Страница 120 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

5.5* Укажите наибольшее и наименьшее значения функции $y = f(x)$ на отрезке $[-2; 2]$, если:

а) $y = \begin{cases} -x, & \text{если } x < -1 \\ x + 2, & \text{если } -1 \le x < 1 \\ -3x + 6, & \text{если } x \ge 1 \end{cases}$;

б) $y = \begin{cases} -x + 2, & \text{если } x < -1 \\ -3x, & \text{если } -1 \le x < 1 \\ x - 4, & \text{если } x \ge 1 \end{cases}$;

в) $y = |x - 1| + |2x + 1|$;

г) $y = |x - 1| - |2x + 1|$.

а)

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений кусочно-линейной функции на отрезке $[-2; 2]$ необходимо вычислить ее значения на концах этого отрезка ($x=-2$ и $x=2$) и в точках, где меняется ее аналитическое выражение ($x=-1$ и $x=1$). Функция непрерывна, так как значения на "стыках" совпадают.

Рассмотрим функцию на каждом из интервалов, входящих в отрезок $[-2; 2]$:
При $x \in [-2; -1)$ функция задана как $y = -x$.
При $x \in [-1; 1)$ функция задана как $y = x + 2$.
При $x \in [1; 2]$ функция задана как $y = -3x + 6$.

Вычислим значения в интересующих нас точках:
$f(-2) = -(-2) = 2$
$f(-1) = -1 + 2 = 1$
$f(1) = -3(1) + 6 = 3$
$f(2) = -3(2) + 6 = 0$

Сравниваем полученные значения: $0, 1, 2, 3$.
Наибольшее значение функции на отрезке $[-2; 2]$ равно 3 (достигается в точке $x=1$).
Наименьшее значение функции на отрезке $[-2; 2]$ равно 0 (достигается в точке $x=2$).

Ответ: наибольшее значение функции равно 3, наименьшее значение равно 0.

б)

Аналогично предыдущему пункту, вычислим значения непрерывной кусочно-линейной функции на концах отрезка $[-2; 2]$ и в точках излома ($x=-1$ и $x=1$).

Рассмотрим функцию на каждом из интервалов, входящих в отрезок $[-2; 2]$:
При $x \in [-2; -1)$ функция задана как $y = -x + 2$.
При $x \in [-1; 1)$ функция задана как $y = -3x$.
При $x \in [1; 2]$ функция задана как $y = x - 4$.

Вычислим значения в интересующих нас точках:
$f(-2) = -(-2) + 2 = 4$
$f(-1) = -3(-1) = 3$
$f(1) = 1 - 4 = -3$
$f(2) = 2 - 4 = -2$

Сравниваем полученные значения: $-3, -2, 3, 4$.
Наибольшее значение функции на отрезке $[-2; 2]$ равно 4 (достигается в точке $x=-2$).
Наименьшее значение функции на отрезке $[-2; 2]$ равно -3 (достигается в точке $x=1$).

Ответ: наибольшее значение функции равно 4, наименьшее значение равно -3.

в)

Рассмотрим функцию $y = |x - 1| + |2x + 1|$ на отрезке $[-2; 2]$.
Для того чтобы раскрыть модули, найдем точки, в которых выражения под модулем обращаются в ноль:
$x - 1 = 0 \implies x = 1$
$2x + 1 = 0 \implies x = -1/2$

Эти точки делят отрезок $[-2; 2]$ на три промежутка: $[-2; -1/2)$, $[-1/2; 1)$, и $[1; 2]$. Раскроем модули на каждом из этих промежутков.

1. При $x \in [-2; -1/2)$: оба выражения под модулями отрицательны.
$y = -(x - 1) - (2x + 1) = -x + 1 - 2x - 1 = -3x$.
Это убывающая функция. На концах промежутка: $f(-2) = -3(-2) = 6$, $f(-1/2) = -3(-1/2) = 3/2$.

2. При $x \in [-1/2; 1)$: выражение $(x-1)$ отрицательно, а $(2x+1)$ неотрицательно.
$y = -(x - 1) + (2x + 1) = -x + 1 + 2x + 1 = x + 2$.
Это возрастающая функция. На концах промежутка: $f(-1/2) = -1/2 + 2 = 3/2$, $f(1) = 1 + 2 = 3$.

3. При $x \in [1; 2]$: оба выражения под модулями неотрицательны.
$y = (x - 1) + (2x + 1) = x - 1 + 2x + 1 = 3x$.
Это возрастающая функция. На концах промежутка: $f(1) = 3(1) = 3$, $f(2) = 3(2) = 6$.

Теперь сравним значения функции на концах отрезка $[-2; 2]$ и в точках излома $x=-1/2$ и $x=1$: $f(-2)=6$, $f(-1/2)=3/2$, $f(1)=3$, $f(2)=6$.
Наибольшее значение функции равно 6 (достигается в точках $x=-2$ и $x=2$).
Наименьшее значение функции равно $3/2$ (достигается в точке $x=-1/2$).

Ответ: наибольшее значение функции равно 6, наименьшее значение равно $3/2$.

г)

Рассмотрим функцию $y = |x - 1| - |2x + 1|$ на отрезке $[-2; 2]$.
Нули подмодульных выражений, как и в предыдущем пункте, $x=1$ и $x=-1/2$.

Раскроем модули на тех же промежутках:

1. При $x \in [-2; -1/2)$:
$y = -(x - 1) - (-(2x + 1)) = -x + 1 + 2x + 1 = x + 2$.
Функция возрастает. $f(-2) = -2 + 2 = 0$, $f(-1/2) = -1/2 + 2 = 3/2$.

2. При $x \in [-1/2; 1)$:
$y = -(x - 1) - (2x + 1) = -x + 1 - 2x - 1 = -3x$.
Функция убывает. $f(-1/2) = -3(-1/2) = 3/2$, $f(1) = -3(1) = -3$.

3. При $x \in [1; 2]$:
$y = (x - 1) - (2x + 1) = x - 1 - 2x - 1 = -x - 2$.
Функция убывает. $f(1) = -1 - 2 = -3$, $f(2) = -2 - 2 = -4$.

Сравним значения функции на концах отрезка $[-2; 2]$ и в точках излома $x=-1/2$ и $x=1$: $f(-2)=0$, $f(-1/2)=3/2$, $f(1)=-3$, $f(2)=-4$.
Наибольшее значение функции равно $3/2$ (достигается в точке $x=-1/2$).
Наименьшее значение функции равно -4 (достигается в точке $x=2$).

Ответ: наибольшее значение функции равно $3/2$, наименьшее значение равно -4.

Найдите критические точки функции $y = f(x)$ на указанном промежутке, если (5.6—5.9):

5.6 a) $y = 2x^3 - 3x^2$, [-3; 3];

б) $y = 5x^3 - 15x$, [-2; 2];

в) $y = 3x^4 + x^3 + 7$, [-3; 2];

г) $y = x^4 - 4x^2$, [-4; 4].

а) Дана функция $y = 2x^3 - 3x^2$ на промежутке $[-3; 3]$.
Критические точки – это внутренние точки области определения функции, в которых ее производная равна нулю или не существует. Область определения данной функции – все действительные числа. 1. Найдем производную функции: $y' = (2x^3 - 3x^2)' = 2 \cdot 3x^2 - 3 \cdot 2x = 6x^2 - 6x$.
2. Производная $y' = 6x^2 - 6x$ существует при всех значениях $x$.
3. Найдем точки, в которых производная равна нулю: $6x^2 - 6x = 0$
$6x(x - 1) = 0$
Отсюда получаем два решения: $x_1 = 0$ и $x_2 = 1$.
4. Проверим, принадлежат ли найденные точки заданному промежутку $[-3; 3]$.
Точка $x_1 = 0$ принадлежит промежутку $[-3; 3]$, так как $-3 \le 0 \le 3$.
Точка $x_2 = 1$ принадлежит промежутку $[-3; 3]$, так как $-3 \le 1 \le 3$.
Следовательно, обе точки являются критическими на указанном промежутке.

Ответ: $0; 1$.

б) Дана функция $y = 5x^3 - 15x$ на промежутке $[-2; 2]$.
Область определения функции – все действительные числа. 1. Найдем производную функции: $y' = (5x^3 - 15x)' = 5 \cdot 3x^2 - 15 = 15x^2 - 15$.
2. Производная существует при всех значениях $x$.
3. Найдем точки, в которых производная равна нулю: $15x^2 - 15 = 0$
$15(x^2 - 1) = 0$
$x^2 = 1$
Отсюда получаем два решения: $x_1 = -1$ и $x_2 = 1$.
4. Проверим, принадлежат ли найденные точки заданному промежутку $[-2; 2]$.
Точка $x_1 = -1$ принадлежит промежутку $[-2; 2]$, так как $-2 \le -1 \le 2$.
Точка $x_2 = 1$ принадлежит промежутку $[-2; 2]$, так как $-2 \le 1 \le 2$.
Следовательно, обе точки являются критическими на указанном промежутке.

Ответ: $-1; 1$.

в) Дана функция $y = 3x^4 + x^3 + 7$ на промежутке $[-3; 2]$.
Область определения функции – все действительные числа. 1. Найдем производную функции: $y' = (3x^4 + x^3 + 7)' = 3 \cdot 4x^3 + 3x^2 = 12x^3 + 3x^2$.
2. Производная существует при всех значениях $x$.
3. Найдем точки, в которых производная равна нулю: $12x^3 + 3x^2 = 0$
$3x^2(4x + 1) = 0$
Отсюда получаем два решения: $x_1 = 0$ и $4x + 1 = 0 \implies x_2 = -1/4$.
4. Проверим, принадлежат ли найденные точки заданному промежутку $[-3; 2]$.
Точка $x_1 = 0$ принадлежит промежутку $[-3; 2]$, так как $-3 \le 0 \le 2$.
Точка $x_2 = -1/4$ принадлежит промежутку $[-3; 2]$, так как $-3 \le -0.25 \le 2$.
Следовательно, обе точки являются критическими на указанном промежутке.

Ответ: $-1/4; 0$.

г) Дана функция $y = x^4 - 4x^2$ на промежутке $[-4; 4]$.
Область определения функции – все действительные числа. 1. Найдем производную функции: $y' = (x^4 - 4x^2)' = 4x^3 - 4 \cdot 2x = 4x^3 - 8x$.
2. Производная существует при всех значениях $x$.
3. Найдем точки, в которых производная равна нулю: $4x^3 - 8x = 0$
$4x(x^2 - 2) = 0$
Отсюда получаем три решения: $x_1 = 0$, $x^2 - 2 = 0 \implies x^2 = 2 \implies x_2 = \sqrt{2}, x_3 = -\sqrt{2}$.
4. Проверим, принадлежат ли найденные точки заданному промежутку $[-4; 4]$.
Точка $x_1 = 0$ принадлежит промежутку $[-4; 4]$, так как $-4 \le 0 \le 4$.
Точка $x_2 = \sqrt{2}$ (приблизительно $1.414$) принадлежит промежутку $[-4; 4]$, так как $-4 \le \sqrt{2} \le 4$.
Точка $x_3 = -\sqrt{2}$ (приблизительно $-1.414$) принадлежит промежутку $[-4; 4]$, так как $-4 \le -\sqrt{2} \le 4$.
Следовательно, все три точки являются критическими на указанном промежутке.

Ответ: $-\sqrt{2}; 0; \sqrt{2}$.

5.7 a) $y = \sqrt[3]{x}$, $[-1; 1]$;

б) $y = \sqrt[5]{x}$, $[-2; 2]$;

в) $y = 4\sqrt{x} - x$, $(0; 5]$;

г) $y = 2\sqrt{x} - x$, $(0; 2]$.

а) Требуется найти наибольшее и наименьшее значения функции $y = \sqrt[3]{x}$ на отрезке $[-1; 1]$.
1. Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$. Отрезок $[-1; 1]$ входит в область определения.
2. Найдем производную функции: $y' = (x^{1/3})' = \frac{1}{3}x^{-2/3} = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$.
3. Найдем критические точки. Производная $y'$ никогда не равна нулю. Производная не существует при $x = 0$. Таким образом, $x = 0$ является критической точкой. Эта точка принадлежит отрезку $[-1; 1]$.
4. Вычислим значения функции в критической точке и на концах отрезка:
$y(-1) = \sqrt[3]{-1} = -1$
$y(0) = \sqrt[3]{0} = 0$
$y(1) = \sqrt[3]{1} = 1$
5. Сравнивая полученные значения, находим, что наименьшее значение функции равно -1, а наибольшее равно 1.

Ответ: Наименьшее значение функции $y_{наим} = -1$ (при $x=-1$), наибольшее значение функции $y_{наиб} = 1$ (при $x=1$).

б) Требуется найти наибольшее и наименьшее значения функции $y = \sqrt[5]{x}$ на отрезке $[-2; 2]$.
1. Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$. Отрезок $[-2; 2]$ входит в область определения.
2. Найдем производную функции: $y' = (x^{1/5})' = \frac{1}{5}x^{-4/5} = \frac{1}{5\sqrt[5]{x^4}}$.
3. Найдем критические точки. Производная $y'$ никогда не равна нулю. Производная не существует при $x = 0$. Таким образом, $x = 0$ является критической точкой. Эта точка принадлежит отрезку $[-2; 2]$.
4. Вычислим значения функции в критической точке и на концах отрезка:
$y(-2) = \sqrt[5]{-2} = -\sqrt[5]{2}$
$y(0) = \sqrt[5]{0} = 0$
$y(2) = \sqrt[5]{2}$
5. Сравнивая полученные значения, находим, что наименьшее значение функции равно $-\sqrt[5]{2}$, а наибольшее равно $\sqrt[5]{2}$.

Ответ: Наименьшее значение функции $y_{наим} = -\sqrt[5]{2}$ (при $x=-2$), наибольшее значение функции $y_{наиб} = \sqrt[5]{2}$ (при $x=2$).

в) Требуется найти наибольшее и наименьшее значения функции $y = 4\sqrt{x} - x$ на промежутке $(0; 5]$. Для нахождения наибольшего и наименьшего значений будем рассматривать функцию на замкнутом отрезке $[0; 5]$.
1. Область определения функции: $x \ge 0$. Отрезок $[0; 5]$ входит в область определения.
2. Найдем производную функции: $y' = (4x^{1/2} - x)' = 4 \cdot \frac{1}{2}x^{-1/2} - 1 = \frac{2}{\sqrt{x}} - 1$.
3. Найдем критические точки. Приравняем производную к нулю: $\frac{2}{\sqrt{x}} - 1 = 0 \Rightarrow \frac{2}{\sqrt{x}} = 1 \Rightarrow \sqrt{x} = 2 \Rightarrow x = 4$. Производная не существует при $x = 0$. Критические точки: $x = 0$ и $x = 4$. Обе точки принадлежат отрезку $[0; 5]$.
4. Вычислим значения функции в критических точках и на концах отрезка:
$y(0) = 4\sqrt{0} - 0 = 0$
$y(4) = 4\sqrt{4} - 4 = 4 \cdot 2 - 4 = 4$
$y(5) = 4\sqrt{5} - 5$. Так как $4 = \sqrt{16}$, а $4\sqrt{5} = \sqrt{16 \cdot 5} = \sqrt{80}$, и $8 < \sqrt{80} < 9$, то $3 < 4\sqrt{5} - 5 < 4$.
5. Сравнивая значения $0$, $4$ и $4\sqrt{5}-5$, находим, что наименьшее значение функции равно 0, а наибольшее равно 4.

Ответ: Наименьшее значение функции $y_{наим} = 0$ (при $x=0$), наибольшее значение функции $y_{наиб} = 4$ (при $x=4$).

г) Требуется найти наибольшее и наименьшее значения функции $y = 2\sqrt{x} - x$ на промежутке $(0; 2]$. Для нахождения наибольшего и наименьшего значений будем рассматривать функцию на замкнутом отрезке $[0; 2]$.
1. Область определения функции: $x \ge 0$. Отрезок $[0; 2]$ входит в область определения.
2. Найдем производную функции: $y' = (2x^{1/2} - x)' = 2 \cdot \frac{1}{2}x^{-1/2} - 1 = \frac{1}{\sqrt{x}} - 1$.
3. Найдем критические точки. Приравняем производную к нулю: $\frac{1}{\sqrt{x}} - 1 = 0 \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{x}} = 1 \Rightarrow \sqrt{x} = 1 \Rightarrow x = 1$. Производная не существует при $x = 0$. Критические точки: $x = 0$ и $x = 1$. Обе точки принадлежат отрезку $[0; 2]$.
4. Вычислим значения функции в критических точках и на концах отрезка:
$y(0) = 2\sqrt{0} - 0 = 0$
$y(1) = 2\sqrt{1} - 1 = 2 - 1 = 1$
$y(2) = 2\sqrt{2} - 2$. Так как $1 < \sqrt{2} < 2$, то $2 < 2\sqrt{2} < 4$, и $0 < 2\sqrt{2} - 2 < 2$. Точнее, $2\sqrt{2} \approx 2 \cdot 1.414 = 2.828$, поэтому $y(2) \approx 0.828$.
5. Сравнивая значения $0$, $1$ и $2\sqrt{2}-2$, находим, что наименьшее значение функции равно 0, а наибольшее равно 1.

Ответ: Наименьшее значение функции $y_{наим} = 0$ (при $x=0$), наибольшее значение функции $y_{наиб} = 1$ (при $x=1$).

5.8 a) $y = e^x - x$, [-3; 2];

В) $y = \sin 2x - x$, $[-\pi, \pi];

Б) $y = e^x - xe$, [-2; 2];

Г) $y = \cos 2x + x$, $[-\pi, \pi].

а) $y = e^x - x$, на отрезке $[-3; 2]$

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке необходимо найти ее значения в критических точках, принадлежащих этому отрезку, и на его концах, а затем сравнить их.

1. Находим производную функции:

$y' = (e^x - x)' = e^x - 1$

2. Находим критические точки, решая уравнение $y' = 0$:

$e^x - 1 = 0 \implies e^x = 1 \implies x = 0$

Критическая точка $x=0$ принадлежит отрезку $[-3; 2]$.

3. Вычисляем значения функции в критической точке $x=0$ и на концах отрезка $x=-3$ и $x=2$:

$y(0) = e^0 - 0 = 1$

$y(-3) = e^{-3} - (-3) = e^{-3} + 3 = \frac{1}{e^3} + 3$

$y(2) = e^2 - 2$

4. Сравниваем полученные значения. Используя приближенное значение $e \approx 2.718$:

$y(0) = 1$

$y(-3) = \frac{1}{e^3} + 3 \approx \frac{1}{20.086} + 3 \approx 3.05$

$y(2) = e^2 - 2 \approx (2.718)^2 - 2 \approx 7.389 - 2 = 5.389$

Сравнивая значения $1$, $3.05$ и $5.389$, видим, что наименьшее значение равно $1$, а наибольшее $e^2 - 2$.

Ответ: наименьшее значение функции $y_{min} = y(0) = 1$, наибольшее значение функции $y_{max} = y(2) = e^2 - 2$.

б) $y = e^x - xe$, на отрезке $[-2; 2]$

1. Находим производную функции (помним, что $e$ - это константа):

$y' = (e^x - xe)' = e^x - e$

2. Находим критические точки, решая уравнение $y' = 0$:

$e^x - e = 0 \implies e^x = e \implies x = 1$

Критическая точка $x=1$ принадлежит отрезку $[-2; 2]$.

3. Вычисляем значения функции в критической точке $x=1$ и на концах отрезка $x=-2$ и $x=2$:

$y(1) = e^1 - 1 \cdot e = e - e = 0$

$y(-2) = e^{-2} - (-2)e = e^{-2} + 2e = \frac{1}{e^2} + 2e$

$y(2) = e^2 - 2e$

4. Сравниваем полученные значения:

$y(1) = 0$

$y(-2) = \frac{1}{e^2} + 2e \approx \frac{1}{7.389} + 2 \cdot 2.718 \approx 0.135 + 5.436 = 5.571$

$y(2) = e^2 - 2e = e(e-2) \approx 2.718(0.718) \approx 1.952$

Сравнивая значения $0$, $5.571$ и $1.952$, видим, что наименьшее значение равно $0$, а наибольшее $e^{-2} + 2e$.

Ответ: наименьшее значение функции $y_{min} = y(1) = 0$, наибольшее значение функции $y_{max} = y(-2) = e^{-2} + 2e$.

в) $y = \sin 2x - x$, на отрезке $[-\pi; \pi]$

1. Находим производную функции:

$y' = (\sin 2x - x)' = 2\cos 2x - 1$

2. Находим критические точки, решая уравнение $y' = 0$:

$2\cos 2x - 1 = 0 \implies \cos 2x = \frac{1}{2}$

Общее решение: $2x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k \implies x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k$ - целое число.

Выберем критические точки, принадлежащие отрезку $[-\pi; \pi]$:

Для $k=0: x = \frac{\pi}{6}$ и $x = -\frac{\pi}{6}$.

Для $k=1: x = -\frac{\pi}{6} + \pi = \frac{5\pi}{6}$.

Для $k=-1: x = \frac{\pi}{6} - \pi = -\frac{5\pi}{6}$.

Итак, критические точки в заданном интервале: $-\frac{5\pi}{6}, -\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$.

3. Вычисляем значения функции в критических точках и на концах отрезка:

$y(-\pi) = \sin(-2\pi) - (-\pi) = 0 + \pi = \pi$

$y(\pi) = \sin(2\pi) - \pi = 0 - \pi = -\pi$

$y(-\frac{5\pi}{6}) = \sin(2 \cdot (-\frac{5\pi}{6})) + \frac{5\pi}{6} = \sin(-\frac{5\pi}{3}) + \frac{5\pi}{6} = \sin(\frac{\pi}{3}) + \frac{5\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{5\pi}{6}$

$y(-\frac{\pi}{6}) = \sin(2 \cdot (-\frac{\pi}{6})) + \frac{\pi}{6} = \sin(-\frac{\pi}{3}) + \frac{\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\pi}{6}$

$y(\frac{\pi}{6}) = \sin(2 \cdot \frac{\pi}{6}) - \frac{\pi}{6} = \sin(\frac{\pi}{3}) - \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\pi}{6}$

$y(\frac{5\pi}{6}) = \sin(2 \cdot \frac{5\pi}{6}) - \frac{5\pi}{6} = \sin(\frac{5\pi}{3}) - \frac{5\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{5\pi}{6}$

4. Сравниваем значения. $\pi \approx 3.1416, \sqrt{3} \approx 1.732$.

$y(-\pi) = \pi \approx 3.1416$

$y(\pi) = -\pi \approx -3.1416$

$y(-\frac{5\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{5\pi}{6} \approx 0.866 + 2.618 = 3.484$

$y(\frac{5\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{5\pi}{6} \approx -0.866 - 2.618 = -3.484$

Сравнив все значения, видим, что наибольшее значение $y_{max} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{5\pi}{6}$, а наименьшее $y_{min} = -\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{5\pi}{6}$.

Ответ: наименьшее значение функции $y_{min} = y(\frac{5\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{5\pi}{6}$, наибольшее значение функции $y_{max} = y(-\frac{5\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{5\pi}{6}$.

г) $y = \cos 2x + x$, на отрезке $[-\pi; \pi]$

1. Находим производную функции:

$y' = (\cos 2x + x)' = -2\sin 2x + 1$

2. Находим критические точки, решая уравнение $y' = 0$:

$1 - 2\sin 2x = 0 \implies \sin 2x = \frac{1}{2}$

Общие решения: $2x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$ и $2x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k \implies x = \frac{\pi}{12} + \pi k$ и $x = \frac{5\pi}{12} + \pi k$, где $k$ - целое число.

Выберем критические точки, принадлежащие отрезку $[-\pi; \pi]$:

Для $k=0: x = \frac{\pi}{12}$ и $x = \frac{5\pi}{12}$.

Для $k=-1: x = \frac{\pi}{12} - \pi = -\frac{11\pi}{12}$ и $x = \frac{5\pi}{12} - \pi = -\frac{7\pi}{12}$.

Итак, критические точки: $-\frac{11\pi}{12}, -\frac{7\pi}{12}, \frac{\pi}{12}, \frac{5\pi}{12}$.

3. Вычисляем значения функции в критических точках и на концах отрезка:

$y(-\pi) = \cos(-2\pi) - \pi = 1 - \pi$

$y(\pi) = \cos(2\pi) + \pi = 1 + \pi$

$y(-\frac{11\pi}{12}) = \cos(-\frac{11\pi}{6}) - \frac{11\pi}{12} = \cos(\frac{\pi}{6}) - \frac{11\pi}{12} = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{11\pi}{12}$

$y(-\frac{7\pi}{12}) = \cos(-\frac{7\pi}{6}) - \frac{7\pi}{12} = \cos(\frac{5\pi}{6}) - \frac{7\pi}{12} = -\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{7\pi}{12}$

$y(\frac{\pi}{12}) = \cos(\frac{\pi}{6}) + \frac{\pi}{12} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\pi}{12}$

$y(\frac{5\pi}{12}) = \cos(\frac{5\pi}{6}) + \frac{5\pi}{12} = -\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{5\pi}{12}$

4. Сравниваем значения. $\pi \approx 3.1416, \sqrt{3} \approx 1.732$.

$y(-\pi) = 1 - \pi \approx 1 - 3.1416 = -2.1416$

$y(\pi) = 1 + \pi \approx 1 + 3.1416 = 4.1416$

$y(-\frac{11\pi}{12}) = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{11\pi}{12} \approx 0.866 - 2.88 = -2.014$

$y(-\frac{7\pi}{12}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{7\pi}{12} \approx -0.866 - 1.833 = -2.699$

$y(\frac{\pi}{12}) = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\pi}{12} \approx 0.866 + 0.262 = 1.128$

$y(\frac{5\pi}{12}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{5\pi}{12} \approx -0.866 + 1.309 = 0.443$

Сравнив все значения, видим, что наибольшее значение $y_{max} = 1 + \pi$, а наименьшее $y_{min} = -\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{7\pi}{12}$.

Ответ: наименьшее значение функции $y_{min} = y(-\frac{7\pi}{12}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{7\pi}{12}$, наибольшее значение функции $y_{max} = y(\pi) = 1 + \pi$.

5.9* a) $y = e^{x^2} - ex^2$, $[-e; e]$

Б) $y = e^{x^2 - 2x}$, $[-\pi, \pi]$

В) $y = \frac{\ln x}{x}$, $(0; \pi]$

Г) $y = \frac{e^x}{1 + x}$, $(-1; \pi]$

а) $y = e^x x^2 - ex^2$, $[-e; e]$

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке, найдем ее значения в критических точках, принадлежащих этому отрезку, и на концах отрезка. Наибольшее из этих значений будет наибольшим значением функции, а наименьшее — наименьшим.

1. Найдем производную функции. Удобнее представить функцию в виде $y = x^2(e^x - e)$.

Используя правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$, получаем:

$y' = (x^2)'(e^x - e) + x^2(e^x - e)' = 2x(e^x - e) + x^2(e^x) = 2xe^x - 2ex + x^2e^x = x(xe^x + 2e^x - 2e)$.

2. Найдем критические точки, решив уравнение $y' = 0$:

$x(e^x(x+2) - 2e) = 0$.

Отсюда следует, что либо $x=0$, либо $e^x(x+2) - 2e = 0$.

Первая критическая точка: $x_1 = 0$. Эта точка принадлежит отрезку $[-e; e]$.

Рассмотрим второе уравнение: $e^x(x+2) = 2e$. Пусть $g(x) = e^x(x+2)$. Заметим, что $g(0) = e^0(0+2) = 2$, а $g(1) = e^1(1+2) = 3e$. Так как $2e \approx 5.436$, то $g(0) < 2e < g(1)$. Поскольку функция $g(x)$ непрерывна, существует корень $x_2$ этого уравнения на интервале $(0, 1)$. Эта точка также принадлежит отрезку $[-e; e]$.

3. Определим знак производной на интервалах. Знак $y'$ совпадает со знаком выражения $x(e^x(x+2) - 2e)$.

• При $x \in [-e, 0)$: $x < 0$. Для $g(x)=e^x(x+2)$, ее производная $g'(x) = e^x(x+3)$ положительна на $[-e, 0)$, значит $g(x)$ возрастает. $g(-e) = e^{-e}(-e+2) < 2e$. Значит, $g(x)-2e < 0$. Тогда $y' = (\text{отр.}) \cdot (\text{отр.}) > 0$, функция возрастает.

• При $x \in (0, x_2)$: $x > 0$ и $g(x) < 2e$, поэтому $g(x)-2e < 0$. Тогда $y' = (\text{пол.}) \cdot (\text{отр.}) < 0$, функция убывает.

• При $x \in (x_2, e]$: $x > 0$ и $g(x) > 2e$, поэтому $g(x)-2e > 0$. Тогда $y' = (\text{пол.}) \cdot (\text{пол.}) > 0$, функция возрастает.

Следовательно, в точке $x=0$ находится локальный максимум, а в точке $x=x_2$ — локальный минимум.

4. Вычислим значения функции в критических точках и на концах отрезка:

$y(0) = 0^2(e^0 - e) = 0$.

$y(-e) = (-e)^2(e^{-e} - e) = e^2(e^{-e} - e) = e^{2-e} - e^3$.

$y(e) = e^2(e^e - e) = e^{e+2} - e^3$.

Значение в точке $x_2$ является локальным минимумом и оно будет отрицательным, но так как $x_2 \in (0,1)$, это значение по модулю невелико. $y(x_2) = x_2^2(e^{x_2}-e)$.

5. Сравним полученные значения. Так как $e \approx 2.718$, то $e+2 \approx 4.718$, и $y(e) = e^{e+2} - e^3$ — большое положительное число. Это очевидно наибольшее значение.

Сравним $y(-e)$ и $y(0)$. $y(-e) = e^{2-e} - e^3 \approx e^{-0.718} - (2.718)^3 \approx 0.488 - 20.08 = -19.59$. Это значение отрицательно и значительно меньше нуля. Также оно меньше, чем локальный минимум $y(x_2)$, который близок к нулю. Следовательно, $y(-e)$ — наименьшее значение.

Ответ: наибольшее значение функции $y_{наиб} = e^{e+2} - e^3$, наименьшее значение функции $y_{наим} = e^{2-e} - e^3$.

б) $y = e^{x^2-2x}$, $[-\pi, \pi]$

1. Найдем производную функции, используя правило дифференцирования сложной функции: $(e^u)'=e^u \cdot u'$.

$y' = (e^{x^2-2x})' = e^{x^2-2x} \cdot (x^2-2x)' = e^{x^2-2x} \cdot (2x - 2)$.

2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $y' = 0$.

$e^{x^2-2x} \cdot (2x - 2) = 0$.

Так как множитель $e^{x^2-2x}$ всегда положителен, то уравнение сводится к $2x - 2 = 0$, откуда $x = 1$.

3. Критическая точка $x=1$ принадлежит заданному отрезку $[-\pi, \pi]$, так как $-\pi \approx -3.14$ и $\pi \approx 3.14$.

4. Вычислим значения функции в критической точке $x=1$ и на концах отрезка $x=-\pi$ и $x=\pi$:

$y(1) = e^{1^2 - 2 \cdot 1} = e^{1-2} = e^{-1} = \frac{1}{e}$.

$y(-\pi) = e^{(-\pi)^2 - 2(-\pi)} = e^{\pi^2 + 2\pi}$.

$y(\pi) = e^{\pi^2 - 2\pi}$.

5. Сравним полученные значения. Поскольку функция $f(t)=e^t$ является возрастающей, для сравнения значений достаточно сравнить показатели степени: $-1$, $\pi^2+2\pi$ и $\pi^2-2\pi$.

Поскольку $\pi > 1$, то $\pi^2 > 1$. Также $\pi^2-2\pi = \pi(\pi-2) > 0$.
$-1 < \pi^2-2\pi < \pi^2+2\pi$.

Наименьший показатель степени равен $-1$, следовательно, наименьшее значение функции $y_{наим} = y(1) = e^{-1}$.

Наибольший показатель степени равен $\pi^2 + 2\pi$, следовательно, наибольшее значение функции $y_{наиб} = y(-\pi) = e^{\pi^2 + 2\pi}$.

Ответ: наибольшее значение функции $y_{наиб} = e^{\pi^2 + 2\pi}$, наименьшее значение функции $y_{наим} = e^{-1}$.

в) $y = \frac{\ln x}{x}$, $(0; \pi]$

1. Область определения функции $x > 0$. Интервал $(0, \pi]$ входит в область определения.

2. Найдем производную функции, используя правило дифференцирования частного: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

$y' = \frac{(\ln x)' \cdot x - \ln x \cdot (x)'}{x^2} = \frac{\frac{1}{x} \cdot x - \ln x \cdot 1}{x^2} = \frac{1 - \ln x}{x^2}$.

3. Найдем критические точки из условия $y' = 0$:

$\frac{1 - \ln x}{x^2} = 0 \implies 1 - \ln x = 0 \implies \ln x = 1 \implies x = e$.

4. Критическая точка $x=e$ принадлежит интервалу $(0, \pi]$, так как $e \approx 2.718$ и $\pi \approx 3.14$.

5. Исследуем знак производной. Так как $x^2 > 0$, знак $y'$ определяется знаком числителя $1-\ln x$.

• При $0 < x < e$, $\ln x < 1$, $y' > 0$, функция возрастает.

• При $x > e$, $\ln x > 1$, $y' < 0$, функция убывает.

Следовательно, в точке $x=e$ функция достигает максимума.

6. Найдем значение функции в точке максимума $x=e$ и на правом конце интервала $x=\pi$. Также рассмотрим поведение функции на левом конце интервала, найдя предел при $x \to 0^+$.

$y(e) = \frac{\ln e}{e} = \frac{1}{e}$.

$y(\pi) = \frac{\ln \pi}{\pi}$.

$\lim_{x \to 0^+} \frac{\ln x}{x} = \frac{-\infty}{0^+} = -\infty$.

7. Так как функция возрастает до $x=e$ и затем убывает, то $y(e)=\frac{1}{e}$ является наибольшим значением функции на данном интервале. Поскольку предел функции при $x \to 0^+$ равен $-\infty$, функция не ограничена снизу, и наименьшего значения не существует.

Ответ: наибольшее значение функции $y_{наиб} = \frac{1}{e}$, наименьшее значение не существует.

г) $y = \frac{e^x}{1+x}$, $(-1; \pi]$

1. Область определения функции $x \neq -1$. Интервал $(-1, \pi]$ входит в область определения.

2. Найдем производную функции по правилу дифференцирования частного:

$y' = \frac{(e^x)'(1+x) - e^x(1+x)'}{(1+x)^2} = \frac{e^x(1+x) - e^x \cdot 1}{(1+x)^2} = \frac{e^x + xe^x - e^x}{(1+x)^2} = \frac{xe^x}{(1+x)^2}$.

3. Найдем критические точки из условия $y' = 0$:

$\frac{xe^x}{(1+x)^2} = 0$.

Так как $e^x > 0$ и $(1+x)^2 > 0$ на интервале $(-1, \pi]$, то $x=0$.

4. Критическая точка $x=0$ принадлежит интервалу $(-1, \pi]$.

5. Исследуем знак производной. Знак $y'$ определяется знаком множителя $x$.

• При $-1 < x < 0$, $y' < 0$, функция убывает.

• При $x > 0$, $y' > 0$, функция возрастает.

Следовательно, в точке $x=0$ функция достигает минимума.

6. Найдем значение функции в точке минимума $x=0$ и на правом конце интервала $x=\pi$. Также рассмотрим поведение функции на левом конце интервала, найдя предел при $x \to -1^+$.

$y(0) = \frac{e^0}{1+0} = 1$.

$y(\pi) = \frac{e^\pi}{1+\pi}$.

$\lim_{x \to -1^+} \frac{e^x}{1+x} = \frac{e^{-1}}{0^+} = +\infty$.

7. Так как функция убывает до $x=0$ и затем возрастает, то $y(0)=1$ является наименьшим значением функции на данном интервале. Поскольку предел функции при $x \to -1^+$ равен $+\infty$, функция не ограничена сверху, и наибольшего значения не существует.

Ответ: наименьшее значение функции $y_{наим} = 1$, наибольшее значение не существует.

Найдите максимум и минимум функции $y = f(x)$ на указанном отрезке, если (5.10–5.11):

5.10 а) $y = x^3 - 3x^2$, $[-1; 3];$

б) $y = x^3 + 3x$, $[-1; 2];$

в) $y = 2x^3 - 6x^2 + 9$, $[-2; 2];$

г) $y = x^3 - 3x$, $[-2; 3].$

а) $y = x^3 - 3x^2$, $[-1; 3]$

Чтобы найти максимум и минимум функции на отрезке, нужно найти значения функции на концах отрезка и в критических точках, принадлежащих этому отрезку, а затем выбрать из них наибольшее и наименьшее.

1. Найдем производную функции:

$y' = (x^3 - 3x^2)' = 3x^2 - 6x$.

2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

$3x^2 - 6x = 0$

$3x(x - 2) = 0$

Отсюда получаем две критические точки: $x_1 = 0$ и $x_2 = 2$.

3. Обе критические точки принадлежат отрезку $[-1; 3]$.

4. Вычислим значения функции в критических точках и на концах отрезка:

$y(-1) = (-1)^3 - 3(-1)^2 = -1 - 3 = -4$

$y(0) = 0^3 - 3(0)^2 = 0$

$y(2) = 2^3 - 3(2)^2 = 8 - 12 = -4$

$y(3) = 3^3 - 3(3)^2 = 27 - 27 = 0$

5. Сравнивая полученные значения $\{-4, 0, -4, 0\}$, находим, что максимальное значение функции на отрезке равно 0, а минимальное равно -4.

Ответ: $y_{max} = 0$, $y_{min} = -4$.

б) $y = x^3 + 3x$, $[-1; 2]$

1. Найдем производную функции:

$y' = (x^3 + 3x)' = 3x^2 + 3$.

2. Найдем критические точки:

$3x^2 + 3 = 0$

$3x^2 = -3$

$x^2 = -1$

Это уравнение не имеет действительных корней, следовательно, у функции нет критических точек.

3. Вычислим значения функции на концах отрезка $[-1; 2]$:

$y(-1) = (-1)^3 + 3(-1) = -1 - 3 = -4$

$y(2) = 2^3 + 3(2) = 8 + 6 = 14$

4. Так как производная $y' = 3x^2 + 3$ всегда положительна ($y' > 0$), функция является возрастающей на всей числовой прямой. Поэтому наименьшее значение она принимает на левом конце отрезка, а наибольшее — на правом.

Ответ: $y_{max} = 14$, $y_{min} = -4$.

в) $y = 2x^3 - 6x^2 + 9$, $[-2; 2]$

1. Найдем производную функции:

$y' = (2x^3 - 6x^2 + 9)' = 6x^2 - 12x$.

2. Найдем критические точки:

$6x^2 - 12x = 0$

$6x(x - 2) = 0$

Критические точки: $x_1 = 0$ и $x_2 = 2$.

3. Обе критические точки принадлежат отрезку $[-2; 2]$ (точка $x=2$ является его концом).

4. Вычислим значения функции в критических точках и на концах отрезка:

$y(-2) = 2(-2)^3 - 6(-2)^2 + 9 = 2(-8) - 6(4) + 9 = -16 - 24 + 9 = -31$

$y(0) = 2(0)^3 - 6(0)^2 + 9 = 9$

$y(2) = 2(2)^3 - 6(2)^2 + 9 = 2(8) - 6(4) + 9 = 16 - 24 + 9 = 1$

5. Сравнивая полученные значения $\{-31, 9, 1\}$, находим, что максимальное значение равно 9, а минимальное равно -31.

Ответ: $y_{max} = 9$, $y_{min} = -31$.

г) $y = x^3 - 3x$, $[-2; 3]$

1. Найдем производную функции:

$y' = (x^3 - 3x)' = 3x^2 - 3$.

2. Найдем критические точки:

$3x^2 - 3 = 0$

$3(x^2 - 1) = 0$

$x^2 = 1$

Критические точки: $x_1 = -1$ и $x_2 = 1$.

3. Обе критические точки принадлежат отрезку $[-2; 3]$.

4. Вычислим значения функции в критических точках и на концах отрезка:

$y(-2) = (-2)^3 - 3(-2) = -8 + 6 = -2$

$y(-1) = (-1)^3 - 3(-1) = -1 + 3 = 2$

$y(1) = 1^3 - 3(1) = 1 - 3 = -2$

$y(3) = 3^3 - 3(3) = 27 - 9 = 18$

5. Сравнивая полученные значения $\{-2, 2, -2, 18\}$, находим, что максимальное значение равно 18, а минимальное равно -2.

Ответ: $y_{max} = 18$, $y_{min} = -2$.

5.11 a) $y = 2x^3 - x^2$, $[-1; 1];$

B) $y = 2x^3 + 6x^2 + 8$, $[-3; 2];$

б) $y = 2x^3 + x$, $[-1; 1];$

Г) $y = x^3 + 6x$, $[-2; 1].$

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на замкнутом отрезке используется следующий алгоритм:

1. Найти производную функции.
2. Найти критические точки функции, решив уравнение $y' = 0$.
3. Выбрать критические точки, которые принадлежат заданному отрезку.
4. Вычислить значения функции в выбранных критических точках и на концах отрезка.
5. Сравнить полученные значения: самое большое из них будет наибольшим значением функции на отрезке, а самое маленькое — наименьшим.

Найти наибольшее и наименьшее значения функции $y = 2x^3 - x^2$ на отрезке $[-1; 1]$.

1. Находим производную функции:
$y' = (2x^3 - x^2)' = 6x^2 - 2x$.

2. Находим критические точки, решив уравнение $y' = 0$:
$6x^2 - 2x = 0$
$2x(3x - 1) = 0$
Отсюда получаем две критические точки: $x_1 = 0$ и $x_2 = 1/3$.

3. Обе критические точки, $x=0$ и $x=1/3$, принадлежат отрезку $[-1; 1]$.

4. Вычисляем значения функции в критических точках и на концах отрезка:
$y(-1) = 2(-1)^3 - (-1)^2 = -2 - 1 = -3$
$y(0) = 2(0)^3 - (0)^2 = 0$
$y(1/3) = 2(1/3)^3 - (1/3)^2 = 2/27 - 1/9 = 2/27 - 3/27 = -1/27$
$y(1) = 2(1)^3 - (1)^2 = 2 - 1 = 1$

5. Сравниваем полученные значения: $-3, 0, -1/27, 1$.
Наибольшее значение функции $\max_{[-1; 1]} y = 1$.
Наименьшее значение функции $\min_{[-1; 1]} y = -3$.

Ответ: Наибольшее значение функции равно $1$, наименьшее значение функции равно $-3$.

Найти наибольшее и наименьшее значения функции $y = 2x^3 + x$ на отрезке $[-1; 1]$.

1. Находим производную функции:
$y' = (2x^3 + x)' = 6x^2 + 1$.

2. Находим критические точки, решив уравнение $y' = 0$:
$6x^2 + 1 = 0$
$6x^2 = -1$
Данное уравнение не имеет действительных корней, так как $x^2$ не может быть отрицательным. Следовательно, у функции нет критических точек.

3. Поскольку критических точек нет, наибольшее и наименьшее значения функция достигает на концах отрезка. Вычисляем значения функции на концах отрезка $[-1; 1]$:
$y(-1) = 2(-1)^3 + (-1) = -2 - 1 = -3$
$y(1) = 2(1)^3 + 1 = 2 + 1 = 3$

4. Сравнивая значения, получаем:
Наибольшее значение функции $\max_{[-1; 1]} y = 3$.
Наименьшее значение функции $\min_{[-1; 1]} y = -3$.

Ответ: Наибольшее значение функции равно $3$, наименьшее значение функции равно $-3$.

Найти наибольшее и наименьшее значения функции $y = 2x^3 + 6x^2 + 8$ на отрезке $[-3; 2]$.

1. Находим производную функции:
$y' = (2x^3 + 6x^2 + 8)' = 6x^2 + 12x$.

2. Находим критические точки, решив уравнение $y' = 0$:
$6x^2 + 12x = 0$
$6x(x + 2) = 0$
Отсюда получаем две критические точки: $x_1 = 0$ и $x_2 = -2$.

3. Обе критические точки, $x=0$ и $x=-2$, принадлежат отрезку $[-3; 2]$.

4. Вычисляем значения функции в критических точках и на концах отрезка:
$y(-3) = 2(-3)^3 + 6(-3)^2 + 8 = 2(-27) + 6(9) + 8 = -54 + 54 + 8 = 8$
$y(-2) = 2(-2)^3 + 6(-2)^2 + 8 = 2(-8) + 6(4) + 8 = -16 + 24 + 8 = 16$
$y(0) = 2(0)^3 + 6(0)^2 + 8 = 8$
$y(2) = 2(2)^3 + 6(2)^2 + 8 = 2(8) + 6(4) + 8 = 16 + 24 + 8 = 48$

5. Сравниваем полученные значения: $8, 16, 8, 48$.
Наибольшее значение функции $\max_{[-3; 2]} y = 48$.
Наименьшее значение функции $\min_{[-3; 2]} y = 8$.

Ответ: Наибольшее значение функции равно $48$, наименьшее значение функции равно $8$.

Найти наибольшее и наименьшее значения функции $y = x^3 + 6x$ на отрезке $[-2; 1]$.

1. Находим производную функции:
$y' = (x^3 + 6x)' = 3x^2 + 6$.

2. Находим критические точки, решив уравнение $y' = 0$:
$3x^2 + 6 = 0$
$3x^2 = -6$
Данное уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, у функции нет критических точек.

3. Поскольку критических точек нет, наибольшее и наименьшее значения функция достигает на концах отрезка. Вычисляем значения функции на концах отрезка $[-2; 1]$:
$y(-2) = (-2)^3 + 6(-2) = -8 - 12 = -20$
$y(1) = 1^3 + 6(1) = 1 + 6 = 7$

4. Сравнивая значения, получаем:
Наибольшее значение функции $\max_{[-2; 1]} y = 7$.
Наименьшее значение функции $\min_{[-2; 1]} y = -20$.

Ответ: Наибольшее значение функции равно $7$, наименьшее значение функции равно $-20$.

5.12 Найдите критические точки функции:

a) $y = \cos x + \frac{\sqrt{3}}{2}x$;

б) $y = 2 \sin x + \sqrt{2}x.$

Критические точки функции — это внутренние точки области определения, в которых производная функции равна нулю или не существует.

а) Для функции $y = \cos x + \frac{\sqrt{3}}{2}x$ область определения — все действительные числа ($x \in \mathbb{R}$). Найдем её производную:
$y' = (\cos x + \frac{\sqrt{3}}{2}x)' = -\sin x + \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Производная определена на всей числовой оси, поэтому критические точки могут быть только там, где производная равна нулю (стационарные точки). Решим уравнение $y' = 0$:
$-\sin x + \frac{\sqrt{3}}{2} = 0$
$\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$
Общее решение этого тригонометрического уравнения:
$x = (-1)^k \arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
$x = (-1)^k \frac{\pi}{3} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = (-1)^k \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) Для функции $y = 2 \sin x + \sqrt{2}x$ область определения также все действительные числа ($x \in \mathbb{R}$). Найдем её производную:
$y' = (2 \sin x + \sqrt{2}x)' = 2 \cos x + \sqrt{2}$.
Производная определена для всех действительных $x$, поэтому ищем точки, в которых $y'=0$:
$2 \cos x + \sqrt{2} = 0$
$2 \cos x = -\sqrt{2}$
$\cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$
Общее решение этого тригонометрического уравнения:
$x = \pm \arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
$x = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

5.13 Определите наибольшее и наименьшее значения функции:

a) $y = x + \ln(-x)$ на отрезке $[-4; -0,5];

б) $y = x + e^{-x}$ на отрезке $[-\ln 4; \ln 2].

Можно считать, что $\ln 2 \approx 0,7$.

а)

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции $y = x + \ln(-x)$ на отрезке $[-4; -0,5]$, будем следовать стандартному алгоритму исследования функции на отрезке.
1. Находим производную функции.
2. Находим стационарные (критические) точки, в которых производная равна нулю или не существует, и отбираем те, что принадлежат заданному отрезку.
3. Вычисляем значения функции в отобранных критических точках и на концах отрезка.
4. Из полученных значений выбираем наибольшее и наименьшее.

1. Нахождение производной.
Область определения функции задается условием $-x > 0$, то есть $x < 0$. Весь отрезок $[-4; -0,5]$ входит в область определения.
Производная функции $y(x)$ равна:
$y'(x) = (x + \ln(-x))' = 1 + \frac{1}{-x} \cdot (-x)' = 1 + \frac{1}{-x} \cdot (-1) = 1 + \frac{1}{x}$.

2. Нахождение критических точек.
Приравниваем производную к нулю:
$y'(x) = 0 \implies 1 + \frac{1}{x} = 0 \implies \frac{1}{x} = -1 \implies x = -1$.
Производная не существует при $x=0$, но эта точка не входит в область определения функции.
Критическая точка $x = -1$ принадлежит отрезку $[-4; -0,5]$, так как $-4 < -1 < -0,5$.

3. Вычисление значений функции.
Вычислим значения функции в критической точке $x = -1$ и на концах отрезка $x = -4$ и $x = -0,5$.
В критической точке:
$y(-1) = -1 + \ln(-(-1)) = -1 + \ln(1) = -1 + 0 = -1$.
На левом конце отрезка:
$y(-4) = -4 + \ln(-(-4)) = -4 + \ln(4)$.
На правом конце отрезка:
$y(-0,5) = -0,5 + \ln(-(-0,5)) = -0,5 + \ln(0,5) = -0,5 + \ln(2^{-1}) = -0,5 - \ln(2)$.

4. Сравнение значений.
Сравним полученные значения: $-1$, $-4 + \ln(4)$ и $-0,5 - \ln(2)$.
Используем свойство логарифма $\ln(4) = \ln(2^2) = 2\ln(2)$ и данное в условии приближение $\ln 2 \approx 0,7$.
$y(-1) = -1$.
$y(-4) = -4 + 2\ln(2) \approx -4 + 2 \cdot 0,7 = -4 + 1,4 = -2,6$.
$y(-0,5) = -0,5 - \ln(2) \approx -0,5 - 0,7 = -1,2$.
Сравнивая числа $-1$, $-2,6$ и $-1,2$, заключаем, что наибольшее значение – это $-1$, а наименьшее – $-2,6$.
Таким образом, наибольшее значение достигается в точке $x=-1$, а наименьшее – в точке $x=-4$.

Ответ: наибольшее значение функции $y_{наиб.} = -1$, наименьшее значение $y_{наим.} = -4 + \ln(4)$.

б)

Найдем наибольшее и наименьшее значения функции $y = x + e^{-x}$ на отрезке $[-\ln 4; \ln 2]$, используя тот же алгоритм.

1. Нахождение производной.
Область определения функции – все действительные числа ($x \in \mathbb{R}$), поэтому функция определена на всем отрезке.
Производная функции $y(x)$ равна:
$y'(x) = (x + e^{-x})' = 1 + e^{-x} \cdot (-1) = 1 - e^{-x}$.

2. Нахождение критических точек.
Приравниваем производную к нулю:
$y'(x) = 0 \implies 1 - e^{-x} = 0 \implies e^{-x} = 1$.
Так как $e^0 = 1$, то $-x = 0$, откуда $x = 0$.
Проверим, принадлежит ли точка $x = 0$ отрезку $[-\ln 4; \ln 2]$.
Поскольку $4 > 1$, то $\ln 4 > \ln 1 = 0$, значит $-\ln 4 < 0$.
Поскольку $2 > 1$, то $\ln 2 > \ln 1 = 0$.
Таким образом, $-\ln 4 < 0 < \ln 2$, и точка $x=0$ принадлежит заданному отрезку.

3. Вычисление значений функции.
Вычислим значения функции в критической точке $x=0$ и на концах отрезка $x = -\ln 4$ и $x = \ln 2$.
В критической точке:
$y(0) = 0 + e^{-0} = 0 + 1 = 1$.
На левом конце отрезка:
$y(-\ln 4) = -\ln 4 + e^{-(-\ln 4)} = -\ln 4 + e^{\ln 4} = 4 - \ln 4$.
На правом конце отрезка:
$y(\ln 2) = \ln 2 + e^{-\ln 2} = \ln 2 + e^{\ln(2^{-1})} = \ln 2 + \frac{1}{2} = \ln 2 + 0,5$.

4. Сравнение значений.
Сравним полученные значения: $1$, $4 - \ln 4$ и $\ln 2 + 0,5$.
Используем приближения $\ln 2 \approx 0,7$ и $\ln 4 = 2\ln 2 \approx 1,4$.
$y(0) = 1$.
$y(-\ln 4) = 4 - \ln 4 \approx 4 - 1,4 = 2,6$.
$y(\ln 2) = \ln 2 + 0,5 \approx 0,7 + 0,5 = 1,2$.
Сравнивая числа $1$, $2,6$ и $1,2$, заключаем, что наибольшее значение – это $2,6$, а наименьшее – $1$.
Таким образом, наибольшее значение достигается в точке $x=-\ln 4$, а наименьшее – в точке $x=0$.

Ответ: наибольшее значение функции $y_{наиб.} = 4 - \ln 4$, наименьшее значение $y_{наим.} = 1$.

5.14* Найдите максимум и минимум функции $y = \frac{x^4}{4} - 2x^2$ на:

а) отрезке [-2; 2];

б) интервале (-2; 2);

в) полуинтервале (-2; 2];

г) полуинтервале [-2; 2).

Для нахождения максимума и минимума функции $y = \frac{x^4}{4} - 2x^2$ на заданных промежутках, сначала найдем ее производную и критические точки.

1. Находим производную функции:

$y'(x) = (\frac{x^4}{4} - 2x^2)' = \frac{1}{4} \cdot 4x^3 - 2 \cdot 2x = x^3 - 4x$.

2. Находим критические точки, приравняв производную к нулю:

$y'(x) = 0 \Rightarrow x^3 - 4x = 0$

$x(x^2 - 4) = 0$

$x(x-2)(x+2) = 0$

Критические точки: $x_1 = 0$, $x_2 = 2$, $x_3 = -2$.

3. Определим знаки производной на интервалах, чтобы найти промежутки возрастания и убывания функции.

Производная $y'(x) = x(x-2)(x+2)$ меняет знак в точках -2, 0, 2.

• При $x \in (-\infty; -2)$, $y'(x) < 0$, функция убывает.
• При $x \in (-2; 0)$, $y'(x) > 0$, функция возрастает.
• При $x \in (0; 2)$, $y'(x) < 0$, функция убывает.
• При $x \in (2; +\infty)$, $y'(x) > 0$, функция возрастает.

Таким образом, $x=-2$ и $x=2$ являются точками локального минимума, а $x=0$ — точкой локального максимума.

4. Вычислим значения функции в этих критических точках:

$y(0) = \frac{0^4}{4} - 2(0)^2 = 0$

$y(2) = \frac{2^4}{4} - 2(2)^2 = \frac{16}{4} - 8 = 4 - 8 = -4$

$y(-2) = \frac{(-2)^4}{4} - 2(-2)^2 = \frac{16}{4} - 8 = 4 - 8 = -4$

Теперь рассмотрим каждый из заданных промежутков.

а) отрезке [-2; 2]

На отрезке [-2; 2] находятся все три критические точки: -2, 0, 2. Значения функции на концах отрезка (которые совпадают с критическими точками) и в критической точке внутри него: $y(-2) = -4$, $y(2) = -4$, $y(0) = 0$.

Сравнивая эти значения, находим наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.

Максимум функции: $y_{max} = y(0) = 0$.

Минимум функции: $y_{min} = y(-2) = y(2) = -4$.

Ответ: максимум функции равен 0, минимум функции равен -4.

б) интервале (-2; 2)

На открытом интервале (-2; 2) находится одна критическая точка $x=0$. В этой точке функция имеет локальный максимум $y(0)=0$. Поскольку на интервале $(-2; 0)$ функция возрастает, а на $(0; 2)$ убывает, это значение является максимумом на всем интервале $(-2; 2)$.

Для нахождения минимума рассмотрим поведение функции на границах интервала. При $x \to -2^+$ и $x \to 2^-$, значение функции стремится к -4: $\lim_{x \to -2^+} y(x) = -4$ и $\lim_{x \to 2^-} y(x) = -4$. Однако, поскольку точки $x=-2$ и $x=2$ не принадлежат интервалу, значение -4 никогда не достигается. Следовательно, наименьшего значения (минимума) у функции на этом интервале нет.

Ответ: максимум функции равен 0, минимума не существует.

в) полуинтервале (-2; 2]

На полуинтервале (-2; 2] находятся критические точки $x=0$ и $x=2$. Значения функции в этих точках: $y(0)=0$ и $y(2)=-4$.

Максимум функции достигается в точке локального максимума $x=0$ и равен $y(0)=0$.

Минимум функции достигается в точке $x=2$ и равен $y(2)=-4$. Хотя при $x \to -2^+$ функция также стремится к -4, это значение достигается на правом конце рассматриваемого полуинтервала.

Ответ: максимум функции равен 0, минимум функции равен -4.

г) полуинтервале [-2; 2)

На полуинтервале [-2; 2) находятся критические точки $x=-2$ и $x=0$. Значения функции в этих точках: $y(-2)=-4$ и $y(0)=0$.

Максимум функции достигается в точке локального максимума $x=0$ и равен $y(0)=0$.

Минимум функции достигается в точке $x=-2$ и равен $y(-2)=-4$. Хотя при $x \to 2^-$ функция также стремится к -4, это значение достигается на левом конце рассматриваемого полуинтервала.

Ответ: максимум функции равен 0, минимум функции равен -4.

5.15* Найдите максимум и минимум функции $y = \sqrt{|x|}$ на:

а) отрезке $ [-1; 1] $;

б) интервале $ (-1; 1) $;

в) полуинтервале $ [-1; 1) $;

г) полуинтервале $ (-1; 1] $.

Для нахождения максимума и минимума функции $y = \sqrt{|x|}$ на заданных промежутках, исследуем ее поведение. Функция определена для всех $x$, так как подкоренное выражение $|x| \ge 0$ всегда.При $x > 0$ функция имеет вид $y = \sqrt{x}$ и является возрастающей.При $x < 0$ функция имеет вид $y = \sqrt{-x}$ и является убывающей.В точке $x=0$ функция непрерывна, и так как слева от этой точки функция убывает, а справа — возрастает, то $x=0$ является точкой глобального минимума. Значение функции в этой точке: $y(0) = \sqrt{|0|} = 0$.Функция является четной, поскольку $y(-x) = \sqrt{|-x|} = \sqrt{|x|} = y(x)$, ее график симметричен относительно оси Oy.

а) отрезке [-1; 1];

На замкнутом отрезке $[-1; 1]$ непрерывная функция достигает своих наибольшего и наименьшего значений. Для их нахождения нужно проверить значения функции в критических точках внутри отрезка и на его концах. Критическая точка одна: $x=0$. Вычислим значения: $y(0) = 0$, $y(-1) = \sqrt{|-1|} = 1$, $y(1) = \sqrt{|1|} = 1$. Сравнивая эти значения, получаем, что наименьшее значение функции (минимум) равно 0, а наибольшее (максимум) равно 1.

Ответ: минимум функции равен 0 (при $x=0$), максимум равен 1 (при $x=-1$ и $x=1$).

б) интервале (-1; 1);

На открытом интервале $(-1; 1)$ точка минимума $x=0$ принадлежит этому интервалу, поэтому наименьшее значение функции достигается и равно $y(0) = 0$. При приближении $x$ к концам интервала (к -1 и к 1), значения функции $y(x)$ стремятся к 1, но никогда его не достигают, поскольку точки $x=-1$ и $x=1$ не принадлежат интервалу. Следовательно, точную верхнюю грань (супремум), равную 1, функция не достигает, и максимума на данном интервале не существует.

Ответ: минимум функции равен 0 (при $x=0$), максимума не существует.

в) полуинтервале [-1; 1);

На полуинтервале $[-1; 1)$ точка минимума $x=0$ принадлежит этому промежутку, поэтому наименьшее значение функции равно $y(0)=0$. Для нахождения максимума сравним значение функции на включенной границе $x=-1$ и поведение функции у невключенной границы. Значение на границе: $y(-1) = \sqrt{|-1|} = 1$. При $x \to 1^-$, значения $y(x)$ стремятся к 1. Поскольку значение 1 достигается в точке $x=-1$, а все другие значения функции на промежутке не больше 1, то максимум функции равен 1.

Ответ: минимум функции равен 0 (при $x=0$), максимум равен 1 (при $x=-1$).

г) полуинтервале (-1; 1].

На полуинтервале $(-1; 1]$ рассуждения аналогичны. Точка минимума $x=0$ принадлежит промежутку, следовательно, наименьшее значение функции равно $y(0)=0$. Для нахождения максимума сравним значение функции на включенной границе $x=1$ и поведение у невключенной границы $x=-1$. Значение на границе: $y(1) = \sqrt{|1|} = 1$. При $x \to -1^+$, значения $y(x)$ стремятся к 1. Так как значение 1 достигается в точке $x=1$, а все другие значения функции на промежутке не больше 1, то максимум функции равен 1.

Ответ: минимум функции равен 0 (при $x=0$), максимум равен 1 (при $x=1$).