Номер 5.46, страница 129 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Функции. Производные. Интегралы. Параграф 5. Применение производной - номер 5.46, страница 129.

Условие.

5.46 Сформулируйте теорему Лагранжа.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

5.46

Теорема Лагранжа, также известная как теорема о среднем значении или формула конечных приращений, является одной из фундаментальных теорем дифференциального исчисления. Она устанавливает связь между приращением функции на отрезке и значением её производной в некоторой внутренней точке этого отрезка.

Формулировка теоремы Лагранжа

Пусть дана функция $y = f(x)$, которая удовлетворяет следующим двум условиям:

1. Функция $f(x)$ непрерывна на замкнутом отрезке $[a, b]$.

2. Функция $f(x)$ дифференцируема на открытом интервале $(a, b)$.

Тогда на интервале $(a, b)$ существует по крайней мере одна точка $c$ (то есть, $a < c < b$) такая, что справедливо равенство:

$$ f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a} $$

Данное равенство называют формулой Лагранжа или формулой конечных приращений. Его также можно записать в виде: $f(b) - f(a) = f'(c)(b-a)$.

Геометрический смысл теоремы

Геометрически теорема Лагранжа означает, что на графике функции $y=f(x)$, удовлетворяющей условиям теоремы, между точками $A(a, f(a))$ и $B(b, f(b))$ обязательно найдется такая точка $C(c, f(c))$, в которой касательная к графику будет параллельна хорде (секущей), соединяющей точки $A$ и $B$.

Угловой коэффициент касательной в точке $c$ — это значение производной $f'(c)$. Угловой коэффициент хорды $AB$ вычисляется как отношение приращения функции $\Delta y = f(b) - f(a)$ к приращению аргумента $\Delta x = b - a$, то есть $\frac{f(b) - f(a)}{b - a}$. Таким образом, равенство в теореме означает равенство угловых коэффициентов и, следовательно, параллельность касательной и хорды.

Физический смысл теоремы

Рассмотрим прямолинейное движение тела, где $s(t)$ — это координата тела в момент времени $t$. Тогда $\frac{s(b) - s(a)}{b - a}$ — это средняя скорость движения за промежуток времени от $t=a$ до $t=b$. Производная $s'(t)$ — это мгновенная скорость в момент времени $t$. Теорема Лагранжа утверждает, что в некоторый момент времени $c \in (a, b)$ мгновенная скорость тела будет равна его средней скорости на всем промежутке $[a, b]$.

Ответ: Теорема Лагранжа (о среднем значении): если функция $f(x)$ непрерывна на отрезке $[a, b]$ и дифференцируема в интервале $(a, b)$, то в этом интервале существует хотя бы одна точка $c \in (a, b)$, для которой выполняется равенство: $f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$.