Номер 5.59, страница 134 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 5. Применение производной. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 5.59, страница 134.

Условие.

5.59* Докажите, что функция $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - x^2 - 8x + 1$ на отрезке $[-1; 3]$ имеет единственный нуль. Сколько нулей на промежутке $(-\infty; +\infty)$ имеет функция $f(x)$? Определите точки локального экстремума функции $f(x)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Докажите, что функция $f(x)=\frac{1}{3}x^3 - x^2 - 8x + 1$ на отрезке $[-1; 3]$ имеет единственный нуль.

Для доказательства существования и единственности нуля функции на отрезке воспользуемся двумя основными свойствами непрерывных функций.

1. Доказательство существования нуля.
Функция $f(x)$ является многочленом, следовательно, она непрерывна на всей числовой оси, включая отрезок $[-1; 3]$. Найдем значения функции на концах этого отрезка:
$f(-1) = \frac{1}{3}(-1)^3 - (-1)^2 - 8(-1) + 1 = -\frac{1}{3} - 1 + 8 + 1 = 8 - \frac{1}{3} = \frac{23}{3}$
$f(3) = \frac{1}{3}(3)^3 - (3)^2 - 8(3) + 1 = \frac{1}{3} \cdot 27 - 9 - 24 + 1 = 9 - 9 - 24 + 1 = -23$
Поскольку $f(-1) = \frac{23}{3} > 0$ и $f(3) = -23 < 0$, а функция $f(x)$ непрерывна на отрезке $[-1; 3]$, то по теореме о промежуточном значении (следствие из теоремы Больцано-Коши) существует хотя бы одна точка $c \in (-1; 3)$, в которой $f(c) = 0$. То есть, на отрезке существует как минимум один нуль.

2. Доказательство единственности нуля.
Для доказательства единственности нуля исследуем монотонность функции на отрезке $[-1; 3]$. Для этого найдем ее производную:
$f'(x) = (\frac{1}{3}x^3 - x^2 - 8x + 1)' = x^2 - 2x - 8$
Найдем нули производной, чтобы определить интервалы знакопостоянства:
$x^2 - 2x - 8 = 0$
По теореме Виета или через дискриминант находим корни: $x_1 = -2$ и $x_2 = 4$.
Оба корня производной, $x_1 = -2$ и $x_2 = 4$, не принадлежат интервалу $(-1; 3)$. Это означает, что на всем интервале $(-1; 3)$ производная $f'(x)$ сохраняет свой знак. Чтобы определить этот знак, выберем любую точку из этого интервала, например, $x=0$:
$f'(0) = 0^2 - 2(0) - 8 = -8 < 0$
Так как $f'(x) < 0$ для всех $x \in (-1; 3)$, функция $f(x)$ является строго убывающей на отрезке $[-1; 3]$. Строго монотонная функция может принимать каждое свое значение (в том числе и значение 0) не более одного раза.
Таким образом, мы доказали, что на отрезке $[-1; 3]$ существует нуль функции, и он является единственным.

Ответ: Существование нуля на отрезке $[-1; 3]$ следует из непрерывности функции и разных знаков ее значений на концах отрезка ($f(-1) > 0, f(3) < 0$). Единственность следует из того, что производная $f'(x) = x^2 - 2x - 8$ отрицательна на всем интервале $(-1; 3)$, что означает строгую монотонность (убывание) функции на этом отрезке.

Сколько нулей на промежутке $(-\infty; +\infty)$ имеет функция $f(x)$?

Для определения общего числа нулей функции исследуем ее поведение на всей числовой оси с помощью точек экстремума.
Как мы уже нашли, критические точки функции (нули производной $f'(x) = x^2 - 2x - 8$) это $x = -2$ и $x = 4$.
Определим значения функции в этих точках (значения в экстремумах):
В точке $x = -2$ (точка локального максимума, так как $f'(x)$ меняет знак с + на -):
$f_{max} = f(-2) = \frac{1}{3}(-2)^3 - (-2)^2 - 8(-2) + 1 = -\frac{8}{3} - 4 + 16 + 1 = 13 - \frac{8}{3} = \frac{39-8}{3} = \frac{31}{3} > 0$
В точке $x = 4$ (точка локального минимума, так как $f'(x)$ меняет знак с - на +):
$f_{min} = f(4) = \frac{1}{3}(4)^3 - (4)^2 - 8(4) + 1 = \frac{64}{3} - 16 - 32 + 1 = \frac{64}{3} - 47 = \frac{64 - 141}{3} = -\frac{77}{3} < 0$
Рассмотрим поведение функции на трех интервалах монотонности:
1. На интервале $(-\infty; -2)$ функция возрастает от $-\infty$ (так как $\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$) до положительного значения $f(-2) = \frac{31}{3}$. Переходя от отрицательных значений к положительному, график функции пересекает ось Ox один раз.
2. На интервале $(-2; 4)$ функция убывает от положительного значения $f(-2) = \frac{31}{3}$ до отрицательного $f(4) = -\frac{77}{3}$. Переходя от положительных значений к отрицательному, график функции пересекает ось Ox второй раз.
3. На интервале $(4; +\infty)$ функция возрастает от отрицательного значения $f(4) = -\frac{77}{3}$ до $+\infty$ (так как $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$). Переходя от отрицательных значений к положительным, график функции пересекает ось Ox в третий раз.
Таким образом, функция имеет три нуля на промежутке $(-\infty; +\infty)$.

Ответ: Функция имеет 3 нуля на промежутке $(-\infty; +\infty)$.

Определите точки локального экстремума функции $f(x)$.

Точки локального экстремума – это точки, в которых производная функции равна нулю или не существует, и при переходе через которые производная меняет знак. Функция $f(x)$ дифференцируема на всей числовой прямой.
Найдем производную:
$f'(x) = x^2 - 2x - 8$
Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:
$x^2 - 2x - 8 = 0$
Корни этого уравнения: $x_1 = -2$ и $x_2 = 4$.
Исследуем знак производной на интервалах, на которые эти точки разбивают числовую ось: $(-\infty; -2)$, $(-2; 4)$ и $(4; +\infty)$.
- При $x \in (-\infty; -2)$, например $x=-3$: $f'(-3) = (-3)^2 - 2(-3) - 8 = 9 + 6 - 8 = 7 > 0$. Функция возрастает.
- При $x \in (-2; 4)$, например $x=0$: $f'(0) = 0^2 - 2(0) - 8 = -8 < 0$. Функция убывает.
- При $x \in (4; +\infty)$, например $x=5$: $f'(5) = 5^2 - 2(5) - 8 = 25 - 10 - 8 = 7 > 0$. Функция возрастает.
В точке $x = -2$ производная меняет знак с «+» на «–», следовательно, это точка локального максимума.
В точке $x = 4$ производная меняет знак с «–» на «+», следовательно, это точка локального минимума.

Ответ: Точка локального максимума $x_{max} = -2$, точка локального минимума $x_{min} = 4$.