Номер 5.44, страница 129 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Серия: мгу - школе
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087641-4
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 5. Применение производной. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 5.44, страница 129.
№5.44 (с. 129)
Условие. №5.44 (с. 129)
скриншот условия

5.44° Сформулируйте теорему Ролля.
Решение 1. №5.44 (с. 129)

Решение 2. №5.44 (с. 129)

Решение 4. №5.44 (с. 129)
Формулировка теоремы Ролля
Теорема Ролля (также известная как теорема о корнях производной) является одной из фундаментальных теорем математического анализа. Она устанавливает связь между поведением функции и её производной.
Пусть дана функция $y = f(x)$, которая удовлетворяет следующим трем условиям:
- функция $f(x)$ непрерывна на замкнутом отрезке $[a, b]$;
- функция $f(x)$ дифференцируема на открытом интервале $(a, b)$;
- значения функции на концах отрезка равны между собой, то есть $f(a) = f(b)$.
Тогда на интервале $(a, b)$ найдется по меньшей мере одна точка $c$ (то есть $a < c < b$), в которой производная функции равна нулю: $f'(c) = 0$.
Геометрический смысл
Геометрическая интерпретация теоремы Ролля заключается в следующем: если ординаты концов гладкой непрерывной кривой равны, то на этой кривой существует хотя бы одна точка, в которой касательная к графику функции параллельна оси абсцисс (Оx). Такая точка является стационарной точкой (точкой локального экстремума или точкой перегиба с горизонтальной касательной).
Доказательство теоремы
Поскольку функция $f(x)$ непрерывна на отрезке $[a, b]$ (условие 1), то по первой теореме Вейерштрасса она достигает на этом отрезке своего наименьшего значения $m$ и наибольшего значения $M$.
Возможны два случая:
1. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке равны: $m = M$. Это означает, что функция является постоянной на отрезке $[a, b]$, то есть $f(x) = C$ для всех $x \in [a, b]$, где $C$ — константа. В этом случае её производная $f'(x) = 0$ в любой точке интервала $(a, b)$. Следовательно, в качестве точки $c$ можно взять любую точку из этого интервала.
2. Наибольшее и наименьшее значения функции не равны: $m < M$. Поскольку по условию 3 $f(a) = f(b)$, то хотя бы одно из экстремальных значений (либо $m$, либо $M$) достигается во внутренней точке $c$ интервала $(a, b)$. Пусть, для определенности, в точке $c \in (a, b)$ функция достигает своего наибольшего значения $M = f(c)$. Так как $c$ является точкой локального экстремума и по условию 2 функция $f(x)$ дифференцируема в этой точке, то по необходимому условию экстремума (теореме Ферма) производная в этой точке должна быть равна нулю: $f'(c) = 0$. Аналогично рассуждаем, если в точке $c$ достигается наименьшее значение $m$.
Таким образом, в любом случае в интервале $(a, b)$ существует точка $c$, в которой $f'(c) = 0$, что и требовалось доказать.
Ответ: Теорема Ролля гласит, что если функция $f(x)$ непрерывна на отрезке $[a, b]$, дифференцируема в интервале $(a, b)$ и принимает на концах отрезка равные значения, то есть $f(a) = f(b)$, то в интервале $(a, b)$ существует хотя бы одна точка $c$, в которой производная функции обращается в ноль, то есть $f'(c) = 0$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 5.44 расположенного на странице 129 к учебнику серии мгу - школе 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №5.44 (с. 129), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.