Номер 4.71, страница 114 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Функции. Производные. Интегралы. Параграф 4. Производная - номер 4.71, страница 114.

Условие.

4.71 Вычислите производную функции $y=f(x)$, используя производную обратной к ней функции $x=\varphi(y)$:

а) $y=\sqrt{x}$, $x \in (0;+\infty)$ и $x=y^2$, $y \in (0;+\infty);$

б) $y=-\sqrt{x}$, $x \in (0;+\infty)$ и $x=y^2$, $y \in (-\infty; 0);$

в) $y=\ln x$, $x \in (0;+\infty)$ и $x=e^y$, $y \in \mathbf{R}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для вычисления производной функции $y = f(x)$ с использованием производной обратной к ней функции $x = \phi(y)$, воспользуемся формулой производной обратной функции:

$f'(x) = \frac{1}{\phi'(y)}$

где $f'(x)$ — производная исходной функции по $x$, а $\phi'(y)$ — производная обратной функции по $y$.

а) $y = \sqrt{x}, x \in (0; +\infty)$ и $x = y^2, y \in (0; +\infty)$

1. Находим производную обратной функции $x = \phi(y) = y^2$ по переменной $y$:

$\phi'(y) = \frac{dx}{dy} = (y^2)' = 2y$

2. Применяем формулу для производной исходной функции:

$f'(x) = \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\phi'(y)} = \frac{1}{2y}$

3. Выражаем полученный результат через $x$. Так как по условию $y = \sqrt{x}$, подставляем это в наше выражение для производной:

$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

Ответ: $(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

б) $y = -\sqrt{x}, x \in (0; +\infty)$ и $x = y^2, y \in (-\infty; 0)$

1. Обратная функция здесь та же, что и в пункте а): $x = \phi(y) = y^2$. Её производная по $y$ также равна:

$\phi'(y) = \frac{dx}{dy} = (y^2)' = 2y$

2. Применяем формулу для производной обратной функции:

$f'(x) = \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\phi'(y)} = \frac{1}{2y}$

3. Выражаем результат через $x$. В данном случае $y = -\sqrt{x}$. Подставляем это значение:

$f'(x) = \frac{1}{2(-\sqrt{x})} = -\frac{1}{2\sqrt{x}}$

Ответ: $(-\sqrt{x})' = -\frac{1}{2\sqrt{x}}$

в) $y = \ln x, x \in (0; +\infty)$ и $x = e^y, y \in \mathbb{R}$

1. Находим производную обратной функции $x = \phi(y) = e^y$ по переменной $y$:

$\phi'(y) = \frac{dx}{dy} = (e^y)' = e^y$

2. Воспользуемся формулой производной обратной функции:

$f'(x) = \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\phi'(y)} = \frac{1}{e^y}$

3. Выражаем результат через $x$. Мы знаем, что обратная функция задается как $x = e^y$. Подставим это в выражение для производной:

$f'(x) = \frac{1}{x}$

Ответ: $(\ln x)' = \frac{1}{x}$