Номер 5.2, страница 119 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 5. Применение производной. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 5.2, страница 119.

Условие.

5.2 Функция $y = f(x)$ определена на отрезке $[-4; 4]$, её график изображён на рисунке 102, а, б. Найдите критические точки функции на отрезке $[-4; 4]$. В каких из них производная функции равна нулю; в каких не существует?

а)

б)

Рис. 102

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Критические точки функции — это внутренние точки её области определения (в данном случае, точки на интервале $(-4; 4)$), в которых производная функции равна нулю или не существует.

а)

Анализируем график функции на рисунке 102, а.

Точки, в которых производная равна нулю ($f'(x)=0$), соответствуют точкам на графике, где касательная горизонтальна. Это точки локальных экстремумов (минимумов и максимумов). По графику находим три такие точки: $x = -2$ (локальный минимум), $x = 1$ (локальный максимум) и $x = 3$ (локальный минимум).

Точек, в которых производная не существует, на интервале $(-4; 4)$ нет, так как график представляет собой гладкую кривую без изломов и заострений.

Таким образом, критическими точками являются $x = -2, x = 1, x = 3$.

Ответ: Критические точки: -2, 1, 3. Во всех этих точках производная равна нулю.

б)

Анализируем график функции на рисунке 102, б.

Точки, в которых производная равна нулю ($f'(x)=0$), это точки с горизонтальной касательной. На графике это точки локальных минимумов $x = 1$ и $x = 3$.

Точки, в которых производная не существует, соответствуют точкам излома ("острым пикам") на графике. Это точки $x = -1$ и $x = 2$.

Таким образом, критическими точками являются $x = -1, x = 1, x = 2, x = 3$.

Ответ: Критические точки: -1, 1, 2, 3. В точках $x=1$ и $x=3$ производная равна нулю. В точках $x=-1$ и $x=2$ производная не существует.