Страница 123 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

5.18 Какими свойствами должна обладать функция $y = f(x)$, заданная на интервале $(a; b)$, чтобы в точке с абсциссой $x_0 \in (a; b)$ её график имел касательную? Каково уравнение этой касательной?

Какими свойствами должна обладать функция y = f(x), заданная на интервале (a; b), чтобы в точке с абсциссой x₀ ∈ (a; b) её график имел касательную?

Для того чтобы график функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имел касательную, функция должна быть дифференцируемой в этой точке.

По определению, касательная к графику функции в точке $M_0(x_0, f(x_0))$ — это предельное положение секущей $M_0M$, когда точка $M(x, f(x))$ стремится к точке $M_0$ вдоль кривой. Угловой коэффициент секущей $M_0M$ равен $\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$.

Чтобы у секущей было предельное положение (то есть чтобы существовала касательная), должен существовать конечный предел её углового коэффициента при $x \to x_0$. Этот предел и является производной функции $f(x)$ в точке $x_0$: $$ f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} $$ Таким образом, существование касательной в точке $x_0$ эквивалентно существованию конечной производной $f'(x_0)$ в этой точке.

Следует отметить, что если функция дифференцируема в точке, она обязательно непрерывна в этой точке.

Ответ: Функция $y = f(x)$ должна быть дифференцируемой в точке $x_0$.

Каково уравнение этой касательной?

Уравнение касательной — это уравнение прямой, проходящей через точку касания и имеющей определённый угловой коэффициент.

1. Точка касания. Касательная проходит через точку на графике, её координаты $(x_0, y_0)$, где $y_0 = f(x_0)$.

2. Угловой коэффициент. Геометрический смысл производной заключается в том, что её значение в точке касания равно угловому коэффициенту (тангенсу угла наклона) касательной. Таким образом, угловой коэффициент $k$ равен $f'(x_0)$.

Уравнение прямой, проходящей через точку $(x_0, y_0)$ с угловым коэффициентом $k$, имеет вид: $$ y - y_0 = k(x - x_0) $$

Подставив в это уравнение координаты точки касания и значение углового коэффициента, мы получим искомое уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$: $$ y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0) $$ Это уравнение можно также записать в виде: $$ y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) $$

Ответ: Уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

Напишите уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$, если (5.19–5.30):

5.19 $f(x) = x^2$.

а) $x_0 = 0$;

б) $x_0 = 1$;

в) $x_0 = 2$;

г) $x_0 = -1$.

Уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ задается формулой:

$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$

В данной задаче нам дана функция $f(x) = x^2$.

Сначала найдем производную этой функции: $f'(x) = (x^2)' = 2x$.

Теперь мы можем найти уравнения касательных для каждой из указанных точек $x_0$.

а) $x_0 = 0$;

1. Вычислим значение функции в точке $x_0 = 0$:
$f(x_0) = f(0) = 0^2 = 0$.

2. Вычислим значение производной в точке $x_0 = 0$ (это угловой коэффициент касательной):
$f'(x_0) = f'(0) = 2 \cdot 0 = 0$.

3. Подставим значения $f(x_0)$ и $f'(x_0)$ в формулу уравнения касательной:
$y = f(0) + f'(0)(x - 0)$
$y = 0 + 0 \cdot (x - 0)$
$y = 0$.

Ответ: $y = 0$.

б) $x_0 = 1$;

1. Вычислим значение функции в точке $x_0 = 1$:
$f(x_0) = f(1) = 1^2 = 1$.

2. Вычислим значение производной в точке $x_0 = 1$:
$f'(x_0) = f'(1) = 2 \cdot 1 = 2$.

3. Подставим найденные значения в уравнение касательной:
$y = f(1) + f'(1)(x - 1)$
$y = 1 + 2(x - 1)$
$y = 1 + 2x - 2$
$y = 2x - 1$.

Ответ: $y = 2x - 1$.

в) $x_0 = 2$;

1. Вычислим значение функции в точке $x_0 = 2$:
$f(x_0) = f(2) = 2^2 = 4$.

2. Вычислим значение производной в точке $x_0 = 2$:
$f'(x_0) = f'(2) = 2 \cdot 2 = 4$.

3. Подставим найденные значения в уравнение касательной:
$y = f(2) + f'(2)(x - 2)$
$y = 4 + 4(x - 2)$
$y = 4 + 4x - 8$
$y = 4x - 4$.

Ответ: $y = 4x - 4$.

г) $x_0 = -1$.

1. Вычислим значение функции в точке $x_0 = -1$:
$f(x_0) = f(-1) = (-1)^2 = 1$.

2. Вычислим значение производной в точке $x_0 = -1$:
$f'(x_0) = f'(-1) = 2 \cdot (-1) = -2$.

3. Подставим найденные значения в уравнение касательной:
$y = f(-1) + f'(-1)(x - (-1))$$
$y = 1 + (-2)(x + 1)$
$y = 1 - 2x - 2$
$y = -2x - 1$.

Ответ: $y = -2x - 1$.

5.20 $f(x) = x^2 + 2x - 3.$

а) $x_0 = 0;$

б) $x_0 = 1;$

в) $x_0 = -1;$

г) $x_0 = -2.$

Подразумевается, что для каждого случая необходимо найти уравнение касательной к графику функции $f(x) = x^2 + 2x - 3$ в точке $x_0$.

Уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид:

$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$

Сначала найдем производную данной функции:

$f'(x) = (x^2 + 2x - 3)' = (x^2)' + (2x)' - (3)' = 2x + 2$.

Теперь поочередно для каждой точки найдем уравнение касательной.

а) $x_0 = 0$

1. Найдем значение функции в точке $x_0 = 0$:

$f(0) = 0^2 + 2 \cdot 0 - 3 = -3$.

2. Найдем значение производной в точке $x_0 = 0$:

$f'(0) = 2 \cdot 0 + 2 = 2$.

3. Подставим вычисленные значения $f(0) = -3$ и $f'(0) = 2$ в формулу уравнения касательной:

$y = -3 + 2(x - 0)$

$y = 2x - 3$.

Ответ: $y = 2x - 3$.

б) $x_0 = 1$

1. Найдем значение функции в точке $x_0 = 1$:

$f(1) = 1^2 + 2 \cdot 1 - 3 = 1 + 2 - 3 = 0$.

2. Найдем значение производной в точке $x_0 = 1$:

$f'(1) = 2 \cdot 1 + 2 = 4$.

3. Подставим вычисленные значения $f(1) = 0$ и $f'(1) = 4$ в формулу уравнения касательной:

$y = 0 + 4(x - 1)$

$y = 4x - 4$.

Ответ: $y = 4x - 4$.

в) $x_0 = -1$

1. Найдем значение функции в точке $x_0 = -1$:

$f(-1) = (-1)^2 + 2 \cdot (-1) - 3 = 1 - 2 - 3 = -4$.

2. Найдем значение производной в точке $x_0 = -1$:

$f'(-1) = 2 \cdot (-1) + 2 = -2 + 2 = 0$.

3. Подставим вычисленные значения $f(-1) = -4$ и $f'(-1) = 0$ в формулу уравнения касательной:

$y = -4 + 0(x - (-1))$

$y = -4 + 0 \cdot (x + 1)$

$y = -4$.

Ответ: $y = -4$.

г) $x_0 = -2$

1. Найдем значение функции в точке $x_0 = -2$:

$f(-2) = (-2)^2 + 2 \cdot (-2) - 3 = 4 - 4 - 3 = -3$.

2. Найдем значение производной в точке $x_0 = -2$:

$f'(-2) = 2 \cdot (-2) + 2 = -4 + 2 = -2$.

3. Подставим вычисленные значения $f(-2) = -3$ и $f'(-2) = -2$ в формулу уравнения касательной:

$y = -3 + (-2)(x - (-2))$

$y = -3 - 2(x + 2)$

$y = -3 - 2x - 4$

$y = -2x - 7$.

Ответ: $y = -2x - 7$.

5.21 $f(x) = x^3 - 3x^2 + x - 1.$

а) $x_0 = 0;$

б) $x_0 = 1;$

в) $x_0 = -1;$

г) $x_0 = -2.$

Поскольку в задаче не указано, что именно нужно найти, но дан вид задачи предполагает работу с производной, наиболее полной и стандартной задачей в данном случае является нахождение уравнения касательной к графику функции $f(x)$ в точке $x_0$.

Уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид:

$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$

Дана функция $f(x) = x^3 - 3x^2 + x - 1$.

1. Найдем производную функции $f(x)$

Используя правила дифференцирования, получаем:

$f'(x) = (x^3 - 3x^2 + x - 1)' = (x^3)' - (3x^2)' + (x)' - (1)' = 3x^2 - 6x + 1$.

Теперь для каждой точки $x_0$ найдем $f(x_0)$, $f'(x_0)$ и составим уравнение касательной.

а) $x_0 = 0$

Найдем значение функции в этой точке:

$f(0) = 0^3 - 3 \cdot 0^2 + 0 - 1 = -1$.

Найдем значение производной в этой точке (угловой коэффициент касательной):

$f'(0) = 3 \cdot 0^2 - 6 \cdot 0 + 1 = 1$.

Подставим найденные значения в уравнение касательной:

$y = f(0) + f'(0)(x - 0)$

$y = -1 + 1 \cdot (x - 0)$

$y = x - 1$.

Ответ: уравнение касательной: $y = x - 1$.

б) $x_0 = 1$

Найдем значение функции в этой точке:

$f(1) = 1^3 - 3 \cdot 1^2 + 1 - 1 = 1 - 3 + 1 - 1 = -2$.

Найдем значение производной в этой точке:

$f'(1) = 3 \cdot 1^2 - 6 \cdot 1 + 1 = 3 - 6 + 1 = -2$.

Подставим найденные значения в уравнение касательной:

$y = f(1) + f'(1)(x - 1)$

$y = -2 + (-2) \cdot (x - 1)$

$y = -2 - 2x + 2$

$y = -2x$.

Ответ: уравнение касательной: $y = -2x$.

в) $x_0 = -1$

Найдем значение функции в этой точке:

$f(-1) = (-1)^3 - 3 \cdot (-1)^2 + (-1) - 1 = -1 - 3 \cdot 1 - 1 - 1 = -1 - 3 - 1 - 1 = -6$.

Найдем значение производной в этой точке:

$f'(-1) = 3 \cdot (-1)^2 - 6 \cdot (-1) + 1 = 3 \cdot 1 + 6 + 1 = 3 + 6 + 1 = 10$.

Подставим найденные значения в уравнение касательной:

$y = f(-1) + f'(-1)(x - (-1))$

$y = -6 + 10 \cdot (x + 1)$

$y = -6 + 10x + 10$

$y = 10x + 4$.

Ответ: уравнение касательной: $y = 10x + 4$.

г) $x_0 = -2$

Найдем значение функции в этой точке:

$f(-2) = (-2)^3 - 3 \cdot (-2)^2 + (-2) - 1 = -8 - 3 \cdot 4 - 2 - 1 = -8 - 12 - 2 - 1 = -23$.

Найдем значение производной в этой точке:

$f'(-2) = 3 \cdot (-2)^2 - 6 \cdot (-2) + 1 = 3 \cdot 4 + 12 + 1 = 12 + 12 + 1 = 25$.

Подставим найденные значения в уравнение касательной:

$y = f(-2) + f'(-2)(x - (-2))$

$y = -23 + 25 \cdot (x + 2)$

$y = -23 + 25x + 50$

$y = 25x + 27$.

Ответ: уравнение касательной: $y = 25x + 27$.

5.22 $f(x) = \sin x$.

а) $x_0 = 0$;

б) $x_0 = \frac{\pi}{2}$;

в) $x_0 = -\frac{\pi}{2}$;

г) $x_0 = \pi$.

Для решения задачи необходимо найти уравнение касательной к графику функции $f(x) = \sin x$ в каждой из заданных точек $x_0$. Общее уравнение касательной в точке $x_0$ имеет вид:

$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$

Сначала найдем производную функции $f(x) = \sin x$:

$f'(x) = (\sin x)' = \cos x$

Теперь поочередно рассмотрим каждый случай.

а) $x_0 = 0$

1. Найдем значение функции в точке $x_0 = 0$:
$f(0) = \sin(0) = 0$.

2. Найдем значение производной в точке $x_0 = 0$:
$f'(0) = \cos(0) = 1$.

3. Подставим найденные значения $f(x_0)$ и $f'(x_0)$ в уравнение касательной:
$y = f(0) + f'(0)(x - 0)$
$y = 0 + 1 \cdot (x - 0)$
$y = x$.

Ответ: $y = x$.

б) $x_0 = \frac{\pi}{2}$

1. Найдем значение функции в точке $x_0 = \frac{\pi}{2}$:
$f(\frac{\pi}{2}) = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$.

2. Найдем значение производной в точке $x_0 = \frac{\pi}{2}$:
$f'(\frac{\pi}{2}) = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$.

3. Подставим найденные значения в уравнение касательной:
$y = f(\frac{\pi}{2}) + f'(\frac{\pi}{2})(x - \frac{\pi}{2})$
$y = 1 + 0 \cdot (x - \frac{\pi}{2})$
$y = 1$.

Ответ: $y = 1$.

в) $

5.23 $f(x) = \cos x.$

а) $x_0 = 0;$

б) $x_0 = \frac{\pi}{2};$

в) $x_0 = -\frac{\pi}{2};$

г) $x_0 = -\pi.$

Общий вид уравнения касательной к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

Дана функция $f(x) = \cos x$.

Найдем её производную: $f'(x) = (\cos x)' = -\sin x$.

а) $x_0 = 0$

Найдём значение функции и её производной в точке $x_0 = 0$:

$f(x_0) = f(0) = \cos(0) = 1$

$f'(x_0) = f'(0) = -\sin(0) = 0$

Подставим эти значения в уравнение касательной:

$y = 1 + 0 \cdot (x - 0)$

$y = 1$

Ответ: $y=1$.

б) $x_0 = \frac{\pi}{2}$

Найдём значение функции и её производной в точке $x_0 = \frac{\pi}{2}$:

$f(x_0) = f(\frac{\pi}{2}) = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$

$f'(x_0) = f'(\frac{\pi}{2}) = -\sin(\frac{\pi}{2}) = -1$

Подставим эти значения в уравнение касательной:

$y = 0 + (-1) \cdot (x - \frac{\pi}{2})$

$y = -x + \frac{\pi}{2}$

Ответ: $y = -x + \frac{\pi}{2}$.

в) $x_0 = -\frac{\pi}{2}$

Найдём значение функции и её производной в точке $x_0 = -\frac{\pi}{2}$:

$f(x_0) = f(-\frac{\pi}{2}) = \cos(-\frac{\pi}{2}) = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$

$f'(x_0) = f'(-\frac{\pi}{2}) = -\sin(-\frac{\pi}{2}) = -(-\sin(\frac{\pi}{2})) = 1$

Подставим эти значения в уравнение касательной:

$y = 0 + 1 \cdot (x - (-\frac{\pi}{2}))$

$y = x + \frac{\pi}{2}$

Ответ: $y = x + \frac{\pi}{2}$.

г) $x_0 = -\pi$

Найдём значение функции и её производной в точке $x_0 = -\pi$:

$f(x_0) = f(-\pi) = \cos(-\pi) = \cos(\pi) = -1$

$f'(x_0) = f'(-\pi) = -\sin(-\pi) = -(-\sin(\pi)) = 0$

Подставим эти значения в уравнение касательной:

$y = -1 + 0 \cdot (x - (-\pi))$

$y = -1$

Ответ: $y=-1$.