Номер 4.62, страница 111 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Серия: мгу - школе
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087641-4
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 4. Производная. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 4.62, страница 111.
№4.62 (с. 111)
Условие. №4.62 (с. 111)
скриншот условия

Укажите, при каких значениях x функция $f(x)$ имеет производную, и найдите эту производную, если (4.62—4.65):
4.62 a) $f(x) = x^{0.5}$;
б) $f(x) = x^{-0.5}$;
в) $f(x) = x^{4.2}$;
г) $f(x) = x^{-0.2}$;
д) $f(x) = x^{\frac{4}{3}}$;
е) $f(x) = x^{\frac{13}{3}}$;
ж) $f(x) = x^{-3.5}$;
з) $f(x) = x^{\frac{16}{3}}$.
Решение 1. №4.62 (с. 111)








Решение 2. №4.62 (с. 111)

Решение 4. №4.62 (с. 111)
а)
Функция $f(x) = x^{0,5}$ (или $f(x) = \sqrt{x}$) определена при $x \ge 0$.
Для нахождения производной используем формулу производной степенной функции $(x^a)' = ax^{a-1}$:
$f'(x) = (x^{0,5})' = 0,5 \cdot x^{0,5 - 1} = 0,5x^{-0,5} = \frac{1}{2x^{0,5}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.
Выражение для производной определено, когда знаменатель не равен нулю, то есть $x \neq 0$. Учитывая область определения исходной функции, получаем, что производная существует при $x > 0$.
Ответ: производная существует при $x > 0$; $f'(x) = 0,5x^{-0,5}$.
б)
Функция $f(x) = x^{-0,5}$ (или $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$) определена при $x > 0$.
Находим производную по формуле $(x^a)' = ax^{a-1}$:
$f'(x) = (x^{-0,5})' = -0,5 \cdot x^{-0,5 - 1} = -0,5x^{-1,5}$.
Область определения производной $f'(x) = -\frac{0,5}{x^{1,5}}$ также $x > 0$. Таким образом, функция имеет производную на всей своей области определения.
Ответ: производная существует при $x > 0$; $f'(x) = -0,5x^{-1,5}$.
в)
Функция $f(x) = x^{4,2}$ определена при $x \ge 0$ (стандартное определение степенной функции с нецелым показателем).
Находим производную по формуле $(x^a)' = ax^{a-1}$:
$f'(x) = (x^{4,2})' = 4,2 \cdot x^{4,2 - 1} = 4,2x^{3,2}$.
Выражение для производной $f'(x)$ определено для всех $x \ge 0$. В частности, при $x=0$ производная существует и равна $f'(0) = 4,2 \cdot 0^{3,2} = 0$.
Ответ: производная существует при $x \ge 0$; $f'(x) = 4,2x^{3,2}$.
г)
Функция $f(x) = x^{-0,2}$ (или $f(x) = \frac{1}{x^{0,2}}$) определена при $x > 0$.
Находим производную по формуле $(x^a)' = ax^{a-1}$:
$f'(x) = (x^{-0,2})' = -0,2 \cdot x^{-0,2 - 1} = -0,2x^{-1,2}$.
Область определения производной $f'(x) = -\frac{0,2}{x^{1,2}}$ есть $x > 0$. Таким образом, функция имеет производную на всей своей области определения.
Ответ: производная существует при $x > 0$; $f'(x) = -0,2x^{-1,2}$.
д)
Функция $f(x) = x^{\frac{4}{3}}$ (или $f(x) = \sqrt[3]{x^4}$) определена для всех действительных чисел $x$, так как знаменатель показателя степени (3) нечетный.
Находим производную по формуле $(x^a)' = ax^{a-1}$:
$f'(x) = (x^{\frac{4}{3}})' = \frac{4}{3} \cdot x^{\frac{4}{3} - 1} = \frac{4}{3}x^{\frac{1}{3}} = \frac{4}{3}\sqrt[3]{x}$.
Производная $f'(x)$ определена для всех действительных чисел $x \in (-\infty, +\infty)$.
Ответ: производная существует при $x \in (-\infty, +\infty)$; $f'(x) = \frac{4}{3}x^{\frac{1}{3}}$.
е)
Функция $f(x) = x^{\frac{13}{3}}$ (или $f(x) = \sqrt[3]{x^{13}}$) определена для всех действительных чисел $x$, так как знаменатель показателя степени (3) нечетный.
Находим производную по формуле $(x^a)' = ax^{a-1}$:
$f'(x) = (x^{\frac{13}{3}})' = \frac{13}{3} \cdot x^{\frac{13}{3} - 1} = \frac{13}{3}x^{\frac{10}{3}}$.
Производная $f'(x) = \frac{13}{3}\sqrt[3]{x^{10}}$ определена для всех действительных чисел $x \in (-\infty, +\infty)$.
Ответ: производная существует при $x \in (-\infty, +\infty)$; $f'(x) = \frac{13}{3}x^{\frac{10}{3}}$.
ж)
Функция $f(x) = x^{-3,5}$ (или $f(x) = \frac{1}{x^{3,5}}$) определена при $x > 0$.
Находим производную по формуле $(x^a)' = ax^{a-1}$:
$f'(x) = (x^{-3,5})' = -3,5 \cdot x^{-3,5 - 1} = -3,5x^{-4,5}$.
Область определения производной $f'(x) = -\frac{3,5}{x^{4,5}}$ есть $x > 0$. Таким образом, функция имеет производную на всей своей области определения.
Ответ: производная существует при $x > 0$; $f'(x) = -3,5x^{-4,5}$.
з)
Функция $f(x) = x^{\frac{16}{3}}$ (или $f(x) = \sqrt[3]{x^{16}}$) определена для всех действительных чисел $x$, так как знаменатель показателя степени (3) нечетный.
Находим производную по формуле $(x^a)' = ax^{a-1}$:
$f'(x) = (x^{\frac{16}{3}})' = \frac{16}{3} \cdot x^{\frac{16}{3} - 1} = \frac{16}{3}x^{\frac{13}{3}}$.
Производная $f'(x) = \frac{16}{3}\sqrt[3]{x^{13}}$ определена для всех действительных чисел $x \in (-\infty, +\infty)$.
Ответ: производная существует при $x \in (-\infty, +\infty)$; $f'(x) = \frac{16}{3}x^{\frac{13}{3}}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 4.62 расположенного на странице 111 к учебнику серии мгу - школе 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №4.62 (с. 111), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.