Номер 5.49, страница 133 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 5. Применение производной. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 5.49, страница 133.

Условие.

5.49 Функция $f(x)$ непрерывна на промежутке $I$ и имеет внутри промежутка производную $f'(x)$. Объясните, как по знаку производной можно заключить, возрастает или убывает она на промежутке $I$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Чтобы объяснить, как по знаку производной $f'(x)$ можно определить, возрастает или убывает функция $f(x)$ на промежутке $I$, необходимо использовать теорему Лагранжа о среднем значении. Эта теорема является фундаментальной для анализа поведения функций.

Теорема Лагранжа: Если функция $f(x)$ непрерывна на отрезке $[a, b]$ и имеет производную в каждой точке интервала $(a, b)$, то существует по крайней мере одна точка $c$ на интервале $(a, b)$, для которой выполняется равенство:
$f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$

Это равенство можно переписать в виде: $f(b) - f(a) = f'(c) \cdot (b - a)$.

Теперь применим эту теорему к нашей задаче. Возьмем любые две точки $x_1$ и $x_2$ из промежутка $I$ такие, что $x_1 < x_2$. Поскольку функция $f(x)$ непрерывна на $I$ и дифференцируема внутри $I$, то она также непрерывна на отрезке $[x_1, x_2]$ и дифференцируема на интервале $(x_1, x_2)$. Следовательно, по теореме Лагранжа, существует точка $c \in (x_1, x_2)$, для которой:
$f(x_2) - f(x_1) = f'(c) \cdot (x_2 - x_1)$

В этом равенстве множитель $(x_2 - x_1)$ всегда положителен, так как мы выбрали $x_1 < x_2$. Это означает, что знак разности $f(x_2) - f(x_1)$ полностью зависит от знака производной $f'(c)$ в некоторой точке $c$ между $x_1$ и $x_2$.

Как заключить, что функция возрастает

Пусть производная $f'(x) > 0$ для всех $x$ внутри промежутка $I$. Поскольку точка $c$ находится внутри промежутка $I$, то для нее также будет выполняться $f'(c) > 0$.
Рассмотрим равенство $f(x_2) - f(x_1) = f'(c) \cdot (x_2 - x_1)$.
Правая часть этого равенства является произведением двух положительных чисел: $f'(c) > 0$ и $(x_2 - x_1) > 0$. Следовательно, правая часть положительна.
Это означает, что $f(x_2) - f(x_1) > 0$, или $f(x_2) > f(x_1)$.
Так как для любой пары точек $x_1, x_2$ из $I$ из условия $x_1 < x_2$ следует $f(x_1) < f(x_2)$, то по определению функция $f(x)$ возрастает на промежутке $I$.
Ответ: Если производная функции $f'(x)$ положительна во всех внутренних точках промежутка $I$, то функция $f(x)$ возрастает на этом промежутке.

Как заключить, что функция убывает

Пусть производная $f'(x) < 0$ для всех $x$ внутри промежутка $I$. Поскольку точка $c$ находится внутри промежутка $I$, то для нее также будет выполняться $f'(c) < 0$.
Рассмотрим равенство $f(x_2) - f(x_1) = f'(c) \cdot (x_2 - x_1)$.
Правая часть этого равенства является произведением отрицательного числа $f'(c)$ и положительного числа $(x_2 - x_1)$. Следовательно, правая часть отрицательна.
Это означает, что $f(x_2) - f(x_1) < 0$, или $f(x_2) < f(x_1)$.
Так как для любой пары точек $x_1, x_2$ из $I$ из условия $x_1 < x_2$ следует $f(x_1) > f(x_2)$, то по определению функция $f(x)$ убывает на промежутке $I$.
Ответ: Если производная функции $f'(x)$ отрицательна во всех внутренних точках промежутка $I$, то функция $f(x)$ убывает на этом промежутке.