Номер 5.41, страница 126 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 5. Применение производной. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 5.41, страница 126.

Условие.

5.41 Покажите, как из формулы (2) следует формула для приближённого вычисления $n$-й степени числа, близкого к 1:

$(1 + \Delta x)^n \approx 1 + n\Delta x.$

Вычислите приближённо с помощью этой формулы:

а) $(1,001)^{100};$

б) $(0,998)^{100};$

в) $(1,003)^{25};$

г) $(0,9997)^{25};$

д) $(\frac{1000}{1001})^{10};$

е) $(\frac{1000}{998})^{15};$

ж) $(\frac{1000}{1003})^{20};$

з) $(\frac{10000}{9997})^{35}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Приближенная формула $(1 + \Delta x)^n \approx 1 + n\Delta x$ является частным случаем формулы линейного приближения функции в окрестности точки. Предположительно, под "формулой (2)" имеется в виду общая формула линейного приближения: $f(x_0 + \Delta x) \approx f(x_0) + f'(x_0)\Delta x$.

Для вывода искомой формулы рассмотрим функцию $f(x) = x^n$. Нам нужно найти ее приближенное значение для числа, близкого к 1. Поэтому выберем точку $x_0 = 1$. Любое число, близкое к 1, можно представить в виде $1 + \Delta x$, где $\Delta x$ — малое приращение.

Найдем значение функции и ее производной в точке $x_0 = 1$. Производная функции $f(x) = x^n$ есть $f'(x) = n \cdot x^{n-1}$.

Теперь вычислим значения в точке $x_0 = 1$:
Значение функции: $f(x_0) = f(1) = 1^n = 1$.
Значение производной: $f'(x_0) = f'(1) = n \cdot 1^{n-1} = n$.

Подставим найденные значения в общую формулу линейного приближения: $f(1 + \Delta x) \approx f(1) + f'(1) \cdot \Delta x$.

В результате получаем требуемую формулу: $(1 + \Delta x)^n \approx 1 + n \Delta x$.

---

Вычислим приближенно с помощью этой формулы:

а) Для $(1,001)^{100}$ имеем: $n=100$ и $\Delta x = 0,001$.
$(1,001)^{100} = (1 + 0,001)^{100} \approx 1 + 100 \cdot 0,001 = 1 + 0,1 = 1,1$.
Ответ: $1,1$.

б) Для $(0,998)^{100}$ представим основание как $1 - 0,002$. Имеем: $n=100$ и $\Delta x = -0,002$.
$(0,998)^{100} = (1 - 0,002)^{100} \approx 1 + 100 \cdot (-0,002) = 1 - 0,2 = 0,8$.
Ответ: $0,8$.

в) Для $(1,003)^{25}$ имеем: $n=25$ и $\Delta x = 0,003$.
$(1,003)^{25} = (1 + 0,003)^{25} \approx 1 + 25 \cdot 0,003 = 1 + 0,075 = 1,075$.
Ответ: $1,075$.

г) Для $(0,9997)^{25}$ представим основание как $1 - 0,0003$. Имеем: $n=25$ и $\Delta x = -0,0003$.
$(0,9997)^{25} = (1 - 0,0003)^{25} \approx 1 + 25 \cdot (-0,0003) = 1 - 0,0075 = 0,9925$.
Ответ: $0,9925$.

д) Для $(\frac{1000}{1001})^{10}$ преобразуем выражение: $(\frac{1001}{1000})^{-10} = (1 + \frac{1}{1000})^{-10} = (1 + 0,001)^{-10}$.
Имеем: $n=-10$ и $\Delta x = 0,001$.
$(1 + 0,001)^{-10} \approx 1 + (-10) \cdot 0,001 = 1 - 0,01 = 0,99$.
Ответ: $0,99$.

е) Для $(\frac{1000}{998})^{15}$ преобразуем выражение: $(\frac{998}{1000})^{-15} = (1 - \frac{2}{1000})^{-15} = (1 - 0,002)^{-15}$.
Имеем: $n=-15$ и $\Delta x = -0,002$.
$(1 - 0,002)^{-15} \approx 1 + (-15) \cdot (-0,002) = 1 + 0,03 = 1,03$.
Ответ: $1,03$.

ж) Для $(\frac{1000}{1003})^{20}$ преобразуем выражение: $(\frac{1003}{1000})^{-20} = (1 + \frac{3}{1000})^{-20} = (1 + 0,003)^{-20}$.
Имеем: $n=-20$ и $\Delta x = 0,003$.
$(1 + 0,003)^{-20} \approx 1 + (-20) \cdot 0,003 = 1 - 0,06 = 0,94$.
Ответ: $0,94$.

з) Для $(\frac{10000}{9997})^{35}$ преобразуем выражение: $(\frac{9997}{10000})^{-35} = (1 - \frac{3}{10000})^{-35} = (1 - 0,0003)^{-35}$.
Имеем: $n=-35$ и $\Delta x = -0,0003$.
$(1 - 0,0003)^{-35} \approx 1 + (-35) \cdot (-0,0003) = 1 + 35 \cdot 0,0003 = 1 + 0,0105 = 1,0105$.
Ответ: $1,0105$.