Номер 5.8, страница 120 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 5. Применение производной. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 5.8, страница 120.

Условие.

5.8 a) $y = e^x - x$, [-3; 2];

В) $y = \sin 2x - x$, $[-\pi, \pi];

Б) $y = e^x - xe$, [-2; 2];

Г) $y = \cos 2x + x$, $[-\pi, \pi].

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) $y = e^x - x$, на отрезке $[-3; 2]$

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке необходимо найти ее значения в критических точках, принадлежащих этому отрезку, и на его концах, а затем сравнить их.

1. Находим производную функции:

$y' = (e^x - x)' = e^x - 1$

2. Находим критические точки, решая уравнение $y' = 0$:

$e^x - 1 = 0 \implies e^x = 1 \implies x = 0$

Критическая точка $x=0$ принадлежит отрезку $[-3; 2]$.

3. Вычисляем значения функции в критической точке $x=0$ и на концах отрезка $x=-3$ и $x=2$:

$y(0) = e^0 - 0 = 1$

$y(-3) = e^{-3} - (-3) = e^{-3} + 3 = \frac{1}{e^3} + 3$

$y(2) = e^2 - 2$

4. Сравниваем полученные значения. Используя приближенное значение $e \approx 2.718$:

$y(0) = 1$

$y(-3) = \frac{1}{e^3} + 3 \approx \frac{1}{20.086} + 3 \approx 3.05$

$y(2) = e^2 - 2 \approx (2.718)^2 - 2 \approx 7.389 - 2 = 5.389$

Сравнивая значения $1$, $3.05$ и $5.389$, видим, что наименьшее значение равно $1$, а наибольшее $e^2 - 2$.

Ответ: наименьшее значение функции $y_{min} = y(0) = 1$, наибольшее значение функции $y_{max} = y(2) = e^2 - 2$.

---

б) $y = e^x - xe$, на отрезке $[-2; 2]$

1. Находим производную функции (помним, что $e$ - это константа):

$y' = (e^x - xe)' = e^x - e$

2. Находим критические точки, решая уравнение $y' = 0$:

$e^x - e = 0 \implies e^x = e \implies x = 1$

Критическая точка $x=1$ принадлежит отрезку $[-2; 2]$.

3. Вычисляем значения функции в критической точке $x=1$ и на концах отрезка $x=-2$ и $x=2$:

$y(1) = e^1 - 1 \cdot e = e - e = 0$

$y(-2) = e^{-2} - (-2)e = e^{-2} + 2e = \frac{1}{e^2} + 2e$

$y(2) = e^2 - 2e$

4. Сравниваем полученные значения:

$y(1) = 0$

$y(-2) = \frac{1}{e^2} + 2e \approx \frac{1}{7.389} + 2 \cdot 2.718 \approx 0.135 + 5.436 = 5.571$

$y(2) = e^2 - 2e = e(e-2) \approx 2.718(0.718) \approx 1.952$

Сравнивая значения $0$, $5.571$ и $1.952$, видим, что наименьшее значение равно $0$, а наибольшее $e^{-2} + 2e$.

Ответ: наименьшее значение функции $y_{min} = y(1) = 0$, наибольшее значение функции $y_{max} = y(-2) = e^{-2} + 2e$.

---

в) $y = \sin 2x - x$, на отрезке $[-\pi; \pi]$

1. Находим производную функции:

$y' = (\sin 2x - x)' = 2\cos 2x - 1$

2. Находим критические точки, решая уравнение $y' = 0$:

$2\cos 2x - 1 = 0 \implies \cos 2x = \frac{1}{2}$

Общее решение: $2x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k \implies x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k$ - целое число.

Выберем критические точки, принадлежащие отрезку $[-\pi; \pi]$:

Для $k=0: x = \frac{\pi}{6}$ и $x = -\frac{\pi}{6}$.

Для $k=1: x = -\frac{\pi}{6} + \pi = \frac{5\pi}{6}$.

Для $k=-1: x = \frac{\pi}{6} - \pi = -\frac{5\pi}{6}$.

Итак, критические точки в заданном интервале: $-\frac{5\pi}{6}, -\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$.

3. Вычисляем значения функции в критических точках и на концах отрезка:

$y(-\pi) = \sin(-2\pi) - (-\pi) = 0 + \pi = \pi$

$y(\pi) = \sin(2\pi) - \pi = 0 - \pi = -\pi$

$y(-\frac{5\pi}{6}) = \sin(2 \cdot (-\frac{5\pi}{6})) + \frac{5\pi}{6} = \sin(-\frac{5\pi}{3}) + \frac{5\pi}{6} = \sin(\frac{\pi}{3}) + \frac{5\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{5\pi}{6}$

$y(-\frac{\pi}{6}) = \sin(2 \cdot (-\frac{\pi}{6})) + \frac{\pi}{6} = \sin(-\frac{\pi}{3}) + \frac{\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\pi}{6}$

$y(\frac{\pi}{6}) = \sin(2 \cdot \frac{\pi}{6}) - \frac{\pi}{6} = \sin(\frac{\pi}{3}) - \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\pi}{6}$

$y(\frac{5\pi}{6}) = \sin(2 \cdot \frac{5\pi}{6}) - \frac{5\pi}{6} = \sin(\frac{5\pi}{3}) - \frac{5\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{5\pi}{6}$

4. Сравниваем значения. $\pi \approx 3.1416, \sqrt{3} \approx 1.732$.

$y(-\pi) = \pi \approx 3.1416$

$y(\pi) = -\pi \approx -3.1416$

$y(-\frac{5\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{5\pi}{6} \approx 0.866 + 2.618 = 3.484$

$y(\frac{5\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{5\pi}{6} \approx -0.866 - 2.618 = -3.484$

Сравнив все значения, видим, что наибольшее значение $y_{max} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{5\pi}{6}$, а наименьшее $y_{min} = -\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{5\pi}{6}$.

Ответ: наименьшее значение функции $y_{min} = y(\frac{5\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{5\pi}{6}$, наибольшее значение функции $y_{max} = y(-\frac{5\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{5\pi}{6}$.

---

г) $y = \cos 2x + x$, на отрезке $[-\pi; \pi]$

1. Находим производную функции:

$y' = (\cos 2x + x)' = -2\sin 2x + 1$

2. Находим критические точки, решая уравнение $y' = 0$:

$1 - 2\sin 2x = 0 \implies \sin 2x = \frac{1}{2}$

Общие решения: $2x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$ и $2x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k \implies x = \frac{\pi}{12} + \pi k$ и $x = \frac{5\pi}{12} + \pi k$, где $k$ - целое число.

Выберем критические точки, принадлежащие отрезку $[-\pi; \pi]$:

Для $k=0: x = \frac{\pi}{12}$ и $x = \frac{5\pi}{12}$.

Для $k=-1: x = \frac{\pi}{12} - \pi = -\frac{11\pi}{12}$ и $x = \frac{5\pi}{12} - \pi = -\frac{7\pi}{12}$.

Итак, критические точки: $-\frac{11\pi}{12}, -\frac{7\pi}{12}, \frac{\pi}{12}, \frac{5\pi}{12}$.

3. Вычисляем значения функции в критических точках и на концах отрезка:

$y(-\pi) = \cos(-2\pi) - \pi = 1 - \pi$

$y(\pi) = \cos(2\pi) + \pi = 1 + \pi$

$y(-\frac{11\pi}{12}) = \cos(-\frac{11\pi}{6}) - \frac{11\pi}{12} = \cos(\frac{\pi}{6}) - \frac{11\pi}{12} = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{11\pi}{12}$

$y(-\frac{7\pi}{12}) = \cos(-\frac{7\pi}{6}) - \frac{7\pi}{12} = \cos(\frac{5\pi}{6}) - \frac{7\pi}{12} = -\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{7\pi}{12}$

$y(\frac{\pi}{12}) = \cos(\frac{\pi}{6}) + \frac{\pi}{12} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\pi}{12}$

$y(\frac{5\pi}{12}) = \cos(\frac{5\pi}{6}) + \frac{5\pi}{12} = -\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{5\pi}{12}$

4. Сравниваем значения. $\pi \approx 3.1416, \sqrt{3} \approx 1.732$.

$y(-\pi) = 1 - \pi \approx 1 - 3.1416 = -2.1416$

$y(\pi) = 1 + \pi \approx 1 + 3.1416 = 4.1416$

$y(-\frac{11\pi}{12}) = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{11\pi}{12} \approx 0.866 - 2.88 = -2.014$

$y(-\frac{7\pi}{12}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{7\pi}{12} \approx -0.866 - 1.833 = -2.699$

$y(\frac{\pi}{12}) = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\pi}{12} \approx 0.866 + 0.262 = 1.128$

$y(\frac{5\pi}{12}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{5\pi}{12} \approx -0.866 + 1.309 = 0.443$

Сравнив все значения, видим, что наибольшее значение $y_{max} = 1 + \pi$, а наименьшее $y_{min} = -\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{7\pi}{12}$.

Ответ: наименьшее значение функции $y_{min} = y(-\frac{7\pi}{12}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{7\pi}{12}$, наибольшее значение функции $y_{max} = y(\pi) = 1 + \pi$.