Страница 126 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

5.37 Напишите формулу для приближённого вычисления значения функции $f(x)$ в точке $x_0 + \Delta x$.

Формула для приближенного вычисления значения функции $f(x)$ в точке $x_0 + \Delta x$ выводится из определения производной функции в точке $x_0$.

По определению, производная функции $f(x)$ в точке $x_0$ есть предел отношения приращения функции $\Delta f = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$ к приращению аргумента $\Delta x$, когда $\Delta x \to 0$: $$f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta f}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$$

Если приращение аргумента $\Delta x$ достаточно мало (но не равно нулю), то можно пренебречь знаком предела и записать приближенное равенство: $$f'(x_0) \approx \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$$

Это приближенное равенство лежит в основе применения производной для приближенных вычислений. Из него можно выразить приращение функции $\Delta f$: $$\Delta f \approx f'(x_0) \cdot \Delta x$$ Подставляя $\Delta f = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$, получаем: $$f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) \approx f'(x_0) \cdot \Delta x$$

Наконец, выразим из этого соотношения значение функции в точке $x_0 + \Delta x$, перенеся $f(x_0)$ в правую часть: $$f(x_0 + \Delta x) \approx f(x_0) + f'(x_0) \cdot \Delta x$$

Это и есть искомая формула. Она называется формулой линейного приближения функции, поскольку заменяет вычисление значения самой функции вычислением значения по линейной функции, график которой является касательной к графику $f(x)$ в точке $(x_0, f(x_0))$. Точность приближения тем выше, чем меньше $|\Delta x|$.

Ответ: $f(x_0 + \Delta x) \approx f(x_0) + f'(x_0) \cdot \Delta x$

5.38 Вычислите приближённо $f(x_0 + \Delta x)$, если:

a) $f(x) = x^2, x_0 = 5, \Delta x = 0,01;$

б) $f(x) = x^3, x_0 = 3, \Delta x = -0,01;$

в) $f(x) = \sqrt{x}, x_0 = 16, \Delta x = 0,02;$

г) $f(x) = \ln x, x_0 = e, \Delta x = 0,01;$

д) $f(x) = 2^x, x_0 = 2, \Delta x = -0,02.$

Для вычисления приближенного значения функции $f(x_0 + \Delta x)$ воспользуемся формулой линейной аппроксимации, которая основана на замене приращения функции ее дифференциалом:

$f(x_0 + \Delta x) \approx f(x_0) + f'(x_0) \Delta x$

Здесь $f'(x_0)$ — это значение производной функции $f(x)$ в точке $x_0$.

а) Дано: $f(x) = x^2$, $x_0 = 5$, $\Delta x = 0,01$.

1. Находим производную функции: $f'(x) = (x^2)' = 2x$.

2. Вычисляем значения функции и ее производной в точке $x_0 = 5$:

$f(x_0) = f(5) = 5^2 = 25$.

$f'(x_0) = f'(5) = 2 \cdot 5 = 10$.

3. Подставляем найденные значения в формулу аппроксимации:

$f(5 + 0,01) \approx f(5) + f'(5) \cdot 0,01 = 25 + 10 \cdot 0,01 = 25 + 0,1 = 25,1$.

Ответ: $25,1$.

б) Дано: $f(x) = x^3$, $x_0 = 3$, $\Delta x = -0,01$.

1. Находим производную функции: $f'(x) = (x^3)' = 3x^2$.

2. Вычисляем значения функции и ее производной в точке $x_0 = 3$:

$f(x_0) = f(3) = 3^3 = 27$.

$f'(x_0) = f'(3) = 3 \cdot 3^2 = 27$.

3. Подставляем найденные значения в формулу аппроксимации:

$f(3 + (-0,01)) \approx f(3) + f'(3) \cdot (-0,01) = 27 + 27 \cdot (-0,01) = 27 - 0,27 = 26,73$.

Ответ: $26,73$.

в) Дано: $f(x) = \sqrt{x}$, $x_0 = 16$, $\Delta x = 0,02$.

1. Находим производную функции: $f'(x) = (\sqrt{x})' = (x^{1/2})' = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

2. Вычисляем значения функции и ее производной в точке $x_0 = 16$:

$f(x_0) = f(16) = \sqrt{16} = 4$.

$f'(x_0) = f'(16) = \frac{1}{2\sqrt{16}} = \frac{1}{2 \cdot 4} = \frac{1}{8} = 0,125$.

3. Подставляем найденные значения в формулу аппроксимации:

$f(16 + 0,02) \approx f(16) + f'(16) \cdot 0,02 = 4 + 0,125 \cdot 0,02 = 4 + 0,0025 = 4,0025$.

Ответ: $4,0025$.

г) Дано: $f(x) = \ln x$, $x_0 = e$, $\Delta x = 0,01$.

1. Находим производную функции: $f'(x) = (\ln x)' = \frac{1}{x}$.

2. Вычисляем значения функции и ее производной в точке $x_0 = e$:

$f(x_0) = f(e) = \ln e = 1$.

$f'(x_0) = f'(e) = \frac{1}{e}$.

3. Подставляем найденные значения в формулу аппроксимации:

$f(e + 0,01) \approx f(e) + f'(e) \cdot 0,01 = 1 + \frac{1}{e} \cdot 0,01 = 1 + \frac{0,01}{e}$.

Ответ: $1 + \frac{0,01}{e}$.

д) Дано: $f(x) = 2^x$, $x_0 = 2$, $\Delta x = -0,02$.

1. Находим производную функции: $f'(x) = (2^x)' = 2^x \ln 2$.

2. Вычисляем значения функции и ее производной в точке $x_0 = 2$:

$f(x_0) = f(2) = 2^2 = 4$.

$f'(x_0) = f'(2) = 2^2 \ln 2 = 4 \ln 2$.

3. Подставляем найденные значения в формулу аппроксимации:

$f(2 + (-0,02)) \approx f(2) + f'(2) \cdot (-0,02) = 4 + (4 \ln 2) \cdot (-0,02) = 4 - 0,08 \ln 2$.

Ответ: $4 - 0,08 \ln 2$.

5.39 Вычислите приближённо:

а) $5,01^2$;

б) $7,98^2$;

в) $2,99^3$;

г) $\sqrt{24,1}$;

д) $\sqrt{35,98}$;

е) $\sqrt[3]{124}$;

ж) $\sqrt[3]{215}$;

з) $\ln 3$;

и) $1,01^{20}$;

к) $0,98^{20}$;

л) $2,01^{10}$;

м) $1,99^{10}$.

Для решения всех задач используется формула приближенного вычисления значения функции с помощью ее дифференциала: $f(x_0 + \Delta x) \approx f(x_0) + f'(x_0) \Delta x$.

а) Вычислим $5,01^2$.

Рассмотрим функцию $f(x) = x^2$. Выберем точку $x_0 = 5$ и приращение $\Delta x = 5,01 - 5 = 0,01$.

Значение функции в точке $x_0$: $f(x_0) = f(5) = 5^2 = 25$.

Производная функции: $f'(x) = 2x$.

Значение производной в точке $x_0$: $f'(x_0) = f'(5) = 2 \cdot 5 = 10$.

Подставляем в формулу: $5,01^2 \approx f(5) + f'(5) \cdot 0,01 = 25 + 10 \cdot 0,01 = 25 + 0,1 = 25,1$.

Ответ: $25,1$.

б) Вычислим $7,98^2$.

Рассмотрим функцию $f(x) = x^2$. Выберем точку $x_0 = 8$ и приращение $\Delta x = 7,98 - 8 = -0,02$.

Значение функции в точке $x_0$: $f(x_0) = f(8) = 8^2 = 64$.

Производная функции: $f'(x) = 2x$.

Значение производной в точке $x_0$: $f'(x_0) = f'(8) = 2 \cdot 8 = 16$.

Подставляем в формулу: $7,98^2 \approx f(8) + f'(8) \cdot (-0,02) = 64 + 16 \cdot (-0,02) = 64 - 0,32 = 63,68$.

Ответ: $63,68$.

в) Вычислим $2,99^3$.

Рассмотрим функцию $f(x) = x^3$. Выберем точку $x_0 = 3$ и приращение $\Delta x = 2,99 - 3 = -0,01$.

Значение функции в точке $x_0$: $f(x_0) = f(3) = 3^3 = 27$.

Производная функции: $f'(x) = 3x^2$.

Значение производной в точке $x_0$: $f'(x_0) = f'(3) = 3 \cdot 3^2 = 27$.

Подставляем в формулу: $2,99^3 \approx f(3) + f'(3) \cdot (-0,01) = 27 + 27 \cdot (-0,01) = 27 - 0,27 = 26,73$.

Ответ: $26,73$.

г) Вычислим $\sqrt{24,1}$.

Рассмотрим функцию $f(x) = \sqrt{x}$. Выберем точку $x_0 = 25$ и приращение $\Delta x = 24,1 - 25 = -0,9$.

Значение функции в точке $x_0$: $f(x_0) = f(25) = \sqrt{25} = 5$.

Производная функции: $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

Значение производной в точке $x_0$: $f'(x_0) = f'(25) = \frac{1}{2\sqrt{25}} = \frac{1}{10} = 0,1$.

Подставляем в формулу: $\sqrt{24,1} \approx f(25) + f'(25) \cdot (-0,9) = 5 + 0,1 \cdot (-0,9) = 5 - 0,09 = 4,91$.

Ответ: $4,91$.

д) Вычислим $\sqrt{35,98}$.

Рассмотрим функцию $f(x) = \sqrt{x}$. Выберем точку $x_0 = 36$ и приращение $\Delta x = 35,98 - 36 = -0,02$.

Значение функции в точке $x_0$: $f(x_0) = f(36) = \sqrt{36} = 6$.

Производная функции: $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

Значение производной в точке $x_0$: $f'(x_0) = f'(36) = \frac{1}{2\sqrt{36}} = \frac{1}{12}$.

Подставляем в формулу: $\sqrt{35,98} \approx f(36) + f'(36) \cdot (-0,02) = 6 + \frac{1}{12} \cdot (-0,02) = 6 - \frac{0,02}{12} = 6 - \frac{1}{600} \approx 6 - 0,00167 = 5,99833$.

Ответ: $\approx 5,9983$.

е) Вычислим $\sqrt[3]{124}$.

Рассмотрим функцию $f(x) = \sqrt[3]{x}$. Выберем точку $x_0 = 125$ и приращение $\Delta x = 124 - 125 = -1$.

Значение функции в точке $x_0$: $f(x_0) = f(125) = \sqrt[3]{125} = 5$.

Производная функции: $f'(x) = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$.

Значение производной в точке $x_0$: $f'(x_0) = f'(125) = \frac{1}{3\sqrt[3]{125^2}} = \frac{1}{3 \cdot 5^2} = \frac{1}{75}$.

Подставляем в формулу: $\sqrt[3]{124} \approx f(125) + f'(125) \cdot (-1) = 5 - \frac{1}{75} \approx 5 - 0,01333 = 4,98667$.

Ответ: $\approx 4,9867$.

ж) Вычислим $\sqrt[3]{215}$.

Рассмотрим функцию $f(x) = \sqrt[3]{x}$. Выберем точку $x_0 = 216$ и приращение $\Delta x = 215 - 216 = -1$.

Значение функции в точке $x_0$: $f(x_0) = f(216) = \sqrt[3]{216} = 6$.

Производная функции: $f'(x) = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$.

Значение производной в точке $x_0$: $f'(x_0) = f'(216) = \frac{1}{3\sqrt[3]{216^2}} = \frac{1}{3 \cdot 6^2} = \frac{1}{108}$.

Подставляем в формулу: $\sqrt[3]{215} \approx f(216) + f'(216) \cdot (-1) = 6 - \frac{1}{108} \approx 6 - 0,00926 = 5,99074$.

Ответ: $\approx 5,9907$.

з) Вычислим $\ln 3$.

Рассмотрим функцию $f(x) = \ln x$. Выберем точку $x_0 = e$ (основание натурального логарифма, $e \approx 2,718$) и приращение $\Delta x = 3 - e$.

Значение функции в точке $x_0$: $f(x_0) = f(e) = \ln e = 1$.

Производная функции: $f'(x) = \frac{1}{x}$.

Значение производной в точке $x_0$: $f'(x_0) = f'(e) = \frac{1}{e}$.

Подставляем в формулу: $\ln 3 \approx f(e) + f'(e) \cdot (3 - e) = 1 + \frac{1}{e}(3 - e) = 1 + \frac{3}{e} - 1 = \frac{3}{e}$.

Используя $e \approx 2,718$, получаем: $\ln 3 \approx \frac{3}{2,718} \approx 1,1038$.

Ответ: $\approx 1,1038$.

и) Вычислим $1,01^{20}$.

Воспользуемся формулой $(1+x)^\alpha \approx 1+\alpha x$, которая является частным случаем общей формулы при $x_0=0$.

Представим $1,01^{20}$ как $(1+0,01)^{20}$. Здесь $x = 0,01$ и $\alpha = 20$.

$1,01^{20} \approx 1 + 20 \cdot 0,01 = 1 + 0,2 = 1,2$.

Ответ: $1,2$.

к) Вычислим $0,98^{20}$.

Используем ту же формулу $(1+x)^\alpha \approx 1+\alpha x$.

Представим $0,98^{20}$ как $(1-0,02)^{20}$. Здесь $x = -0,02$ и $\alpha = 20$.

$0,98^{20} \approx 1 + 20 \cdot (-0,02) = 1 - 0,4 = 0,6$.

Ответ: $0,6$.

л) Вычислим $2,01^{10}$.

Рассмотрим функцию $f(x) = x^{10}$. Выберем точку $x_0 = 2$ и приращение $\Delta x = 2,01 - 2 = 0,01$.

Значение функции в точке $x_0$: $f(x_0) = f(2) = 2^{10} = 1024$.

Производная функции: $f'(x) = 10x^9$.

Значение производной в точке $x_0$: $f'(x_0) = f'(2) = 10 \cdot 2^9 = 10 \cdot 512 = 5120$.

Подставляем в формулу: $2,01^{10} \approx f(2) + f'(2) \cdot 0,01 = 1024 + 5120 \cdot 0,01 = 1024 + 51,2 = 1075,2$.

Ответ: $1075,2$.

м) Вычислим $1,99^{10}$.

Рассмотрим функцию $f(x) = x^{10}$. Выберем точку $x_0 = 2$ и приращение $\Delta x = 1,99 - 2 = -0,01$.

Значение функции в точке $x_0$: $f(x_0) = f(2) = 2^{10} = 1024$.

Производная функции: $f'(x) = 10x^9$.

Значение производной в точке $x_0$: $f'(x_0) = f'(2) = 10 \cdot 2^9 = 5120$.

Подставляем в формулу: $1,99^{10} \approx f(2) + f'(2) \cdot (-0,01) = 1024 + 5120 \cdot (-0,01) = 1024 - 51,2 = 972,8$.

Ответ: $972,8$.

5.40 Покажите, как из формулы (2) следует формула для приближённого вычисления квадратного корня из числа, близкого к 1:

$\sqrt{1+\Delta x} \approx 1+\frac{1}{2}\Delta x.$

Вычислите приближённо с помощью этой формулы:

а) $\sqrt{1,01};$

б) $\sqrt{1,02};$

в) $\sqrt{0,99};$

г) $\sqrt{0,98}.$

Искомая формула является частным случаем общей формулы для приближённого вычисления значения функции с помощью её производной (линейной аппроксимации). Предположительно, это и есть формула (2), упомянутая в задании:
$f(x_0 + \Delta x) \approx f(x_0) + f'(x_0)\Delta x$

Чтобы из этой общей формулы получить формулу для приближённого вычисления квадратного корня из числа, близкого к 1, рассмотрим функцию $f(x) = \sqrt{x}$. Точка, в окрестности которой мы ищем приближение, это $x_0 = 1$.

Сначала найдём производную функции $f(x)$:
$f'(x) = (\sqrt{x})' = (x^{1/2})' = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

Далее вычислим значения самой функции и её производной в точке $x_0 = 1$:
$f(x_0) = f(1) = \sqrt{1} = 1$
$f'(x_0) = f'(1) = \frac{1}{2\sqrt{1}} = \frac{1}{2}$

Теперь подставим вычисленные значения $f(1)$ и $f'(1)$ в общую формулу линейной аппроксимации:
$f(1 + \Delta x) \approx f(1) + f'(1)\Delta x$
$\sqrt{1 + \Delta x} \approx 1 + \frac{1}{2}\Delta x$
Таким образом, искомая формула выведена.

Теперь вычислим приближённые значения с помощью этой формулы.

а) Чтобы вычислить $\sqrt{1,01}$, представим подкоренное выражение в виде $1 + \Delta x$.
$1,01 = 1 + 0,01$, следовательно, $\Delta x = 0,01$.
$\sqrt{1,01} \approx 1 + \frac{1}{2} \cdot 0,01 = 1 + 0,005 = 1,005$.
Ответ: 1,005.

б) Чтобы вычислить $\sqrt{1,02}$, представим подкоренное выражение в виде $1 + \Delta x$.
$1,02 = 1 + 0,02$, следовательно, $\Delta x = 0,02$.
$\sqrt{1,02} \approx 1 + \frac{1}{2} \cdot 0,02 = 1 + 0,01 = 1,01$.
Ответ: 1,01.

в) Чтобы вычислить $\sqrt{0,99}$, представим подкоренное выражение в виде $1 + \Delta x$.
$0,99 = 1 - 0,01 = 1 + (-0,01)$, следовательно, $\Delta x = -0,01$.
$\sqrt{0,99} \approx 1 + \frac{1}{2} \cdot (-0,01) = 1 - 0,005 = 0,995$.
Ответ: 0,995.

г) Чтобы вычислить $\sqrt{0,98}$, представим подкоренное выражение в виде $1 + \Delta x$.
$0,98 = 1 - 0,02 = 1 + (-0,02)$, следовательно, $\Delta x = -0,02$.
$\sqrt{0,98} \approx 1 + \frac{1}{2} \cdot (-0,02) = 1 - 0,01 = 0,99$.
Ответ: 0,99.

5.41 Покажите, как из формулы (2) следует формула для приближённого вычисления $n$-й степени числа, близкого к 1:

$(1 + \Delta x)^n \approx 1 + n\Delta x.$

Вычислите приближённо с помощью этой формулы:

а) $(1,001)^{100};$

б) $(0,998)^{100};$

в) $(1,003)^{25};$

г) $(0,9997)^{25};$

д) $(\frac{1000}{1001})^{10};$

е) $(\frac{1000}{998})^{15};$

ж) $(\frac{1000}{1003})^{20};$

з) $(\frac{10000}{9997})^{35}.$

Приближенная формула $(1 + \Delta x)^n \approx 1 + n\Delta x$ является частным случаем формулы линейного приближения функции в окрестности точки. Предположительно, под "формулой (2)" имеется в виду общая формула линейного приближения: $f(x_0 + \Delta x) \approx f(x_0) + f'(x_0)\Delta x$.

Для вывода искомой формулы рассмотрим функцию $f(x) = x^n$. Нам нужно найти ее приближенное значение для числа, близкого к 1. Поэтому выберем точку $x_0 = 1$. Любое число, близкое к 1, можно представить в виде $1 + \Delta x$, где $\Delta x$ — малое приращение.

Найдем значение функции и ее производной в точке $x_0 = 1$. Производная функции $f(x) = x^n$ есть $f'(x) = n \cdot x^{n-1}$.

Теперь вычислим значения в точке $x_0 = 1$:
Значение функции: $f(x_0) = f(1) = 1^n = 1$.
Значение производной: $f'(x_0) = f'(1) = n \cdot 1^{n-1} = n$.

Подставим найденные значения в общую формулу линейного приближения: $f(1 + \Delta x) \approx f(1) + f'(1) \cdot \Delta x$.

В результате получаем требуемую формулу: $(1 + \Delta x)^n \approx 1 + n \Delta x$.

Вычислим приближенно с помощью этой формулы:

а) Для $(1,001)^{100}$ имеем: $n=100$ и $\Delta x = 0,001$.
$(1,001)^{100} = (1 + 0,001)^{100} \approx 1 + 100 \cdot 0,001 = 1 + 0,1 = 1,1$.
Ответ: $1,1$.

б) Для $(0,998)^{100}$ представим основание как $1 - 0,002$. Имеем: $n=100$ и $\Delta x = -0,002$.
$(0,998)^{100} = (1 - 0,002)^{100} \approx 1 + 100 \cdot (-0,002) = 1 - 0,2 = 0,8$.
Ответ: $0,8$.

в) Для $(1,003)^{25}$ имеем: $n=25$ и $\Delta x = 0,003$.
$(1,003)^{25} = (1 + 0,003)^{25} \approx 1 + 25 \cdot 0,003 = 1 + 0,075 = 1,075$.
Ответ: $1,075$.

г) Для $(0,9997)^{25}$ представим основание как $1 - 0,0003$. Имеем: $n=25$ и $\Delta x = -0,0003$.
$(0,9997)^{25} = (1 - 0,0003)^{25} \approx 1 + 25 \cdot (-0,0003) = 1 - 0,0075 = 0,9925$.
Ответ: $0,9925$.

д) Для $(\frac{1000}{1001})^{10}$ преобразуем выражение: $(\frac{1001}{1000})^{-10} = (1 + \frac{1}{1000})^{-10} = (1 + 0,001)^{-10}$.
Имеем: $n=-10$ и $\Delta x = 0,001$.
$(1 + 0,001)^{-10} \approx 1 + (-10) \cdot 0,001 = 1 - 0,01 = 0,99$.
Ответ: $0,99$.

е) Для $(\frac{1000}{998})^{15}$ преобразуем выражение: $(\frac{998}{1000})^{-15} = (1 - \frac{2}{1000})^{-15} = (1 - 0,002)^{-15}$.
Имеем: $n=-15$ и $\Delta x = -0,002$.
$(1 - 0,002)^{-15} \approx 1 + (-15) \cdot (-0,002) = 1 + 0,03 = 1,03$.
Ответ: $1,03$.

ж) Для $(\frac{1000}{1003})^{20}$ преобразуем выражение: $(\frac{1003}{1000})^{-20} = (1 + \frac{3}{1000})^{-20} = (1 + 0,003)^{-20}$.
Имеем: $n=-20$ и $\Delta x = 0,003$.
$(1 + 0,003)^{-20} \approx 1 + (-20) \cdot 0,003 = 1 - 0,06 = 0,94$.
Ответ: $0,94$.

з) Для $(\frac{10000}{9997})^{35}$ преобразуем выражение: $(\frac{9997}{10000})^{-35} = (1 - \frac{3}{10000})^{-35} = (1 - 0,0003)^{-35}$.
Имеем: $n=-35$ и $\Delta x = -0,0003$.
$(1 - 0,0003)^{-35} \approx 1 + (-35) \cdot (-0,0003) = 1 + 35 \cdot 0,0003 = 1 + 0,0105 = 1,0105$.
Ответ: $1,0105$.