Страница 118 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

5.1 а) Что называют максимумом функции $y = f(x)$ на отрезке $[a; b]$, как его обозначают?

б) Что называют минимумом функции $y = f(x)$ на отрезке $[a; b]$, как его обозначают?

в) Верно ли, что если функция $y = f(x)$ непрерывна на отрезке $[a; b]$, то существуют точки этого отрезка, в которых функция принимает своё наибольшее и наименьшее значения?

г) Какую точку отрезка $[a; b]$ называют точкой максимума функции $y = f(x)$; точкой минимума функции $y = f(x)$? Как называют значения функции в этих точках?

д) Какую точку отрезка $[a; b]$ называют точкой локального максимума; локального минимума функции $y = f(x)$? Как называют значения функции в этих точках?

е) Что называют точками локального экстремума функции $y = f(x)$?

ж) Верно ли, что если производная функции $y = f(x)$ равна нулю в некоторой точке $x_0$, то эта точка может не быть точкой локального экстремума функции $y = f(x)$? Приведите пример.

з) Какие точки отрезка $[a; b]$ называют критическими точками функции? Как найти эти точки?

и) Объясните порядок отыскания максимума и минимума функции на отрезке.

к)* Объясните порядок отыскания максимума и минимума функции на интервале; полуинтервале.

а) Наибольшее значение функции $y = f(x)$ на отрезке $[a; b]$ называют ее максимумом на этом отрезке. Это такое число $M$, для которого в отрезке $[a; b]$ найдется точка $x_0$, что $f(x_0) = M$, и для всех остальных точек $x$ из этого отрезка выполняется неравенство $f(x) \le M$.
Обозначают максимум функции на отрезке как $\max_{x \in [a; b]} f(x)$ или $y_{наиб}$.
Ответ: Максимум функции $y=f(x)$ на отрезке $[a; b]$ — это ее наибольшее значение на этом отрезке; обозначается $\max_{x \in [a; b]} f(x)$.

б) Наименьшее значение функции $y = f(x)$ на отрезке $[a; b]$ называют ее минимумом на этом отрезке. Это такое число $m$, для которого в отрезке $[a; b]$ найдется точка $x_0$, что $f(x_0) = m$, и для всех остальных точек $x$ из этого отрезка выполняется неравенство $f(x) \ge m$.
Обозначают минимум функции на отрезке как $\min_{x \in [a; b]} f(x)$ или $y_{наим}$.
Ответ: Минимум функции $y=f(x)$ на отрезке $[a; b]$ — это ее наименьшее значение на этом отрезке; обозначается $\min_{x \in [a; b]} f(x)$.

в) Да, это утверждение верно. Оно известно как теорема Вейерштрасса о наибольшем и наименьшем значениях. Теорема гласит, что любая функция, непрерывная на замкнутом отрезке $[a; b]$, достигает на этом отрезке своего наибольшего (максимума) и наименьшего (минимума) значений. Это означает, что обязательно существуют такие точки $x_{max} \in [a; b]$ и $x_{min} \in [a; b]$, что для любого $x \in [a; b]$ выполняются неравенства $f(x_{min}) \le f(x) \le f(x_{max})$.
Ответ: Да, верно.

г) Точку $x_{max}$ из отрезка $[a; b]$, в которой функция $y=f(x)$ принимает свое наибольшее значение на этом отрезке, называют точкой максимума функции на отрезке.
Точку $x_{min}$ из отрезка $[a; b]$, в которой функция $y=f(x)$ принимает свое наименьшее значение на этом отрезке, называют точкой минимума функции на отрезке.
Значения функции в этих точках ($f(x_{max})$ и $f(x_{min})$) называют соответственно максимумом (наибольшим значением) и минимумом (наименьшим значением) функции на отрезке.
Ответ: Точка, в которой достигается наибольшее значение, называется точкой максимума; точка, в которой достигается наименьшее значение, — точкой минимума. Значения функции в этих точках называют соответственно максимумом и минимумом функции на отрезке.

д) Точку $x_0$ из отрезка $[a; b]$ называют точкой локального максимума функции $y=f(x)$, если существует такая окрестность точки $x_0$ (например, интервал $(x_0 - \delta, x_0 + \delta)$), что для всех $x$ из этой окрестности, принадлежащих отрезку $[a; b]$, выполняется неравенство $f(x) \le f(x_0)$.
Точку $x_0$ из отрезка $[a; b]$ называют точкой локального минимума функции $y=f(x)$, если существует такая окрестность точки $x_0$, что для всех $x$ из этой окрестности, принадлежащих отрезку $[a; b]$, выполняется неравенство $f(x) \ge f(x_0)$.
Значения функции в точках локального максимума и локального минимума называют соответственно локальными максимумами и локальными минимумами функции.
Ответ: Точка локального максимума — точка, в которой значение функции больше или равно значениям во всех достаточно близких точках. Точка локального минимума — точка, в которой значение функции меньше или равно значениям во всех достаточно близких точках. Значения функции в этих точках называют локальными максимумами и локальными минимумами.

е) Точки локального максимума и точки локального минимума функции $y=f(x)$ вместе называют точками локального экстремума (или просто точками экстремума).
Ответ: Точками локального экстремума называют точки локального максимума и локального минимума.

ж) Да, это верно. Тот факт, что производная функции в точке $x_0$ равна нулю ($f'(x_0) = 0$), является необходимым, но не достаточным условием для существования локального экстремума в этой точке (для дифференцируемых функций). Точка, в которой производная равна нулю, может не быть точкой экстремума.
Пример: рассмотрим функцию $y = f(x) = x^3$.
Ее производная $f'(x) = 3x^2$. В точке $x_0 = 0$ производная равна нулю: $f'(0) = 3 \cdot 0^2 = 0$.
Однако, точка $x_0 = 0$ не является точкой локального экстремума. Слева от нуля функция отрицательна ($f(x) < 0$ при $x < 0$), а справа — положительна ($f(x) > 0$ при $x > 0$). Таким образом, в любой окрестности точки $x_0 = 0$ есть значения как больше, так и меньше, чем $f(0) = 0$. Эта точка является точкой перегиба.
Ответ: Да, верно. Пример: функция $y = x^3$ в точке $x_0 = 0$.

з) Критическими точками функции $y=f(x)$ на отрезке $[a; b]$ называют внутренние точки этого отрезка, в которых производная функции $f'(x)$ равна нулю или не существует.
Чтобы найти критические точки, нужно:
1. Найти производную функции $f'(x)$.
2. Найти все точки $x$ из интервала $(a, b)$, в которых $f'(x) = 0$.
3. Найти все точки $x$ из интервала $(a, b)$, в которых $f'(x)$ не существует.
Совокупность точек из пунктов 2 и 3 и будет являться множеством критических точек функции на отрезке.
Ответ: Критические точки — это внутренние точки отрезка, где производная равна нулю или не существует. Их находят, решая уравнение $f'(x)=0$ и находя точки, где $f'(x)$ не определена, а затем отбирая те, что лежат внутри отрезка.

и) Для нахождения максимума и минимума (наибольшего и наименьшего значений) непрерывной функции $y=f(x)$ на отрезке $[a; b]$ используется следующий алгоритм:
1. Найти производную функции: $f'(x)$.
2. Найти все критические точки функции, то есть точки, где $f'(x) = 0$ или $f'(x)$ не существует, и отобрать те из них, которые принадлежат интервалу $(a, b)$.
3. Вычислить значения функции $f(x)$ во всех отобранных критических точках.
4. Вычислить значения функции на концах отрезка: $f(a)$ и $f(b)$.
5. Сравнить все полученные значения (из пунктов 3 и 4). Самое большое из них будет максимумом (наибольшим значением) функции на отрезке, а самое маленькое — минимумом (наименьшим значением).
Ответ: Порядок отыскания: найти критические точки функции внутри отрезка, вычислить значения функции в этих точках и на концах отрезка, затем выбрать из полученных значений наибольшее (максимум) и наименьшее (минимум).

к)* Нахождение максимума и минимума функции на интервале $(a, b)$ или полуинтервале (например, $[a, b)$ или $(a, b]$) сложнее, так как теорема Вейерштрасса здесь не применима, и функция может не достигать своих наибольших или наименьших значений.
Порядок действий следующий:
1. Найти все критические точки функции, лежащие внутри данного промежутка.
2. Вычислить значения функции в этих критических точках.
3. Исследовать поведение функции на концах промежутка. Для этого вычисляются односторонние пределы:
- Для интервала $(a, b)$: $\lim_{x \to a^+} f(x)$ и $\lim_{x \to b^-} f(x)$.
- Для полуинтервала $[a, b)$: вычислить $f(a)$ и $\lim_{x \to b^-} f(x)$.
- Для полуинтервала $(a, b]$: вычислить $\lim_{x \to a^+} f(x)$ и $f(b)$.
4. Сравнить значения в критических точках со значениями (или предельными значениями) на концах промежутка.
- Если среди значений в критических точках есть такое, которое больше всех остальных значений и больше (или равно) пределов на концах, то это и есть максимум функции. Если один из пределов равен $+\infty$, то максимума у функции нет.
- Аналогично, если есть значение в критической точке, которое меньше всех остальных и меньше (или равно) пределов на концах, то это минимум. Если один из пределов равен $-\infty$, то минимума нет.
- Если наибольшее/наименьшее значение "достигается" на открытом конце (т.е. предел), то своего максимума/минимума функция не достигает. Например, $f(x)=x$ на $(0,1)$ не имеет ни максимума, ни минимума.
Важный частный случай: если на интервале есть только одна критическая точка и она является точкой локального максимума (минимума), то в ней достигается и глобальный максимум (минимум) на этом интервале.
Ответ: Нужно найти значения в критических точках внутри промежутка и исследовать поведение функции на его границах (вычислить значения или односторонние пределы). Затем сравнить все полученные значения и пределы, чтобы определить, существуют ли максимум и минимум и где они достигаются.