Номер 5.58, страница 134 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Функции. Производные. Интегралы. Параграф 5. Применение производной - номер 5.58, страница 134.

Условие.

5.58 Для функции $f(x)$ найдите промежутки непрерывности, промежутки возрастания (убывания), если:

а) $f(x) = \frac{x - 2,5}{x^2 - 4}$;

б) $f(x) = \frac{x - 5}{9 - x^2}$;

в) $f(x) = 2x^2 - \ln x$;

г) $f(x) = \ln x - 4,5x^2$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) $f(x) = \frac{x - 2,5}{x^2 - 4}$

1. Промежутки непрерывности. Функция является рациональной, поэтому она непрерывна на всей своей области определения. Область определения - это все действительные числа, кроме тех, при которых знаменатель равен нулю.

Найдем нули знаменателя: $x^2 - 4 = 0 \Rightarrow (x - 2)(x + 2) = 0 \Rightarrow x_1 = -2, x_2 = 2$. Таким образом, функция непрерывна на следующих промежутках: $(-\infty, -2)$, $(-2, 2)$ и $(2, \infty)$.

2. Промежутки возрастания и убывания. Для нахождения этих промежутков найдем производную функции $f'(x)$ по правилу дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:

$f'(x) = \frac{(x - 2,5)'(x^2 - 4) - (x - 2,5)(x^2 - 4)'}{(x^2 - 4)^2} = \frac{1 \cdot (x^2 - 4) - (x - 2,5) \cdot 2x}{(x^2 - 4)^2}$ $= \frac{x^2 - 4 - 2x^2 + 5x}{(x^2 - 4)^2} = \frac{-x^2 + 5x - 4}{(x^2 - 4)^2}$.

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю. Так как знаменатель $(x^2 - 4)^2$ всегда больше нуля на области определения, знак производной зависит только от знака числителя.

$-x^2 + 5x - 4 = 0 \Rightarrow x^2 - 5x + 4 = 0$. По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = 1, x_2 = 4$.

Нанесем точки разрыва $(-2, 2)$ и критические точки $(1, 4)$ на числовую ось и определим знак производной на полученных интервалах: $(-\infty, -2)$, $(-2, 1)$, $(1, 2)$, $(2, 4)$, $(4, \infty)$. График числителя $y = -x^2 + 5x - 4$ — это парабола с ветвями вниз, пересекающая ось OX в точках 1 и 4.

- На интервалах $(-\infty, -2)$ и $(-2, 1)$ числитель отрицателен, значит $f'(x) < 0$, функция убывает.
- На интервалах $(1, 2)$ и $(2, 4)$ числитель положителен, значит $f'(x) > 0$, функция возрастает.
- На интервале $(4, \infty)$ числитель отрицателен, значит $f'(x) < 0$, функция убывает.

Ответ: функция непрерывна на промежутках $(-\infty, -2) \cup (-2, 2) \cup (2, \infty)$. Функция возрастает на промежутках $[1, 2)$ и $(2, 4]$. Функция убывает на промежутках $(-\infty, -2)$, $(-2, 1]$ и $[4, \infty)$.

б) $f(x) = \frac{x - 5}{9 - x^2}$

1. Промежутки непрерывности. Функция непрерывна везде, кроме точек, где знаменатель равен нулю.

$9 - x^2 = 0 \Rightarrow (3 - x)(3 + x) = 0 \Rightarrow x_1 = -3, x_2 = 3$. Промежутки непрерывности: $(-\infty, -3)$, $(-3, 3)$ и $(3, \infty)$.

2. Промежутки возрастания и убывания. Найдем производную функции:

$f'(x) = \frac{(x-5)'(9-x^2) - (x-5)(9-x^2)'}{(9-x^2)^2} = \frac{1 \cdot (9-x^2) - (x-5)(-2x)}{(9-x^2)^2}$ $= \frac{9 - x^2 + 2x^2 - 10x}{(9-x^2)^2} = \frac{x^2 - 10x + 9}{(9-x^2)^2}$.

Найдем критические точки из условия $f'(x) = 0$. Знак производной зависит от знака числителя.

$x^2 - 10x + 9 = 0$. По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = 1, x_2 = 9$.

Нанесем точки разрыва $(-3, 3)$ и критические точки $(1, 9)$ на числовую ось. Интервалы для анализа: $(-\infty, -3)$, $(-3, 1)$, $(1, 3)$, $(3, 9)$, $(9, \infty)$. График числителя $y = x^2 - 10x + 9$ — это парабола с ветвями вверх, пересекающая ось OX в точках 1 и 9.

- На интервалах $(-\infty, -3)$ и $(-3, 1)$ числитель положителен, $f'(x) > 0$, функция возрастает.
- На интервалах $(1, 3)$ и $(3, 9)$ числитель отрицателен, $f'(x) < 0$, функция убывает.
- На интервале $(9, \infty)$ числитель положителен, $f'(x) > 0$, функция возрастает.

Ответ: функция непрерывна на промежутках $(-\infty, -3) \cup (-3, 3) \cup (3, \infty)$. Функция возрастает на промежутках $(-\infty, -3)$, $(-3, 1]$ и $[9, \infty)$. Функция убывает на промежутках $[1, 3)$ и $(3, 9]$.

в) $f(x) = 2x^2 - \ln x$

1. Промежутки непрерывности. Функция определена и непрерывна, когда выражение под знаком логарифма положительно, то есть $x > 0$. Промежуток непрерывности: $(0, \infty)$.

2. Промежутки возрастания и убывания. Найдем производную функции: $f'(x) = (2x^2 - \ln x)' = 4x - \frac{1}{x} = \frac{4x^2 - 1}{x}$.

Найдем критические точки: $f'(x) = 0 \Rightarrow \frac{4x^2 - 1}{x} = 0$. Так как $x > 0$, то $4x^2 - 1 = 0 \Rightarrow x^2 = \frac{1}{4} \Rightarrow x = \frac{1}{2}$ (корень $x = -\frac{1}{2}$ не входит в область определения).

Рассмотрим знак производной на интервалах $(0, \frac{1}{2})$ и $(\frac{1}{2}, \infty)$.

- На интервале $(0, \frac{1}{2})$, например при $x = 0,1$, $f'(0,1) = \frac{4(0,01) - 1}{0,1} = \frac{-0,96}{0,1} < 0$, функция убывает.
- На интервале $(\frac{1}{2}, \infty)$, например при $x=1$, $f'(1) = \frac{4(1) - 1}{1} = 3 > 0$, функция возрастает.

Ответ: функция непрерывна на промежутке $(0, \infty)$. Функция убывает на промежутке $(0, \frac{1}{2}]$ и возрастает на промежутке $[\frac{1}{2}, \infty)$.

г) $f(x) = \ln x - 4,5x^2$

1. Промежутки непрерывности. Область определения функции задается условием $x > 0$. Промежуток непрерывности: $(0, \infty)$.

2. Промежутки возрастания и убывания. Найдем производную функции: $f'(x) = (\ln x - 4,5x^2)' = \frac{1}{x} - 9x = \frac{1 - 9x^2}{x}$.

Найдем критические точки: $f'(x) = 0 \Rightarrow \frac{1 - 9x^2}{x} = 0$. С учетом области определения $x > 0$, получаем $1 - 9x^2 = 0 \Rightarrow x^2 = \frac{1}{9} \Rightarrow x = \frac{1}{3}$.

Рассмотрим знак производной на интервалах $(0, \frac{1}{3})$ и $(\frac{1}{3}, \infty)$.

- На интервале $(0, \frac{1}{3})$, например при $x=0,1$, $f'(0,1) = \frac{1 - 9(0,01)}{0,1} = \frac{0,91}{0,1} > 0$, функция возрастает.
- На интервале $(\frac{1}{3}, \infty)$, например при $x=1$, $f'(1) = \frac{1 - 9(1)}{1} = -8 < 0$, функция убывает.

Ответ: функция непрерывна на промежутке $(0, \infty)$. Функция возрастает на промежутке $(0, \frac{1}{3}]$ и убывает на промежутке $[\frac{1}{3}, \infty)$.