Номер 4.65, страница 111 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Функции. Производные. Интегралы. Параграф 4. Производная - номер 4.65, страница 111.

Условие.

4.65* a) $f(x) = 4 \sin x \cos x;$

б) $f(x) = \cos^2 3x - \sin^2 3x;$

в) $f(x) = \frac{2 \operatorname{tg} 1000x}{1 - \operatorname{tg}^2 1000x};$

г) $f(x) = \sqrt[17]{\sin^2 7x + \cos^2 7x}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а)

Дана функция $f(x) = 4 \sin x \cos x$.
Для упрощения этого выражения воспользуемся формулой синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2 \sin \alpha \cos \alpha$.
Представим исходную функцию в виде: $f(x) = 2 \cdot (2 \sin x \cos x)$.
Применяя формулу синуса двойного угла, где $\alpha = x$, получаем: $f(x) = 2 \sin(2x)$.
Ответ: $f(x) = 2 \sin(2x)$.

б)

Дана функция $f(x) = \cos^2 3x - \sin^2 3x$.
Это выражение соответствует формуле косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha$.
В данном случае аргумент $\alpha = 3x$.
Следовательно, двойной угол будет равен $2\alpha = 2 \cdot (3x) = 6x$.
Применив формулу, мы упрощаем функцию: $f(x) = \cos(6x)$.
Ответ: $f(x) = \cos(6x)$.

в)

Дана функция $f(x) = \frac{2 \tg 1000x}{1 - \tg^2 1000x}$.
Это выражение является формулой тангенса двойного угла: $\tg(2\alpha) = \frac{2 \tg \alpha}{1 - \tg^2 \alpha}$.
Здесь аргумент $\alpha = 1000x$.
Тогда двойной угол равен $2\alpha = 2 \cdot (1000x) = 2000x$.
Подставляя в формулу, получаем упрощенный вид функции: $f(x) = \tg(2000x)$.
Ответ: $f(x) = \tg(2000x)$.

г)

Дана функция $f(x) = \sqrt[17]{\sin^2 7x + \cos^2 7x}$.
Выражение под корнем, $\sin^2 7x + \cos^2 7x$, представляет собой основное тригонометрическое тождество: $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$.
В нашем случае $\alpha = 7x$, поэтому $\sin^2 7x + \cos^2 7x = 1$ для любого значения $x$.
Таким образом, функция упрощается до: $f(x) = \sqrt[17]{1}$.
Корень 17-й степени из единицы равен единице.
$f(x) = 1$.
Ответ: $f(x) = 1$.