Номер 4.69, страница 111 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Функции. Производные. Интегралы. Параграф 4. Производная - номер 4.69, страница 111.

Условие.

4.69 Докажите, что графики функций $f(x) = e^x$ и $\varphi(x) = x^e$ $(x > 0)$ в точке с абсциссой $x = e$ имеют общую касательную.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Чтобы доказать, что графики двух функций $f(x)$ и $\phi(x)$ имеют общую касательную в точке с абсциссой $x_0$, необходимо показать, что в этой точке одновременно выполняются два условия:

1. Значения функций в этой точке равны: $f(x_0) = \phi(x_0)$. Это означает, что графики проходят через одну и ту же точку.

2. Значения производных функций в этой точке также равны: $f'(x_0) = \phi'(x_0)$. Это означает, что угловые коэффициенты (наклоны) касательных к графикам в этой точке совпадают.

Если оба условия выполнены, то касательные к графикам в точке $(x_0, f(x_0))$ совпадают, то есть являются одной и той же прямой. Проверим эти условия для функций $f(x) = e^x$ и $\phi(x) = x^e$ в точке с абсциссой $x_0 = e$.

1. Проверка равенства значений функций в точке $x = e$

Вычислим значение функции $f(x)$ в точке $x = e$:
$f(e) = e^e$.

Вычислим значение функции $\phi(x)$ в точке $x = e$:
$\phi(e) = e^e$.

Поскольку $f(e) = \phi(e) = e^e$, первое условие выполнено. Это значит, что оба графика проходят через общую точку с координатами $(e, e^e)$.

2. Проверка равенства значений производных в точке $x = e$

Сначала найдем производные данных функций.

Производная функции $f(x) = e^x$ равна:
$f'(x) = (e^x)' = e^x$.

Производная функции $\phi(x) = x^e$ (степенная функция, так как $e$ — константа) равна:
$\phi'(x) = (x^e)' = e \cdot x^{e-1}$.

Теперь вычислим значения этих производных в точке $x = e$.

$f'(e) = e^e$.

$\phi'(e) = e \cdot e^{e-1} = e^1 \cdot e^{e-1} = e^{1 + (e-1)} = e^e$.

Поскольку $f'(e) = \phi'(e) = e^e$, второе условие также выполнено. Это означает, что наклоны касательных к обоим графикам в точке $(e, e^e)$ одинаковы.

Так как в точке с абсциссой $x=e$ значения функций и их производных совпадают, то графики функций $f(x)=e^x$ и $\phi(x)=x^e$ имеют общую касательную в этой точке. Что и требовалось доказать.

Ответ: Так как $f(e) = \phi(e) = e^e$ и $f'(e) = \phi'(e) = e^e$, то графики функций имеют общую точку $(e, e^e)$ и одинаковый наклон касательной в этой точке, следовательно, у них есть общая касательная. Утверждение доказано.