Номер 5.50, страница 133 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Серия: мгу - школе
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087641-4
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 5. Применение производной. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 5.50, страница 133.
№5.50 (с. 133)
Условие. №5.50 (с. 133)
скриншот условия

5.50 Докажите, что функция $f(x)$ возрастает на указанном промежутке, если:
а) $f(x) = 3x + 4, x \in \mathbb{R}$;
б) $f(x) = kx + l, k > 0, x \in \mathbb{R}$;
в) $f(x) = x^2, x \in [0; +\infty)$;
г) $f(x) = -x^2, x \in (-\infty; 0]$;
д) $f(x) = \sin x, x \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$;
е) $f(x) = \cos x, x \in [\pi; 2\pi]$;
ж) $f(x) = 2^x, x \in \mathbb{R}$;
з) $f(x) = \log_2 x, x \in (0; +\infty)$.
Решение 1. №5.50 (с. 133)








Решение 2. №5.50 (с. 133)


Решение 4. №5.50 (с. 133)
Для доказательства того, что функция является возрастающей на заданном промежутке, можно использовать производную. Если производная функции $f'(x)$ положительна ($f'(x) > 0$) на интервале, то функция на этом интервале строго возрастает. Если производная неотрицательна ($f'(x) \ge 0$) и равна нулю лишь в отдельных точках, то функция возрастает на промежутке.
а)Дана функция $f(x) = 3x + 4$ на промежутке $x \in \mathbb{R}$.
Найдем производную функции: $f'(x) = (3x + 4)' = 3$.
Так как производная $f'(x) = 3$ является положительной константой ($3 > 0$) для любого значения $x$ из области определения, функция $f(x)$ строго возрастает на всей числовой прямой $\mathbb{R}$.
Ответ: Что и требовалось доказать.
б)Дана функция $f(x) = kx + l$ на промежутке $x \in \mathbb{R}$, при условии, что $k > 0$.
Найдем производную функции: $f'(x) = (kx + l)' = k$.
По условию задачи $k > 0$. Следовательно, производная $f'(x) = k$ положительна для любого $x \in \mathbb{R}$. Это означает, что функция $f(x)$ строго возрастает на всей числовой прямой.
Ответ: Что и требовалось доказать.
в)Дана функция $f(x) = x^2$ на промежутке $x \in [0; +\infty)$.
Найдем производную функции: $f'(x) = (x^2)' = 2x$.
На интервале $(0; +\infty)$ производная $f'(x) = 2x > 0$. В точке $x=0$ производная равна нулю: $f'(0) = 0$. Поскольку производная функции неотрицательна ($f'(x) \ge 0$) на всем промежутке $[0; +\infty)$ и обращается в ноль только в одной точке ($x=0$), функция $f(x)$ возрастает на этом промежутке.
Ответ: Что и требовалось доказать.
г)Дана функция $f(x) = -x^2$ на промежутке $x \in (-\infty; 0]$.
Найдем производную функции: $f'(x) = (-x^2)' = -2x$.
На интервале $(-\infty; 0)$ для любого $x < 0$ производная $f'(x) = -2x > 0$. В точке $x=0$ производная равна нулю: $f'(0) = 0$. Так как производная $f'(x) \ge 0$ на всем промежутке $(-\infty; 0]$ и равна нулю лишь в одной точке ($x=0$), функция $f(x)$ возрастает на этом промежутке.
Ответ: Что и требовалось доказать.
д)Дана функция $f(x) = \sin x$ на промежутке $x \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.
Найдем производную функции: $f'(x) = (\sin x)' = \cos x$.
На интервале $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$ косинус положителен: $\cos x > 0$. На концах промежутка производная равна нулю: $\cos(-\frac{\pi}{2}) = 0$ и $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$. Поскольку производная $f'(x) \ge 0$ на всем промежутке $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, функция $f(x)$ возрастает на этом промежутке.
Ответ: Что и требовалось доказать.
е)Дана функция $f(x) = \cos x$ на промежутке $x \in [\pi; 2\pi]$.
Найдем производную функции: $f'(x) = (\cos x)' = -\sin x$.
На интервале $(\pi; 2\pi)$ (третья и четвертая координатные четверти) синус отрицателен: $\sin x < 0$. Следовательно, производная $f'(x) = -\sin x$ будет положительна на этом интервале. На концах промежутка производная равна нулю: $f'(\pi) = -\sin(\pi) = 0$ и $f'(2\pi) = -\sin(2\pi) = 0$. Так как производная $f'(x) \ge 0$ на всем промежутке $[\pi; 2\pi]$, функция $f(x)$ возрастает на этом промежутке.
Ответ: Что и требовалось доказать.
ж)Дана функция $f(x) = 2^x$ на промежутке $x \in \mathbb{R}$.
Найдем производную функции: $f'(x) = (2^x)' = 2^x \ln 2$.
Значение $2^x$ всегда положительно для любого действительного $x$. Константа $\ln 2$ (натуральный логарифм 2) также положительна ($\ln 2 \approx 0.693$). Произведение двух положительных чисел всегда положительно, поэтому $f'(x) = 2^x \ln 2 > 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$. Это означает, что функция строго возрастает на всей числовой прямой.
Ответ: Что и требовалось доказать.
з)Дана функция $f(x) = \log_2 x$ на промежутке $x \in (0; +\infty)$.
Найдем производную функции. Для этого представим логарифм по основанию 2 через натуральный логарифм: $f(x) = \frac{\ln x}{\ln 2}$. $f'(x) = \left(\frac{\ln x}{\ln 2}\right)' = \frac{1}{\ln 2} (\ln x)' = \frac{1}{x \ln 2}$.
На промежутке $(0; +\infty)$ значение $x$ всегда положительно. Константа $\ln 2$ также положительна. Следовательно, производная $f'(x) = \frac{1}{x \ln 2}$ положительна для всех $x$ из указанного промежутка. Это доказывает, что функция строго возрастает на $(0; +\infty)$.
Ответ: Что и требовалось доказать.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 5.50 расположенного на странице 133 к учебнику серии мгу - школе 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №5.50 (с. 133), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.