Номер 5.50, страница 133 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Функции. Производные. Интегралы. Параграф 5. Применение производной - номер 5.50, страница 133.

Условие.

5.50 Докажите, что функция $f(x)$ возрастает на указанном промежутке, если:

а) $f(x) = 3x + 4, x \in \mathbb{R}$;

б) $f(x) = kx + l, k > 0, x \in \mathbb{R}$;

в) $f(x) = x^2, x \in [0; +\infty)$;

г) $f(x) = -x^2, x \in (-\infty; 0]$;

д) $f(x) = \sin x, x \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$;

е) $f(x) = \cos x, x \in [\pi; 2\pi]$;

ж) $f(x) = 2^x, x \in \mathbb{R}$;

з) $f(x) = \log_2 x, x \in (0; +\infty)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Для доказательства того, что функция является возрастающей на заданном промежутке, можно использовать производную. Если производная функции $f'(x)$ положительна ($f'(x) > 0$) на интервале, то функция на этом интервале строго возрастает. Если производная неотрицательна ($f'(x) \ge 0$) и равна нулю лишь в отдельных точках, то функция возрастает на промежутке.

а)

Дана функция $f(x) = 3x + 4$ на промежутке $x \in \mathbb{R}$.

Найдем производную функции: $f'(x) = (3x + 4)' = 3$.

Так как производная $f'(x) = 3$ является положительной константой ($3 > 0$) для любого значения $x$ из области определения, функция $f(x)$ строго возрастает на всей числовой прямой $\mathbb{R}$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

б)

Дана функция $f(x) = kx + l$ на промежутке $x \in \mathbb{R}$, при условии, что $k > 0$.

Найдем производную функции: $f'(x) = (kx + l)' = k$.

По условию задачи $k > 0$. Следовательно, производная $f'(x) = k$ положительна для любого $x \in \mathbb{R}$. Это означает, что функция $f(x)$ строго возрастает на всей числовой прямой.

Ответ: Что и требовалось доказать.

в)

Дана функция $f(x) = x^2$ на промежутке $x \in [0; +\infty)$.

Найдем производную функции: $f'(x) = (x^2)' = 2x$.

На интервале $(0; +\infty)$ производная $f'(x) = 2x > 0$. В точке $x=0$ производная равна нулю: $f'(0) = 0$. Поскольку производная функции неотрицательна ($f'(x) \ge 0$) на всем промежутке $[0; +\infty)$ и обращается в ноль только в одной точке ($x=0$), функция $f(x)$ возрастает на этом промежутке.

Ответ: Что и требовалось доказать.

г)

Дана функция $f(x) = -x^2$ на промежутке $x \in (-\infty; 0]$.

Найдем производную функции: $f'(x) = (-x^2)' = -2x$.

На интервале $(-\infty; 0)$ для любого $x < 0$ производная $f'(x) = -2x > 0$. В точке $x=0$ производная равна нулю: $f'(0) = 0$. Так как производная $f'(x) \ge 0$ на всем промежутке $(-\infty; 0]$ и равна нулю лишь в одной точке ($x=0$), функция $f(x)$ возрастает на этом промежутке.

Ответ: Что и требовалось доказать.

д)

Дана функция $f(x) = \sin x$ на промежутке $x \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.

Найдем производную функции: $f'(x) = (\sin x)' = \cos x$.

На интервале $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$ косинус положителен: $\cos x > 0$. На концах промежутка производная равна нулю: $\cos(-\frac{\pi}{2}) = 0$ и $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$. Поскольку производная $f'(x) \ge 0$ на всем промежутке $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, функция $f(x)$ возрастает на этом промежутке.

Ответ: Что и требовалось доказать.

е)

Дана функция $f(x) = \cos x$ на промежутке $x \in [\pi; 2\pi]$.

Найдем производную функции: $f'(x) = (\cos x)' = -\sin x$.

На интервале $(\pi; 2\pi)$ (третья и четвертая координатные четверти) синус отрицателен: $\sin x < 0$. Следовательно, производная $f'(x) = -\sin x$ будет положительна на этом интервале. На концах промежутка производная равна нулю: $f'(\pi) = -\sin(\pi) = 0$ и $f'(2\pi) = -\sin(2\pi) = 0$. Так как производная $f'(x) \ge 0$ на всем промежутке $[\pi; 2\pi]$, функция $f(x)$ возрастает на этом промежутке.

Ответ: Что и требовалось доказать.

ж)

Дана функция $f(x) = 2^x$ на промежутке $x \in \mathbb{R}$.

Найдем производную функции: $f'(x) = (2^x)' = 2^x \ln 2$.

Значение $2^x$ всегда положительно для любого действительного $x$. Константа $\ln 2$ (натуральный логарифм 2) также положительна ($\ln 2 \approx 0.693$). Произведение двух положительных чисел всегда положительно, поэтому $f'(x) = 2^x \ln 2 > 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$. Это означает, что функция строго возрастает на всей числовой прямой.

Ответ: Что и требовалось доказать.

з)

Дана функция $f(x) = \log_2 x$ на промежутке $x \in (0; +\infty)$.

Найдем производную функции. Для этого представим логарифм по основанию 2 через натуральный логарифм: $f(x) = \frac{\ln x}{\ln 2}$. $f'(x) = \left(\frac{\ln x}{\ln 2}\right)' = \frac{1}{\ln 2} (\ln x)' = \frac{1}{x \ln 2}$.

На промежутке $(0; +\infty)$ значение $x$ всегда положительно. Константа $\ln 2$ также положительна. Следовательно, производная $f'(x) = \frac{1}{x \ln 2}$ положительна для всех $x$ из указанного промежутка. Это доказывает, что функция строго возрастает на $(0; +\infty)$.

Ответ: Что и требовалось доказать.