Номер 5.47, страница 129 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 5. Применение производной. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 5.47, страница 129.

Условие.

5.47 Дана функция $f(x)$. Внутри отрезка $[a; b]$ найдите точку $c$, для которой справедливо равенство $f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$, если:

а) $f(x) = x^3$, $a = -1$, $b = 2$;

б) $f(x) = x^3$, $a = -2$, $b = 1$;

в) $f(x) = \sqrt[3]{x}$, $a = 0$, $b = 27$;

г) $f(x) = \sqrt[3]{x}$, $a = -27$, $b = 0$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Дана функция $f(x) = x^3$ на отрезке $[a; b] = [-1; 2]$. Согласно теореме Лагранжа о среднем значении, необходимо найти точку $c \in (-1; 2)$, для которой выполняется равенство $f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$.
Функция $f(x) = x^3$ непрерывна на отрезке $[-1; 2]$ и дифференцируема на интервале $(-1; 2)$, поэтому теорема применима.
1. Найдем значения функции на концах отрезка: $f(a) = f(-1) = (-1)^3 = -1$
$f(b) = f(2) = 2^3 = 8$
2. Вычислим правую часть равенства (среднюю скорость изменения функции): $$ \frac{f(b) - f(a)}{b - a} = \frac{8 - (-1)}{2 - (-1)} = \frac{9}{3} = 3 $$ 3. Найдем производную функции: $f'(x) = 3x^2$
4. Приравняем производную в точке $c$ к найденному значению и решим уравнение: $f'(c) = 3c^2 = 3$
$c^2 = 1$
$c_1 = 1$, $c_2 = -1$
5. Выберем значение $c$, которое находится внутри отрезка, то есть принадлежит интервалу $(-1; 2)$. $c_1 = 1 \in (-1; 2)$.
$c_2 = -1$ является концом отрезка и не лежит внутри него.
Следовательно, искомая точка $c=1$.
Ответ: $c = 1$.

б) Дана функция $f(x) = x^3$ на отрезке $[a; b] = [-2; 1]$. Ищем точку $c \in (-2; 1)$.
Функция $f(x) = x^3$ непрерывна и дифференцируема на данном отрезке.
1. Найдем значения функции на концах отрезка: $f(a) = f(-2) = (-2)^3 = -8$
$f(b) = f(1) = 1^3 = 1$
2. Вычислим среднюю скорость изменения функции: $$ \frac{f(b) - f(a)}{b - a} = \frac{1 - (-8)}{1 - (-2)} = \frac{9}{3} = 3 $$ 3. Производная функции: $f'(x) = 3x^2$.
4. Решим уравнение $f'(c) = 3$: $3c^2 = 3$
$c^2 = 1$
$c_1 = 1$, $c_2 = -1$
5. Выберем значение $c$, принадлежащее интервалу $(-2; 1)$. $c_1 = 1$ является концом отрезка и не лежит внутри него.
$c_2 = -1 \in (-2; 1)$.
Таким образом, искомая точка $c=-1$.
Ответ: $c = -1$.

в) Дана функция $f(x) = \sqrt[3]{x}$ на отрезке $[a; b] = [0; 27]$. Ищем точку $c \in (0; 27)$.
Функция $f(x) = \sqrt[3]{x}$ непрерывна на отрезке $[0; 27]$ и дифференцируема на интервале $(0; 27)$, так как производная не существует только в точке $x=0$, которая не входит в интервал. Теорема Лагранжа применима.
1. Найдем значения функции на концах отрезка: $f(a) = f(0) = \sqrt[3]{0} = 0$
$f(b) = f(27) = \sqrt[3]{27} = 3$
2. Вычислим среднюю скорость изменения функции: $$ \frac{f(b) - f(a)}{b - a} = \frac{3 - 0}{27 - 0} = \frac{3}{27} = \frac{1}{9} $$ 3. Найдем производную функции. Запишем функцию как $f(x) = x^{1/3}$: $f'(x) = \frac{1}{3}x^{-2/3} = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$
4. Решим уравнение $f'(c) = \frac{1}{9}$: $\frac{1}{3\sqrt[3]{c^2}} = \frac{1}{9}$
$3\sqrt[3]{c^2} = 9$
$\sqrt[3]{c^2} = 3$
Возведем обе части в куб: $c^2 = 3^3 = 27$.
$c_1 = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$, $c_2 = -\sqrt{27} = -3\sqrt{3}$
5. Выберем значение $c$, принадлежащее интервалу $(0; 27)$. $c_1 = 3\sqrt{3} \approx 5.196$, что принадлежит интервалу $(0; 27)$.
$c_2 = -3\sqrt{3}$ является отрицательным числом и не принадлежит интервалу $(0; 27)$.
Следовательно, искомая точка $c=3\sqrt{3}$.
Ответ: $c = 3\sqrt{3}$.

г) Дана функция $f(x) = \sqrt[3]{x}$ на отрезке $[a; b] = [-27; 0]$. Ищем точку $c \in (-27; 0)$.
Функция $f(x) = \sqrt[3]{x}$ непрерывна на отрезке $[-27; 0]$ и дифференцируема на интервале $(-27; 0)$. Теорема Лагранжа применима.
1. Найдем значения функции на концах отрезка: $f(a) = f(-27) = \sqrt[3]{-27} = -3$
$f(b) = f(0) = \sqrt[3]{0} = 0$
2. Вычислим среднюю скорость изменения функции: $$ \frac{f(b) - f(a)}{b - a} = \frac{0 - (-3)}{0 - (-27)} = \frac{3}{27} = \frac{1}{9} $$ 3. Производная функции: $f'(x) = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$.
4. Решим уравнение $f'(c) = \frac{1}{9}$: $\frac{1}{3\sqrt[3]{c^2}} = \frac{1}{9}$
$c^2 = 27$
$c_1 = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$, $c_2 = -\sqrt{27} = -3\sqrt{3}$
5. Выберем значение $c$, принадлежащее интервалу $(-27; 0)$. $c_1 = 3\sqrt{3}$ является положительным числом и не принадлежит интервалу $(-27; 0)$.
$c_2 = -3\sqrt{3} \approx -5.196$, что принадлежит интервалу $(-27; 0)$.
Таким образом, искомая точка $c=-3\sqrt{3}$.
Ответ: $c = -3\sqrt{3}$.