Номер 5.46, страница 129 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Серия: мгу - школе
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087641-4
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 5. Применение производной. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 5.46, страница 129.
№5.46 (с. 129)
Условие. №5.46 (с. 129)
скриншот условия

5.46 Сформулируйте теорему Лагранжа.
Решение 1. №5.46 (с. 129)

Решение 2. №5.46 (с. 129)

Решение 4. №5.46 (с. 129)
5.46
Теорема Лагранжа, также известная как теорема о среднем значении или формула конечных приращений, является одной из фундаментальных теорем дифференциального исчисления. Она устанавливает связь между приращением функции на отрезке и значением её производной в некоторой внутренней точке этого отрезка.
Формулировка теоремы Лагранжа
Пусть дана функция $y = f(x)$, которая удовлетворяет следующим двум условиям:
1. Функция $f(x)$ непрерывна на замкнутом отрезке $[a, b]$.
2. Функция $f(x)$ дифференцируема на открытом интервале $(a, b)$.
Тогда на интервале $(a, b)$ существует по крайней мере одна точка $c$ (то есть, $a < c < b$) такая, что справедливо равенство:
$$ f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a} $$
Данное равенство называют формулой Лагранжа или формулой конечных приращений. Его также можно записать в виде: $f(b) - f(a) = f'(c)(b-a)$.
Геометрический смысл теоремы
Геометрически теорема Лагранжа означает, что на графике функции $y=f(x)$, удовлетворяющей условиям теоремы, между точками $A(a, f(a))$ и $B(b, f(b))$ обязательно найдется такая точка $C(c, f(c))$, в которой касательная к графику будет параллельна хорде (секущей), соединяющей точки $A$ и $B$.
Угловой коэффициент касательной в точке $c$ — это значение производной $f'(c)$. Угловой коэффициент хорды $AB$ вычисляется как отношение приращения функции $\Delta y = f(b) - f(a)$ к приращению аргумента $\Delta x = b - a$, то есть $\frac{f(b) - f(a)}{b - a}$. Таким образом, равенство в теореме означает равенство угловых коэффициентов и, следовательно, параллельность касательной и хорды.
Физический смысл теоремы
Рассмотрим прямолинейное движение тела, где $s(t)$ — это координата тела в момент времени $t$. Тогда $\frac{s(b) - s(a)}{b - a}$ — это средняя скорость движения за промежуток времени от $t=a$ до $t=b$. Производная $s'(t)$ — это мгновенная скорость в момент времени $t$. Теорема Лагранжа утверждает, что в некоторый момент времени $c \in (a, b)$ мгновенная скорость тела будет равна его средней скорости на всем промежутке $[a, b]$.
Ответ: Теорема Лагранжа (о среднем значении): если функция $f(x)$ непрерывна на отрезке $[a, b]$ и дифференцируема в интервале $(a, b)$, то в этом интервале существует хотя бы одна точка $c \in (a, b)$, для которой выполняется равенство: $f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 5.46 расположенного на странице 129 к учебнику серии мгу - школе 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №5.46 (с. 129), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.