Номер 4.71, страница 114 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Серия: мгу - школе
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087641-4
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 4. Производная. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 4.71, страница 114.
№4.71 (с. 114)
Условие. №4.71 (с. 114)
скриншот условия

4.71 Вычислите производную функции $y=f(x)$, используя производную обратной к ней функции $x=\varphi(y)$:
а) $y=\sqrt{x}$, $x \in (0;+\infty)$ и $x=y^2$, $y \in (0;+\infty);$
б) $y=-\sqrt{x}$, $x \in (0;+\infty)$ и $x=y^2$, $y \in (-\infty; 0);$
в) $y=\ln x$, $x \in (0;+\infty)$ и $x=e^y$, $y \in \mathbf{R}.$
Решение 1. №4.71 (с. 114)



Решение 2. №4.71 (с. 114)

Решение 3. №4.71 (с. 114)


Решение 4. №4.71 (с. 114)
Для вычисления производной функции $y = f(x)$ с использованием производной обратной к ней функции $x = \phi(y)$, воспользуемся формулой производной обратной функции:
$f'(x) = \frac{1}{\phi'(y)}$
где $f'(x)$ — производная исходной функции по $x$, а $\phi'(y)$ — производная обратной функции по $y$.
а) $y = \sqrt{x}, x \in (0; +\infty)$ и $x = y^2, y \in (0; +\infty)$
1. Находим производную обратной функции $x = \phi(y) = y^2$ по переменной $y$:
$\phi'(y) = \frac{dx}{dy} = (y^2)' = 2y$
2. Применяем формулу для производной исходной функции:
$f'(x) = \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\phi'(y)} = \frac{1}{2y}$
3. Выражаем полученный результат через $x$. Так как по условию $y = \sqrt{x}$, подставляем это в наше выражение для производной:
$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$
Ответ: $(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$
б) $y = -\sqrt{x}, x \in (0; +\infty)$ и $x = y^2, y \in (-\infty; 0)$
1. Обратная функция здесь та же, что и в пункте а): $x = \phi(y) = y^2$. Её производная по $y$ также равна:
$\phi'(y) = \frac{dx}{dy} = (y^2)' = 2y$
2. Применяем формулу для производной обратной функции:
$f'(x) = \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\phi'(y)} = \frac{1}{2y}$
3. Выражаем результат через $x$. В данном случае $y = -\sqrt{x}$. Подставляем это значение:
$f'(x) = \frac{1}{2(-\sqrt{x})} = -\frac{1}{2\sqrt{x}}$
Ответ: $(-\sqrt{x})' = -\frac{1}{2\sqrt{x}}$
в) $y = \ln x, x \in (0; +\infty)$ и $x = e^y, y \in \mathbb{R}$
1. Находим производную обратной функции $x = \phi(y) = e^y$ по переменной $y$:
$\phi'(y) = \frac{dx}{dy} = (e^y)' = e^y$
2. Воспользуемся формулой производной обратной функции:
$f'(x) = \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\phi'(y)} = \frac{1}{e^y}$
3. Выражаем результат через $x$. Мы знаем, что обратная функция задается как $x = e^y$. Подставим это в выражение для производной:
$f'(x) = \frac{1}{x}$
Ответ: $(\ln x)' = \frac{1}{x}$
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 4.71 расположенного на странице 114 к учебнику серии мгу - школе 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №4.71 (с. 114), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.