Номер 5.53, страница 133 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 5. Применение производной. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 5.53, страница 133.

Условие.

5.53 Докажите, что функция:

а) $f(x) = -2x + \cos x$;

б) $f(x) = -x + \sin x$

убывает на промежутке $R$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Для доказательства того, что дифференцируемая функция убывает на некотором промежутке, достаточно показать, что её производная на этом промежутке неположительна ($f'(x) \le 0$) и обращается в ноль лишь в отдельных точках (не образующих сплошной интервал). Если производная строго отрицательна ($f'(x) < 0$), то функция строго убывает.

а) $f(x) = -2x + \cos x$

1. Найдём область определения функции. Функция является суммой линейной и тригонометрической функций, поэтому она определена для всех действительных чисел: $D(f) = R$.

2. Найдём производную функции:
$f'(x) = (-2x + \cos x)' = -2 - \sin x$.

3. Оценим знак производной. Область значений функции $\sin x$ — это отрезок $[-1, 1]$. То есть, $-1 \le \sin x \le 1$.
Это позволяет нам оценить значение производной:
Максимальное значение $f'(x)$ равно $-2 - (-1) = -1$ (при $\sin x = -1$).
Минимальное значение $f'(x)$ равно $-2 - 1 = -3$ (при $\sin x = 1$).
Следовательно, для любого $x \in R$ выполняется неравенство $-3 \le f'(x) \le -1$.

Так как производная $f'(x)$ всегда отрицательна ($f'(x) < 0$) на всей числовой прямой, то функция $f(x) = -2x + \cos x$ строго убывает на промежутке $R$.

Ответ: Утверждение доказано. Производная функции $f'(x) = -2 - \sin x$ отрицательна для всех $x \in R$, следовательно, функция убывает на $R$.

б) $f(x) = -x + \sin x$

1. Область определения функции — все действительные числа, $D(f) = R$.

2. Найдём производную функции:
$f'(x) = (-x + \sin x)' = -1 + \cos x$.

3. Оценим знак производной. Область значений функции $\cos x$ — это отрезок $[-1, 1]$. То есть, $-1 \le \cos x \le 1$.
Прибавив -1 ко всем частям неравенства, получаем:
$-1 - 1 \le -1 + \cos x \le 1 - 1$,
что даёт $-2 \le f'(x) \le 0$.

Производная $f'(x)$ неположительна ($f'(x) \le 0$) для всех $x \in R$. Равенство $f'(x) = 0$ достигается только тогда, когда $\cos x = 1$, то есть в изолированных точках $x = 2\pi k$, где $k$ — любое целое число.
Поскольку производная функции неположительна на всей числовой прямой и равна нулю лишь в отдельных точках, функция $f(x) = -x + \sin x$ строго убывает на промежутке $R$.

Ответ: Утверждение доказано. Производная функции $f'(x) = -1 + \cos x$ неположительна для всех $x \in R$ и равна нулю лишь в дискретных точках, следовательно, функция убывает на $R$.