Номер 5.57, страница 134 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Функции. Производные. Интегралы. Параграф 5. Применение производной - номер 5.57, страница 134.

Условие.

5.57 Найдите критические точки, промежутки возрастания и убывания функции:

а) $y = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 6;$

б) $y = x^3 - 6x^2 + 9x + 3;$

в) $y = x^2 - 2 \ln x;$

г) $y = \ln x - 2x^2.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) $y = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 6$

1. Находим область определения функции. Так как данная функция является многочленом, ее область определения - все действительные числа: $D(y) = (-\infty, +\infty)$.
2. Находим производную функции:$y' = (2x^3 - 3x^2 - 12x + 6)' = 2 \cdot 3x^2 - 3 \cdot 2x - 12 = 6x^2 - 6x - 12$.
3. Находим критические точки. Это точки из области определения, в которых производная равна нулю или не существует. Производная $y' = 6x^2 - 6x - 12$ существует при любых $x$. Найдем точки, в которых производная равна нулю:$6x^2 - 6x - 12 = 0$
Разделим уравнение на 6:$x^2 - x - 2 = 0$
Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, корни $x_1 = -1$ и $x_2 = 2$.Следовательно, критические точки функции: $x = -1$ и $x = 2$.
4. Определяем промежутки возрастания и убывания. Для этого исследуем знак производной на интервалах, на которые критические точки разбивают числовую ось: $(-\infty, -1)$, $(-1, 2)$ и $(2, +\infty)$.
- На интервале $(-\infty, -1)$, выберем точку $x = -2$. $y'(-2) = 6(-2)^2 - 6(-2) - 12 = 24 + 12 - 12 = 24 > 0$. Значит, на этом промежутке функция возрастает.
- На интервале $(-1, 2)$, выберем точку $x = 0$. $y'(0) = 6(0)^2 - 6(0) - 12 = -12 < 0$. Значит, на этом промежутке функция убывает.
- На интервале $(2, +\infty)$, выберем точку $x = 3$. $y'(3) = 6(3)^2 - 6(3) - 12 = 54 - 18 - 12 = 24 > 0$. Значит, на этом промежутке функция возрастает.

Ответ: критические точки: $x=-1, x=2$; промежутки возрастания: $(-\infty, -1]$ и $[2, +\infty)$; промежуток убывания: $[-1, 2]$.

б) $y = x^3 - 6x^2 + 9x + 3$

1. Область определения функции — все действительные числа, так как это многочлен: $D(y) = (-\infty, +\infty)$.
2. Находим производную функции:$y' = (x^3 - 6x^2 + 9x + 3)' = 3x^2 - 12x + 9$.
3. Находим критические точки. Производная существует при любых $x$. Найдем точки, где $y' = 0$:$3x^2 - 12x + 9 = 0$
Разделим уравнение на 3:$x^2 - 4x + 3 = 0$
По теореме Виета, корни $x_1 = 1$ и $x_2 = 3$.Критические точки функции: $x = 1$ и $x = 3$.
4. Исследуем знак производной на интервалах $(-\infty, 1)$, $(1, 3)$ и $(3, +\infty)$.
- На интервале $(-\infty, 1)$, выберем точку $x = 0$. $y'(0) = 3(0)^2 - 12(0) + 9 = 9 > 0$. Функция возрастает.
- На интервале $(1, 3)$, выберем точку $x = 2$. $y'(2) = 3(2)^2 - 12(2) + 9 = 12 - 24 + 9 = -3 < 0$. Функция убывает.
- На интервале $(3, +\infty)$, выберем точку $x = 4$. $y'(4) = 3(4)^2 - 12(4) + 9 = 48 - 48 + 9 = 9 > 0$. Функция возрастает.

Ответ: критические точки: $x=1, x=3$; промежутки возрастания: $(-\infty, 1]$ и $[3, +\infty)$; промежуток убывания: $[1, 3]$.

в) $y = x^2 - 2\ln x$

1. Область определения функции. Аргумент логарифма должен быть строго положительным, поэтому $x > 0$. Область определения: $D(y) = (0, +\infty)$.
2. Находим производную функции:$y' = (x^2 - 2\ln x)' = 2x - 2 \cdot \frac{1}{x} = 2x - \frac{2}{x}$.
3. Находим критические точки. Производная существует на всей области определения. Найдем точки, где $y' = 0$:$2x - \frac{2}{x} = 0$
Приведем к общему знаменателю:$\frac{2x^2 - 2}{x} = 0$
Так как $x \in (0, +\infty)$, то $x \neq 0$. Следовательно, $2x^2 - 2 = 0 \implies x^2 = 1$.Учитывая область определения $x > 0$, получаем единственную критическую точку: $x = 1$.
4. Исследуем знак производной на интервалах, на которые критическая точка делит область определения: $(0, 1)$ и $(1, +\infty)$.
- На интервале $(0, 1)$, выберем точку $x = 0.5$. $y'(0.5) = 2(0.5) - \frac{2}{0.5} = 1 - 4 = -3 < 0$. Функция убывает.
- На интервале $(1, +\infty)$, выберем точку $x = 2$. $y'(2) = 2(2) - \frac{2}{2} = 4 - 1 = 3 > 0$. Функция возрастает.

Ответ: критическая точка: $x=1$; промежуток возрастания: $[1, +\infty)$; промежуток убывания: $(0, 1]$.

г) $y = \ln x - 2x^2$

1. Область определения функции. Аргумент логарифма должен быть строго положительным, поэтому $x > 0$. Область определения: $D(y) = (0, +\infty)$.
2. Находим производную функции:$y' = (\ln x - 2x^2)' = \frac{1}{x} - 4x$.
3. Находим критические точки. Производная существует на всей области определения. Найдем точки, где $y' = 0$:$\frac{1}{x} - 4x = 0$
$\frac{1 - 4x^2}{x} = 0$
Так как $x \neq 0$, то $1 - 4x^2 = 0 \implies 4x^2 = 1 \implies x^2 = \frac{1}{4}$.Учитывая область определения $x > 0$, получаем единственную критическую точку: $x = \frac{1}{2}$.
4. Исследуем знак производной на интервалах $(0, 1/2)$ и $(1/2, +\infty)$.
- На интервале $(0, 1/2)$, выберем точку $x = 0.1$. $y'(0.1) = \frac{1}{0.1} - 4(0.1) = 10 - 0.4 = 9.6 > 0$. Функция возрастает.
- На интервале $(1/2, +\infty)$, выберем точку $x = 1$. $y'(1) = \frac{1}{1} - 4(1) = 1 - 4 = -3 < 0$. Функция убывает.

Ответ: критическая точка: $x=1/2$; промежуток возрастания: $(0, 1/2]$; промежуток убывания: $[1/2, +\infty)$.