Номер 5.40, страница 126 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 5. Применение производной. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 5.40, страница 126.

Условие.

5.40 Покажите, как из формулы (2) следует формула для приближённого вычисления квадратного корня из числа, близкого к 1:

$\sqrt{1+\Delta x} \approx 1+\frac{1}{2}\Delta x.$

Вычислите приближённо с помощью этой формулы:

а) $\sqrt{1,01};$

б) $\sqrt{1,02};$

в) $\sqrt{0,99};$

г) $\sqrt{0,98}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Искомая формула является частным случаем общей формулы для приближённого вычисления значения функции с помощью её производной (линейной аппроксимации). Предположительно, это и есть формула (2), упомянутая в задании:
$f(x_0 + \Delta x) \approx f(x_0) + f'(x_0)\Delta x$

Чтобы из этой общей формулы получить формулу для приближённого вычисления квадратного корня из числа, близкого к 1, рассмотрим функцию $f(x) = \sqrt{x}$. Точка, в окрестности которой мы ищем приближение, это $x_0 = 1$.

Сначала найдём производную функции $f(x)$:
$f'(x) = (\sqrt{x})' = (x^{1/2})' = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

Далее вычислим значения самой функции и её производной в точке $x_0 = 1$:
$f(x_0) = f(1) = \sqrt{1} = 1$
$f'(x_0) = f'(1) = \frac{1}{2\sqrt{1}} = \frac{1}{2}$

Теперь подставим вычисленные значения $f(1)$ и $f'(1)$ в общую формулу линейной аппроксимации:
$f(1 + \Delta x) \approx f(1) + f'(1)\Delta x$
$\sqrt{1 + \Delta x} \approx 1 + \frac{1}{2}\Delta x$
Таким образом, искомая формула выведена.

Теперь вычислим приближённые значения с помощью этой формулы.

а) Чтобы вычислить $\sqrt{1,01}$, представим подкоренное выражение в виде $1 + \Delta x$.
$1,01 = 1 + 0,01$, следовательно, $\Delta x = 0,01$.
$\sqrt{1,01} \approx 1 + \frac{1}{2} \cdot 0,01 = 1 + 0,005 = 1,005$.
Ответ: 1,005.

б) Чтобы вычислить $\sqrt{1,02}$, представим подкоренное выражение в виде $1 + \Delta x$.
$1,02 = 1 + 0,02$, следовательно, $\Delta x = 0,02$.
$\sqrt{1,02} \approx 1 + \frac{1}{2} \cdot 0,02 = 1 + 0,01 = 1,01$.
Ответ: 1,01.

в) Чтобы вычислить $\sqrt{0,99}$, представим подкоренное выражение в виде $1 + \Delta x$.
$0,99 = 1 - 0,01 = 1 + (-0,01)$, следовательно, $\Delta x = -0,01$.
$\sqrt{0,99} \approx 1 + \frac{1}{2} \cdot (-0,01) = 1 - 0,005 = 0,995$.
Ответ: 0,995.

г) Чтобы вычислить $\sqrt{0,98}$, представим подкоренное выражение в виде $1 + \Delta x$.
$0,98 = 1 - 0,02 = 1 + (-0,02)$, следовательно, $\Delta x = -0,02$.
$\sqrt{0,98} \approx 1 + \frac{1}{2} \cdot (-0,02) = 1 - 0,01 = 0,99$.
Ответ: 0,99.