Страница 127 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

5.42* Вычислите приближённо:

а) $ \sin 1^\circ $;

б) $ \sin 2^\circ $;

в) $ \sin 31^\circ $;

г) $ \sin 29^\circ $;

д) $ \cos 91^\circ $;

е) $ \cos 61^\circ $;

ж) $ \cos 59^\circ $;

з) $ \cos 89^\circ $.

Для приближенного вычисления значений тригонометрических функций будем использовать метод линейного приближения (разложение в ряд Тейлора первого порядка). Формула линейного приближения выглядит так: $f(x_0 + \Delta x) \approx f(x_0) + f'(x_0) \cdot \Delta x$, где $\Delta x$ — малое приращение аргумента, выраженное в радианах. Для малых углов $\alpha$ (в радианах) справедлива аппроксимация $\sin(\alpha) \approx \alpha$. Также будем использовать формулы приведения. Для расчетов нам понадобится значение $1^\circ$ в радианах: $1^\circ = \frac{\pi}{180} \text{ рад} \approx \frac{3.14159}{180} \approx 0.01745 \text{ рад}$.

а)

Для малого угла $\alpha = 1^\circ$ можно использовать приближенную формулу $\sin(\alpha) \approx \alpha$, где угол $\alpha$ выражен в радианах.

Переведем $1^\circ$ в радианы:

$\alpha = 1^\circ = \frac{\pi}{180} \text{ рад} \approx 0.01745 \text{ рад}$.

Следовательно:

$\sin(1^\circ) \approx 0.01745$.

Ответ: $\sin(1^\circ) \approx 0.01745$.

б)

Аналогично пункту а), для малого угла $\alpha = 2^\circ$ используем формулу $\sin(\alpha) \approx \alpha$.

Переведем $2^\circ$ в радианы:

$\alpha = 2^\circ = 2 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{90} \text{ рад} \approx 2 \cdot 0.01745 = 0.0349 \text{ рад}$.

Следовательно:

$\sin(2^\circ) \approx 0.0349$.

Ответ: $\sin(2^\circ) \approx 0.0349$.

в)

Для вычисления $\sin(31^\circ)$ используем линейное приближение в окрестности известной точки $x_0 = 30^\circ$.

Формула: $\sin(x_0 + \Delta x) \approx \sin(x_0) + \cos(x_0) \cdot \Delta x$.

Здесь $x_0 = 30^\circ$, а приращение $\Delta x = 31^\circ - 30^\circ = 1^\circ$. В радианах $\Delta x \approx 0.01745$.

Значения функции и ее производной (косинуса) в точке $x_0 = 30^\circ$:

$\sin(30^\circ) = \frac{1}{2} = 0.5$

$\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx \frac{1.732}{2} = 0.866$

Подставляем значения в формулу:

$\sin(31^\circ) \approx \sin(30^\circ) + \cos(30^\circ) \cdot \Delta x \approx 0.5 + 0.866 \cdot 0.01745$

$\sin(31^\circ) \approx 0.5 + 0.01511 \approx 0.5151$

Ответ: $\sin(31^\circ) \approx 0.5151$.

г)

Для вычисления $\sin(29^\circ)$ используем линейное приближение в окрестности точки $x_0 = 30^\circ$.

Формула: $\sin(x_0 + \Delta x) \approx \sin(x_0) + \cos(x_0) \cdot \Delta x$.

Здесь $x_0 = 30^\circ$, а приращение $\Delta x = 29^\circ - 30^\circ = -1^\circ$. В радианах $\Delta x \approx -0.01745$.

$\sin(29^\circ) \approx \sin(30^\circ) + \cos(30^\circ) \cdot \Delta x \approx 0.5 + 0.866 \cdot (-0.01745)$

$\sin(29^\circ) \approx 0.5 - 0.01511 \approx 0.4849$

Ответ: $\sin(29^\circ) \approx 0.4849$.

д)

Воспользуемся формулой приведения $\cos(90^\circ + \alpha) = -\sin(\alpha)$.

$\cos(91^\circ) = \cos(90^\circ + 1^\circ) = -\sin(1^\circ)$.

Из пункта а) мы знаем, что $\sin(1^\circ) \approx 0.01745$.

Следовательно, $\cos(91^\circ) \approx -0.01745$.

Ответ: $\cos(91^\circ) \approx -0.01745$.

е)

Воспользуемся формулой приведения $\cos(90^\circ - \alpha) = \sin(\alpha)$.

$\cos(61^\circ) = \cos(90^\circ - 29^\circ) = \sin(29^\circ)$.

Из пункта г) мы знаем, что $\sin(29^\circ) \approx 0.4849$.

Следовательно, $\cos(61^\circ) \approx 0.4849$.

Ответ: $\cos(61^\circ) \approx 0.4849$.

ж)

Воспользуемся формулой приведения $\cos(90^\circ - \alpha) = \sin(\alpha)$.

$\cos(59^\circ) = \cos(90^\circ - 31^\circ) = \sin(31^\circ)$.

Из пункта в) мы знаем, что $\sin(31^\circ) \approx 0.5151$.

Следовательно, $\cos(59^\circ) \approx 0.5151$.

Ответ: $\cos(59^\circ) \approx 0.5151$.

з)

Воспользуемся формулой приведения $\cos(90^\circ - \alpha) = \sin(\alpha)$.

$\cos(89^\circ) = \cos(90^\circ - 1^\circ) = \sin(1^\circ)$.

Из пункта а) мы знаем, что $\sin(1^\circ) \approx 0.01745$.

Следовательно, $\cos(89^\circ) \approx 0.01745$.

Ответ: $\cos(89^\circ) \approx 0.01745$.

$5.43^*$

a) $\operatorname{tg} 47^\circ$;

б) $\operatorname{tg} 2^\circ$;

в) $\operatorname{ctg} 46^\circ$;

г) $\operatorname{ctg} 88^\circ$.

а)

Для решения этой задачи воспользуемся формулой приведения для тангенса, которая связывает тангенс угла с котангенсом его дополнительного угла: $tg(\alpha) = ctg(90^\circ - \alpha)$.

Применим эту формулу для угла $\alpha = 47^\circ$:

$tg(47^\circ) = ctg(90^\circ - 47^\circ) = ctg(43^\circ)$.

Таким образом, тангенс 47 градусов равен котангенсу 43 градусов.

Ответ: $ctg(43^\circ)$.

б)

Используем ту же формулу приведения для тангенса: $tg(\alpha) = ctg(90^\circ - \alpha)$.

Подставим в формулу значение угла $\alpha = 2^\circ$:

$tg(2^\circ) = ctg(90^\circ - 2^\circ) = ctg(88^\circ)$.

Таким образом, тангенс 2 градусов равен котангенсу 88 градусов.

Ответ: $ctg(88^\circ)$.

в)

Для решения этой задачи воспользуемся формулой приведения для котангенса, которая связывает котангенс угла с тангенсом его дополнительного угла: $ctg(\alpha) = tg(90^\circ - \alpha)$.

Применим эту формулу для угла $\alpha = 46^\circ$:

$ctg(46^\circ) = tg(90^\circ - 46^\circ) = tg(44^\circ)$.

Таким образом, котангенс 46 градусов равен тангенсу 44 градусов.

Ответ: $tg(44^\circ)$.

г)

Используем ту же формулу приведения для котангенса: $ctg(\alpha) = tg(90^\circ - \alpha)$.

Подставим в формулу значение угла $\alpha = 88^\circ$:

$ctg(88^\circ) = tg(90^\circ - 88^\circ) = tg(2^\circ)$.

Таким образом, котангенс 88 градусов равен тангенсу 2 градусов.

Ответ: $tg(2^\circ)$.