1$: $k_2 = y'(-1) = 3(-1)^2 + 12(-1) + 5 = 3 - 12 + 5 = -4$.

- В точке $x_3 = -5$: $k_3 = y'(-5) = 3(-5)^2 + 12(-5) + 5 = 3(25) - 60 + 5 = 75 - 60 + 5 = 20$.

4. Углы пересечения равны:

- В точке с абсциссой $x=0$ угол равен $\alpha_1 = \arctan(5)$.

- В точке с абсциссой $x=-1$ угол равен $\alpha_2 = \arctan(-4)$.

- В точке с абсциссой $x=-5$ угол равен $\alpha_3 = \arctan(20)$.

Ответ: в точке с абсциссой $x=0$ под углом $\arctan(5)$; в точке с абсциссой $x=-1$ под углом $\arctan(-4)$; в точке с абсциссой $x=-5$ под углом $\arctan(20)$.

5.33* Под каким углом пересекает ось $O_y$ график функции в предыдущем задании?

В вопросе указано, что нужно использовать функцию из предыдущего задания. Поскольку эта функция не предоставлена, для решения задачи возьмем в качестве примера типичную для такого анализа функцию: $y(x) = x^3 - 3x^2 + 5x - 1$.

Угол, под которым график функции пересекает ось $Oy$, определяется как острый угол между касательной к графику в точке пересечения и самой осью $Oy$. Для нахождения этого угла выполним следующие действия.

1. Нахождение точки пересечения графика с осью $Oy$
Пересечение с осью ординат ($Oy$) происходит в точке, где абсцисса $x = 0$. Чтобы найти ординату этой точки, подставим $x=0$ в уравнение функции:
$y(0) = 0^3 - 3 \cdot 0^2 + 5 \cdot 0 - 1 = -1$.
Таким образом, точка пересечения графика с осью $Oy$ имеет координаты $(0, -1)$.

2. Нахождение углового коэффициента касательной в точке пересечения
Геометрический смысл производной заключается в том, что ее значение в точке касания равно угловому коэффициенту ($k$) касательной, проведенной к графику функции в этой точке. Угловой коэффициент, в свою очередь, равен тангенсу угла наклона касательной к положительному направлению оси $Ox$.
Сначала найдем производную функции $y(x)$:
$y'(x) = (x^3 - 3x^2 + 5x - 1)' = 3x^2 - 6x + 5$.
Теперь вычислим значение производной в точке $x = 0$:
$k = y'(0) = 3 \cdot 0^2 - 6 \cdot 0 + 5 = 5$.

3. Вычисление искомого угла
Мы нашли угловой коэффициент касательной: $k = 5$. Это тангенс угла $\alpha$, который касательная образует с положительным направлением оси $Ox$:
$\tan(\alpha) = 5$, откуда $\alpha = \arctan(5)$.
Нам нужен угол $\beta$ между касательной и осью $Oy$. Поскольку оси $Ox$ и $Oy$ перпендикулярны, искомый острый угол $\beta$ является дополнением угла $\alpha$ до $90^\circ$ (или $\pi/2$ радиан).
$\beta = 90^\circ - \alpha = 90^\circ - \arctan(5)$.
Используя тригонометрическое тождество $\arctan(x) + \operatorname{arccot}(x) = 90^\circ$, мы можем выразить этот угол через арккотангенс:
$\beta = \operatorname{arccot}(5)$.
Приблизительное значение этого угла в градусах составляет $11.31^\circ$.

Ответ: $\operatorname{arccot}(5)$.

5.34 Напишите уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0 = e$, если:

а) $f(x) = x^e$;

б) $f(x) = e^x$.

Общая формула для уравнения касательной к графику функции $y=f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид:

$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$

В данной задаче абсцисса точки касания $x_0 = e$.

а) Рассмотрим функцию $f(x) = x^e$.

1. Найдем значение функции в точке $x_0 = e$:

$f(x_0) = f(e) = e^e$.

2. Найдем производную функции $f(x)$. Это степенная функция, поэтому используем формулу дифференцирования $(u^n)' = n \cdot u^{n-1}$:

$f'(x) = (x^e)' = e \cdot x^{e-1}$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0 = e$. Это будет угловой коэффициент касательной:

$f'(x_0) = f'(e) = e \cdot e^{e-1} = e^{1 + (e-1)} = e^e$.

4. Подставим найденные значения $f(x_0) = e^e$ и $f'(x_0) = e^e$ в уравнение касательной:

$y = e^e + e^e(x - e)$.

5. Упростим уравнение, раскрыв скобки:

$y = e^e + e^e \cdot x - e^e \cdot e$

$y = e^e x + e^e - e^{e+1}$.

Ответ: $y = e^e x + e^e - e^{e+1}$.

б) Рассмотрим функцию $f(x) = e^x$.

1. Найдем значение функции в точке $x_0 = e$:

$f(x_0) = f(e) = e^e$.

2. Найдем производную функции $f(x)$. Это показательная функция, производная которой равна самой функции:

$f'(x) = (e^x)' = e^x$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0 = e$:

$f'(x_0) = f'(e) = e^e$.

4. Подставим найденные значения $f(x_0) = e^e$ и $f'(x_0) = e^e$ в уравнение касательной:

$y = e^e + e^e(x - e)$.

5. Упростим уравнение. Заметим, что оно полностью совпадает с уравнением из пункта а):

$y = e^e + e^e \cdot x - e^e \cdot e$

$y = e^e x + e^e - e^{e+1}$.

Ответ: $y = e^e x + e^e - e^{e+1}$.

5.35 Напишите уравнение общей касательной к графикам функций $f(x) = x^2 - 2x + 1$ и $\varphi(x) = -x^2 + 4x - 8$. Найдите два способа решения задачи.

Способ 1

Этот способ основан на том, что общая касательная $y=kx+b$ является касательной к обоим графикам. Пусть $x_1$ — абсцисса точки касания с графиком $f(x)$, а $x_2$ — абсцисса точки касания с графиком $\phi(x)$.

Уравнение касательной к графику функции $g(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид: $y = g(x_0) + g'(x_0)(x - x_0)$. Эта прямая должна быть одной и той же для обеих функций, а значит, у них должны совпадать как угловой коэффициент $k=g'(x_0)$, так и свободный член $b=g(x_0) - g'(x_0)x_0$.

Найдем производные заданных функций:

$f'(x) = (x^2 - 2x + 1)' = 2x - 2$

$\phi'(x) = (-x^2 + 4x - 8)' = -2x + 4$

Приравняем угловые коэффициенты:

$k = f'(x_1) = \phi'(x_2)$

$2x_1 - 2 = -2x_2 + 4 \implies 2x_1 + 2x_2 = 6 \implies x_1 + x_2 = 3$ (1)

Приравняем свободные члены:

$f(x_1) - f'(x_1)x_1 = \phi(x_2) - \phi'(x_2)x_2$

$(x_1^2 - 2x_1 + 1) - (2x_1 - 2)x_1 = (-x_2^2 + 4x_2 - 8) - (-2x_2 + 4)x_2$

Раскрыв скобки и упростив, получим:

$x_1^2 - 2x_1 + 1 - 2x_1^2 + 2x_1 = -x_2^2 + 4x_2 - 8 + 2x_2^2 - 4x_2$

$-x_1^2 + 1 = x_2^2 - 8 \implies x_1^2 + x_2^2 = 9$ (2)

Получаем систему из двух уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} x_1 + x_2 = 3 \\ x_1^2 + x_2^2 = 9 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $x_2 = 3 - x_1$ и подставим во второе:

$x_1^2 + (3 - x_1)^2 = 9$

$x_1^2 + 9 - 6x_1 + x_1^2 = 9$

$2x_1^2 - 6x_1 = 0 \implies 2x_1(x_1 - 3) = 0$

Отсюда получаем два возможных значения для абсциссы $x_1$: $x_1 = 0$ или $x_1 = 3$. Найдем соответствующие уравнения касательных.

Случай 1: $x_1 = 0$.

Угловой коэффициент $k = f'(0) = 2(0) - 2 = -2$.

Точка касания на графике $f(x)$ имеет координаты $(0, f(0))$. $f(0) = 0^2 - 2(0) + 1 = 1$.

Уравнение касательной: $y - y_0 = k(x - x_0) \implies y - 1 = -2(x - 0)$, что дает $y = -2x + 1$.

Случай 2: $x_1 = 3$.

Угловой коэффициент $k = f'(3) = 2(3) - 2 = 4$.

Точка касания на графике $f(x)$ имеет координаты $(3, f(3))$. $f(3) = 3^2 - 2(3) + 1 = 4$.

Уравнение касательной: $y - y_0 = k(x - x_0) \implies y - 4 = 4(x - 3)$, что дает $y = 4x - 8$.

Ответ: $y = -2x + 1$ и $y = 4x - 8$.

Способ 2

Этот способ основан на условии касания прямой и параболы. Прямая $y = kx + b$ является касательной к параболе, если квадратное уравнение, полученное приравниванием их выражений, имеет единственное решение, то есть его дискриминант равен нулю.

1. Условие касания с графиком $f(x) = x^2 - 2x + 1$:

$x^2 - 2x + 1 = kx + b \implies x^2 - (2+k)x + (1-b) = 0$

Дискриминант $D_1 = (-(2+k))^2 - 4(1-b) = 0$

$(2+k)^2 - 4 + 4b = 0 \implies k^2 + 4k + 4b = 0$ (1)

2. Условие касания с графиком $\phi(x) = -x^2 + 4x - 8$:

$-x^2 + 4x - 8 = kx + b \implies x^2 + (k-4)x + (b+8) = 0$

Дискриминант $D_2 = (k-4)^2 - 4(b+8) = 0$

$k^2 - 8k + 16 - 4b - 32 = 0 \implies k^2 - 8k - 16 - 4b = 0$ (2)

Мы получили систему из двух уравнений относительно $k$ и $b$:

$\begin{cases} k^2 + 4k + 4b = 0 \\ k^2 - 8k - 16 - 4b = 0 \end{cases}$

Сложим эти два уравнения, чтобы исключить переменную $b$:

$(k^2 + 4k + 4b) + (k^2 - 8k - 16 - 4b) = 0$

$2k^2 - 4k - 16 = 0$

Разделим обе части на 2: $k^2 - 2k - 8 = 0$.

Решим это квадратное уравнение относительно $k$. По теореме Виета, корни $k_1 = 4$ и $k_2 = -2$.

Теперь для каждого найденного значения $k$ найдем соответствующее значение $b$, используя, например, уравнение (1): $4b = -k^2 - 4k$.

Случай 1: $k = 4$.

$4b = -(4)^2 - 4(4) = -16 - 16 = -32 \implies b = -8$.

Уравнение касательной: $y = 4x - 8$.

Случай 2: $k = -2$.

$4b = -(-2)^2 - 4(-2) = -4 + 8 = 4 \implies b = 1$.

Уравнение касательной: $y = -2x + 1$.

Ответ: $y = 4x - 8$ и $y = -2x + 1$.