Страница 125 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

5.36 ИССЛЕДУЕМ

a) При каком значении $a$ прямая $y = 7x + a$ является касательной к графику функции $y = x^4 + 3x$?

б) При каком значении $a$ прямая $y = -10x + a$ является касательной к графику функции $y = x^6 - 4x$?

а) Чтобы прямая $y = 7x + a$ была касательной к графику функции $y = x^4 + 3x$, необходимо, чтобы в точке касания $x_0$ выполнялись два условия:
1. Равенство угловых коэффициентов: угловой коэффициент прямой должен быть равен значению производной функции в точке $x_0$.
2. Равенство значений функций: значения обеих функций (прямой и кривой) в точке $x_0$ должны быть одинаковы.

Найдем производную функции $f(x) = x^4 + 3x$:
$f'(x) = (x^4 + 3x)' = 4x^3 + 3$.
Угловой коэффициент прямой $y = 7x + a$ равен $k=7$.

Приравняем производную к угловому коэффициенту, чтобы найти абсциссу точки касания $x_0$:
$f'(x_0) = 7$
$4x_0^3 + 3 = 7$
$4x_0^3 = 4$
$x_0^3 = 1$
$x_0 = 1$.

Теперь используем второе условие: в точке касания $x_0 = 1$ значения функций должны совпадать.
$7x_0 + a = x_0^4 + 3x_0$
Подставим найденное значение $x_0 = 1$:
$7(1) + a = (1)^4 + 3(1)$
$7 + a = 1 + 3$
$7 + a = 4$
$a = 4 - 7 = -3$.

Ответ: $a = -3$.

б) Решим задачу аналогично для прямой $y = -10x + a$ и функции $y = x^6 - 4x$.
Угловой коэффициент прямой $k = -10$.
Найдем производную функции $f(x) = x^6 - 4x$:
$f'(x) = (x^6 - 4x)' = 6x^5 - 4$.

Найдем абсциссу точки касания $x_0$, приравняв производную к угловому коэффициенту:
$f'(x_0) = -10$
$6x_0^5 - 4 = -10$
$6x_0^5 = -6$
$x_0^5 = -1$
$x_0 = -1$.

Теперь приравняем значения прямой и функции в точке касания $x_0 = -1$:
$-10x_0 + a = x_0^6 - 4x_0$
Подставим найденное значение $x_0 = -1$:
$-10(-1) + a = (-1)^6 - 4(-1)$
$10 + a = 1 + 4$
$10 + a = 5$
$a = 5 - 10 = -5$.

Ответ: $a = -5$.