Номер 5.35, страница 124 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Функции. Производные. Интегралы. Параграф 5. Применение производной - номер 5.35, страница 124.

Условие.

5.35 Напишите уравнение общей касательной к графикам функций $f(x) = x^2 - 2x + 1$ и $\varphi(x) = -x^2 + 4x - 8$. Найдите два способа решения задачи.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Способ 1

Этот способ основан на том, что общая касательная $y=kx+b$ является касательной к обоим графикам. Пусть $x_1$ — абсцисса точки касания с графиком $f(x)$, а $x_2$ — абсцисса точки касания с графиком $\phi(x)$.

Уравнение касательной к графику функции $g(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид: $y = g(x_0) + g'(x_0)(x - x_0)$. Эта прямая должна быть одной и той же для обеих функций, а значит, у них должны совпадать как угловой коэффициент $k=g'(x_0)$, так и свободный член $b=g(x_0) - g'(x_0)x_0$.

Найдем производные заданных функций:

$f'(x) = (x^2 - 2x + 1)' = 2x - 2$

$\phi'(x) = (-x^2 + 4x - 8)' = -2x + 4$

Приравняем угловые коэффициенты:

$k = f'(x_1) = \phi'(x_2)$

$2x_1 - 2 = -2x_2 + 4 \implies 2x_1 + 2x_2 = 6 \implies x_1 + x_2 = 3$ (1)

Приравняем свободные члены:

$f(x_1) - f'(x_1)x_1 = \phi(x_2) - \phi'(x_2)x_2$

$(x_1^2 - 2x_1 + 1) - (2x_1 - 2)x_1 = (-x_2^2 + 4x_2 - 8) - (-2x_2 + 4)x_2$

Раскрыв скобки и упростив, получим:

$x_1^2 - 2x_1 + 1 - 2x_1^2 + 2x_1 = -x_2^2 + 4x_2 - 8 + 2x_2^2 - 4x_2$

$-x_1^2 + 1 = x_2^2 - 8 \implies x_1^2 + x_2^2 = 9$ (2)

Получаем систему из двух уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} x_1 + x_2 = 3 \\ x_1^2 + x_2^2 = 9 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $x_2 = 3 - x_1$ и подставим во второе:

$x_1^2 + (3 - x_1)^2 = 9$

$x_1^2 + 9 - 6x_1 + x_1^2 = 9$

$2x_1^2 - 6x_1 = 0 \implies 2x_1(x_1 - 3) = 0$

Отсюда получаем два возможных значения для абсциссы $x_1$: $x_1 = 0$ или $x_1 = 3$. Найдем соответствующие уравнения касательных.

Случай 1: $x_1 = 0$.

Угловой коэффициент $k = f'(0) = 2(0) - 2 = -2$.

Точка касания на графике $f(x)$ имеет координаты $(0, f(0))$. $f(0) = 0^2 - 2(0) + 1 = 1$.

Уравнение касательной: $y - y_0 = k(x - x_0) \implies y - 1 = -2(x - 0)$, что дает $y = -2x + 1$.

Случай 2: $x_1 = 3$.

Угловой коэффициент $k = f'(3) = 2(3) - 2 = 4$.

Точка касания на графике $f(x)$ имеет координаты $(3, f(3))$. $f(3) = 3^2 - 2(3) + 1 = 4$.

Уравнение касательной: $y - y_0 = k(x - x_0) \implies y - 4 = 4(x - 3)$, что дает $y = 4x - 8$.

Ответ: $y = -2x + 1$ и $y = 4x - 8$.

Способ 2

Этот способ основан на условии касания прямой и параболы. Прямая $y = kx + b$ является касательной к параболе, если квадратное уравнение, полученное приравниванием их выражений, имеет единственное решение, то есть его дискриминант равен нулю.

1. Условие касания с графиком $f(x) = x^2 - 2x + 1$:

$x^2 - 2x + 1 = kx + b \implies x^2 - (2+k)x + (1-b) = 0$

Дискриминант $D_1 = (-(2+k))^2 - 4(1-b) = 0$

$(2+k)^2 - 4 + 4b = 0 \implies k^2 + 4k + 4b = 0$ (1)

2. Условие касания с графиком $\phi(x) = -x^2 + 4x - 8$:

$-x^2 + 4x - 8 = kx + b \implies x^2 + (k-4)x + (b+8) = 0$

Дискриминант $D_2 = (k-4)^2 - 4(b+8) = 0$

$k^2 - 8k + 16 - 4b - 32 = 0 \implies k^2 - 8k - 16 - 4b = 0$ (2)

Мы получили систему из двух уравнений относительно $k$ и $b$:

$\begin{cases} k^2 + 4k + 4b = 0 \\ k^2 - 8k - 16 - 4b = 0 \end{cases}$

Сложим эти два уравнения, чтобы исключить переменную $b$:

$(k^2 + 4k + 4b) + (k^2 - 8k - 16 - 4b) = 0$

$2k^2 - 4k - 16 = 0$

Разделим обе части на 2: $k^2 - 2k - 8 = 0$.

Решим это квадратное уравнение относительно $k$. По теореме Виета, корни $k_1 = 4$ и $k_2 = -2$.

Теперь для каждого найденного значения $k$ найдем соответствующее значение $b$, используя, например, уравнение (1): $4b = -k^2 - 4k$.

Случай 1: $k = 4$.

$4b = -(4)^2 - 4(4) = -16 - 16 = -32 \implies b = -8$.

Уравнение касательной: $y = 4x - 8$.

Случай 2: $k = -2$.

$4b = -(-2)^2 - 4(-2) = -4 + 8 = 4 \implies b = 1$.

Уравнение касательной: $y = -2x + 1$.

Ответ: $y = 4x - 8$ и $y = -2x + 1$.