Номер 5.45, страница 129 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 5. Применение производной. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 5.45, страница 129.

Условие.

5.45 Не вычисляя производной, объясните, почему внутри указанного отрезка функция $f'(x)$ имеет точку, в которой производная этой функции равна нулю, если:

a) $f(x)=-x^3+3x$, [-1; 2];

б) $f(x)=x^3+3x^2$, [-3; 0].

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Для ответа на этот вопрос воспользуемся теоремой Ролля. Теорема Ролля гласит: если функция $f(x)$ непрерывна на отрезке $[a, b]$, дифференцируема на интервале $(a, b)$ и значения функции на концах отрезка равны, то есть $f(a) = f(b)$, то существует хотя бы одна точка $c$ на интервале $(a, b)$, в которой производная функции равна нулю, то есть $f'(c) = 0$.

Проверим выполнение условий теоремы Ролля для функции $f(x) = -x^3 + 3x$ на отрезке $[-1; 2]$.

1. Функция $f(x) = -x^3 + 3x$ является многочленом, а многочлены непрерывны на всей числовой оси. Следовательно, функция непрерывна на отрезке $[-1; 2]$.

2. Многочлены также дифференцируемы на всей числовой оси. Следовательно, функция $f(x)$ дифференцируема на интервале $(-1; 2)$.

3. Вычислим значения функции на концах отрезка:
$f(-1) = -(-1)^3 + 3(-1) = -(-1) - 3 = 1 - 3 = -2$.
$f(2) = -(2)^3 + 3(2) = -8 + 6 = -2$.
Так как $f(-1) = f(2) = -2$, значения функции на концах отрезка равны.

Все три условия теоремы Ролля выполнены. Следовательно, внутри отрезка $[-1; 2]$ существует точка, в которой производная этой функции равна нулю.

Ответ: Поскольку функция является непрерывной на отрезке $[-1; 2]$, дифференцируемой на интервале $(-1; 2)$ и ее значения на концах отрезка равны ($f(-1) = f(2) = -2$), по теореме Ролля существует точка внутри этого отрезка, в которой производная равна нулю.

б)

Аналогично пункту а), применим теорему Ролля для функции $f(x) = x^3 + 3x^2$ на отрезке $[-3; 0]$.

Проверим выполнение условий теоремы:

1. Функция $f(x) = x^3 + 3x^2$ является многочленом, поэтому она непрерывна на всей числовой оси, в том числе и на отрезке $[-3; 0]$.

2. Как многочлен, функция $f(x)$ дифференцируема на всей числовой оси, а значит, и на интервале $(-3; 0)$.

3. Вычислим значения функции на концах отрезка:
$f(-3) = (-3)^3 + 3(-3)^2 = -27 + 3(9) = -27 + 27 = 0$.
$f(0) = (0)^3 + 3(0)^2 = 0 + 0 = 0$.
Значения функции на концах отрезка равны: $f(-3) = f(0) = 0$.

Так как все условия теоремы Ролля выполнены, можно утверждать, что внутри отрезка $[-3; 0]$ существует точка, в которой производная функции равна нулю.

Ответ: Поскольку функция является непрерывной на отрезке $[-3; 0]$, дифференцируемой на интервале $(-3; 0)$ и ее значения на концах отрезка равны ($f(-3) = f(0) = 0$), по теореме Ролля существует точка внутри этого отрезка, в которой производная равна нулю.