Номер 5.38, страница 126 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Функции. Производные. Интегралы. Параграф 5. Применение производной - номер 5.38, страница 126.

Условие.

5.38 Вычислите приближённо $f(x_0 + \Delta x)$, если:

a) $f(x) = x^2, x_0 = 5, \Delta x = 0,01;$

б) $f(x) = x^3, x_0 = 3, \Delta x = -0,01;$

в) $f(x) = \sqrt{x}, x_0 = 16, \Delta x = 0,02;$

г) $f(x) = \ln x, x_0 = e, \Delta x = 0,01;$

д) $f(x) = 2^x, x_0 = 2, \Delta x = -0,02.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Для вычисления приближенного значения функции $f(x_0 + \Delta x)$ воспользуемся формулой линейной аппроксимации, которая основана на замене приращения функции ее дифференциалом:

$f(x_0 + \Delta x) \approx f(x_0) + f'(x_0) \Delta x$

Здесь $f'(x_0)$ — это значение производной функции $f(x)$ в точке $x_0$.

а) Дано: $f(x) = x^2$, $x_0 = 5$, $\Delta x = 0,01$.

1. Находим производную функции: $f'(x) = (x^2)' = 2x$.

2. Вычисляем значения функции и ее производной в точке $x_0 = 5$:

$f(x_0) = f(5) = 5^2 = 25$.

$f'(x_0) = f'(5) = 2 \cdot 5 = 10$.

3. Подставляем найденные значения в формулу аппроксимации:

$f(5 + 0,01) \approx f(5) + f'(5) \cdot 0,01 = 25 + 10 \cdot 0,01 = 25 + 0,1 = 25,1$.

Ответ: $25,1$.

б) Дано: $f(x) = x^3$, $x_0 = 3$, $\Delta x = -0,01$.

1. Находим производную функции: $f'(x) = (x^3)' = 3x^2$.

2. Вычисляем значения функции и ее производной в точке $x_0 = 3$:

$f(x_0) = f(3) = 3^3 = 27$.

$f'(x_0) = f'(3) = 3 \cdot 3^2 = 27$.

3. Подставляем найденные значения в формулу аппроксимации:

$f(3 + (-0,01)) \approx f(3) + f'(3) \cdot (-0,01) = 27 + 27 \cdot (-0,01) = 27 - 0,27 = 26,73$.

Ответ: $26,73$.

в) Дано: $f(x) = \sqrt{x}$, $x_0 = 16$, $\Delta x = 0,02$.

1. Находим производную функции: $f'(x) = (\sqrt{x})' = (x^{1/2})' = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

2. Вычисляем значения функции и ее производной в точке $x_0 = 16$:

$f(x_0) = f(16) = \sqrt{16} = 4$.

$f'(x_0) = f'(16) = \frac{1}{2\sqrt{16}} = \frac{1}{2 \cdot 4} = \frac{1}{8} = 0,125$.

3. Подставляем найденные значения в формулу аппроксимации:

$f(16 + 0,02) \approx f(16) + f'(16) \cdot 0,02 = 4 + 0,125 \cdot 0,02 = 4 + 0,0025 = 4,0025$.

Ответ: $4,0025$.

г) Дано: $f(x) = \ln x$, $x_0 = e$, $\Delta x = 0,01$.

1. Находим производную функции: $f'(x) = (\ln x)' = \frac{1}{x}$.

2. Вычисляем значения функции и ее производной в точке $x_0 = e$:

$f(x_0) = f(e) = \ln e = 1$.

$f'(x_0) = f'(e) = \frac{1}{e}$.

3. Подставляем найденные значения в формулу аппроксимации:

$f(e + 0,01) \approx f(e) + f'(e) \cdot 0,01 = 1 + \frac{1}{e} \cdot 0,01 = 1 + \frac{0,01}{e}$.

Ответ: $1 + \frac{0,01}{e}$.

д) Дано: $f(x) = 2^x$, $x_0 = 2$, $\Delta x = -0,02$.

1. Находим производную функции: $f'(x) = (2^x)' = 2^x \ln 2$.

2. Вычисляем значения функции и ее производной в точке $x_0 = 2$:

$f(x_0) = f(2) = 2^2 = 4$.

$f'(x_0) = f'(2) = 2^2 \ln 2 = 4 \ln 2$.

3. Подставляем найденные значения в формулу аппроксимации:

$f(2 + (-0,02)) \approx f(2) + f'(2) \cdot (-0,02) = 4 + (4 \ln 2) \cdot (-0,02) = 4 - 0,08 \ln 2$.

Ответ: $4 - 0,08 \ln 2$.