Номер 5.44, страница 129 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Функции. Производные. Интегралы. Параграф 5. Применение производной - номер 5.44, страница 129.

Условие.

5.44° Сформулируйте теорему Ролля.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Формулировка теоремы Ролля

Теорема Ролля (также известная как теорема о корнях производной) является одной из фундаментальных теорем математического анализа. Она устанавливает связь между поведением функции и её производной.

Пусть дана функция $y = f(x)$, которая удовлетворяет следующим трем условиям:

1. функция $f(x)$ непрерывна на замкнутом отрезке $[a, b]$;
2. функция $f(x)$ дифференцируема на открытом интервале $(a, b)$;
3. значения функции на концах отрезка равны между собой, то есть $f(a) = f(b)$.

Тогда на интервале $(a, b)$ найдется по меньшей мере одна точка $c$ (то есть $a < c < b$), в которой производная функции равна нулю: $f'(c) = 0$.

Геометрический смысл

Геометрическая интерпретация теоремы Ролля заключается в следующем: если ординаты концов гладкой непрерывной кривой равны, то на этой кривой существует хотя бы одна точка, в которой касательная к графику функции параллельна оси абсцисс (Оx). Такая точка является стационарной точкой (точкой локального экстремума или точкой перегиба с горизонтальной касательной).

Доказательство теоремы

Поскольку функция $f(x)$ непрерывна на отрезке $[a, b]$ (условие 1), то по первой теореме Вейерштрасса она достигает на этом отрезке своего наименьшего значения $m$ и наибольшего значения $M$.

Возможны два случая:

1. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке равны: $m = M$. Это означает, что функция является постоянной на отрезке $[a, b]$, то есть $f(x) = C$ для всех $x \in [a, b]$, где $C$ — константа. В этом случае её производная $f'(x) = 0$ в любой точке интервала $(a, b)$. Следовательно, в качестве точки $c$ можно взять любую точку из этого интервала.

2. Наибольшее и наименьшее значения функции не равны: $m < M$. Поскольку по условию 3 $f(a) = f(b)$, то хотя бы одно из экстремальных значений (либо $m$, либо $M$) достигается во внутренней точке $c$ интервала $(a, b)$. Пусть, для определенности, в точке $c \in (a, b)$ функция достигает своего наибольшего значения $M = f(c)$. Так как $c$ является точкой локального экстремума и по условию 2 функция $f(x)$ дифференцируема в этой точке, то по необходимому условию экстремума (теореме Ферма) производная в этой точке должна быть равна нулю: $f'(c) = 0$. Аналогично рассуждаем, если в точке $c$ достигается наименьшее значение $m$.

Таким образом, в любом случае в интервале $(a, b)$ существует точка $c$, в которой $f'(c) = 0$, что и требовалось доказать.

Ответ: Теорема Ролля гласит, что если функция $f(x)$ непрерывна на отрезке $[a, b]$, дифференцируема в интервале $(a, b)$ и принимает на концах отрезка равные значения, то есть $f(a) = f(b)$, то в интервале $(a, b)$ существует хотя бы одна точка $c$, в которой производная функции обращается в ноль, то есть $f'(c) = 0$.