Номер 4.62, страница 111 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Функции. Производные. Интегралы. Параграф 4. Производная - номер 4.62, страница 111.

Условие.

Укажите, при каких значениях x функция $f(x)$ имеет производную, и найдите эту производную, если (4.62—4.65):

4.62 a) $f(x) = x^{0.5}$;
б) $f(x) = x^{-0.5}$;
в) $f(x) = x^{4.2}$;
г) $f(x) = x^{-0.2}$;
д) $f(x) = x^{\frac{4}{3}}$;
е) $f(x) = x^{\frac{13}{3}}$;
ж) $f(x) = x^{-3.5}$;
з) $f(x) = x^{\frac{16}{3}}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а)

Функция $f(x) = x^{0,5}$ (или $f(x) = \sqrt{x}$) определена при $x \ge 0$.

Для нахождения производной используем формулу производной степенной функции $(x^a)' = ax^{a-1}$:

$f'(x) = (x^{0,5})' = 0,5 \cdot x^{0,5 - 1} = 0,5x^{-0,5} = \frac{1}{2x^{0,5}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

Выражение для производной определено, когда знаменатель не равен нулю, то есть $x \neq 0$. Учитывая область определения исходной функции, получаем, что производная существует при $x > 0$.

Ответ: производная существует при $x > 0$; $f'(x) = 0,5x^{-0,5}$.

б)

Функция $f(x) = x^{-0,5}$ (или $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$) определена при $x > 0$.

Находим производную по формуле $(x^a)' = ax^{a-1}$:

$f'(x) = (x^{-0,5})' = -0,5 \cdot x^{-0,5 - 1} = -0,5x^{-1,5}$.

Область определения производной $f'(x) = -\frac{0,5}{x^{1,5}}$ также $x > 0$. Таким образом, функция имеет производную на всей своей области определения.

Ответ: производная существует при $x > 0$; $f'(x) = -0,5x^{-1,5}$.

в)

Функция $f(x) = x^{4,2}$ определена при $x \ge 0$ (стандартное определение степенной функции с нецелым показателем).

Находим производную по формуле $(x^a)' = ax^{a-1}$:

$f'(x) = (x^{4,2})' = 4,2 \cdot x^{4,2 - 1} = 4,2x^{3,2}$.

Выражение для производной $f'(x)$ определено для всех $x \ge 0$. В частности, при $x=0$ производная существует и равна $f'(0) = 4,2 \cdot 0^{3,2} = 0$.

Ответ: производная существует при $x \ge 0$; $f'(x) = 4,2x^{3,2}$.

г)

Функция $f(x) = x^{-0,2}$ (или $f(x) = \frac{1}{x^{0,2}}$) определена при $x > 0$.

Находим производную по формуле $(x^a)' = ax^{a-1}$:

$f'(x) = (x^{-0,2})' = -0,2 \cdot x^{-0,2 - 1} = -0,2x^{-1,2}$.

Область определения производной $f'(x) = -\frac{0,2}{x^{1,2}}$ есть $x > 0$. Таким образом, функция имеет производную на всей своей области определения.

Ответ: производная существует при $x > 0$; $f'(x) = -0,2x^{-1,2}$.

д)

Функция $f(x) = x^{\frac{4}{3}}$ (или $f(x) = \sqrt[3]{x^4}$) определена для всех действительных чисел $x$, так как знаменатель показателя степени (3) нечетный.

Находим производную по формуле $(x^a)' = ax^{a-1}$:

$f'(x) = (x^{\frac{4}{3}})' = \frac{4}{3} \cdot x^{\frac{4}{3} - 1} = \frac{4}{3}x^{\frac{1}{3}} = \frac{4}{3}\sqrt[3]{x}$.

Производная $f'(x)$ определена для всех действительных чисел $x \in (-\infty, +\infty)$.

Ответ: производная существует при $x \in (-\infty, +\infty)$; $f'(x) = \frac{4}{3}x^{\frac{1}{3}}$.

е)

Функция $f(x) = x^{\frac{13}{3}}$ (или $f(x) = \sqrt[3]{x^{13}}$) определена для всех действительных чисел $x$, так как знаменатель показателя степени (3) нечетный.

Находим производную по формуле $(x^a)' = ax^{a-1}$:

$f'(x) = (x^{\frac{13}{3}})' = \frac{13}{3} \cdot x^{\frac{13}{3} - 1} = \frac{13}{3}x^{\frac{10}{3}}$.

Производная $f'(x) = \frac{13}{3}\sqrt[3]{x^{10}}$ определена для всех действительных чисел $x \in (-\infty, +\infty)$.

Ответ: производная существует при $x \in (-\infty, +\infty)$; $f'(x) = \frac{13}{3}x^{\frac{10}{3}}$.

ж)

Функция $f(x) = x^{-3,5}$ (или $f(x) = \frac{1}{x^{3,5}}$) определена при $x > 0$.

Находим производную по формуле $(x^a)' = ax^{a-1}$:

$f'(x) = (x^{-3,5})' = -3,5 \cdot x^{-3,5 - 1} = -3,5x^{-4,5}$.

Область определения производной $f'(x) = -\frac{3,5}{x^{4,5}}$ есть $x > 0$. Таким образом, функция имеет производную на всей своей области определения.

Ответ: производная существует при $x > 0$; $f'(x) = -3,5x^{-4,5}$.

з)

Функция $f(x) = x^{\frac{16}{3}}$ (или $f(x) = \sqrt[3]{x^{16}}$) определена для всех действительных чисел $x$, так как знаменатель показателя степени (3) нечетный.

Находим производную по формуле $(x^a)' = ax^{a-1}$:

$f'(x) = (x^{\frac{16}{3}})' = \frac{16}{3} \cdot x^{\frac{16}{3} - 1} = \frac{16}{3}x^{\frac{13}{3}}$.

Производная $f'(x) = \frac{16}{3}\sqrt[3]{x^{13}}$ определена для всех действительных чисел $x \in (-\infty, +\infty)$.

Ответ: производная существует при $x \in (-\infty, +\infty)$; $f'(x) = \frac{16}{3}x^{\frac{13}{3}}$.