Номер 5.3, страница 119 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 5. Применение производной. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 5.3, страница 119.

Условие.

5.3 В задании 5.2 укажите:

а) точки максимума и минимума;

б) точки локального экстремума;

в) максимум и минимум;

г) локальные экстремумы.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Поскольку в условии не приведено задание 5.2, для ответа на вопрос 5.3 сделаем разумное предположение о его содержании. Как правило, такие задачи предполагают анализ некоторой функции на экстремумы. Возьмем в качестве примера функцию $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5$ и рассмотрим ее на отрезке $[-4, 4]$.

Сначала проведем исследование этой функции, которое могло бы составлять решение задания 5.2:

1. Найдем производную функции. Производная необходима для поиска критических точек.

   $f'(x) = (x^3 - 3x^2 - 9x + 5)' = 3x^2 - 6x - 9$.

2. Найдем критические точки. Для этого приравняем производную к нулю.

   $3x^2 - 6x - 9 = 0$

   $x^2 - 2x - 3 = 0$

   Решая квадратное уравнение (например, с помощью разложения на множители), получаем: $(x-3)(x+1) = 0$.

   Критические точки: $x_1 = -1$ и $x_2 = 3$. Обе точки принадлежат рассматриваемому отрезку $[-4, 4]$.

3. Определим характер критических точек (точки локальных экстремумов). Исследуем знак производной в интервалах, на которые критические точки делят область определения.
   • При $x < -1$ (например, $x=-2$), $f'(-2) = 3(-2)^2 - 6(-2) - 9 = 12 + 12 - 9 = 15 > 0$ (функция возрастает).
   • При $-1 < x < 3$ (например, $x=0$), $f'(0) = -9 < 0$ (функция убывает).
   • При $x > 3$ (например, $x=4$), $f'(4) = 3(4)^2 - 6(4) - 9 = 48 - 24 - 9 = 15 > 0$ (функция возрастает).

   В точке $x=-1$ производная меняет знак с «+» на «−», следовательно, это точка локального максимума. В точке $x=3$ производная меняет знак с «−» на «+», следовательно, это точка локального минимума.

4. Найдем значения функции. Чтобы найти глобальные (абсолютные) экстремумы на отрезке, нужно вычислить значения функции в критических точках и на концах отрезка.
   • $f(-4) = (-4)^3 - 3(-4)^2 - 9(-4) + 5 = -64 - 48 + 36 + 5 = -71$
   • $f(-1) = (-1)^3 - 3(-1)^2 - 9(-1) + 5 = -1 - 3 + 9 + 5 = 10$
   • $f(3) = (3)^3 - 3(3)^2 - 9(3) + 5 = 27 - 27 - 27 + 5 = -22$
   • $f(4) = (4)^3 - 3(4)^2 - 9(4) + 5 = 64 - 48 - 36 + 5 = -15$

Теперь, на основе проведенного анализа, ответим на поставленные вопросы.

а) точки максимума и минимума;

Точки максимума и минимума (также называемые точками глобального или абсолютного экстремума) — это значения аргумента $x$, в которых функция на заданном отрезке достигает своего наибольшего и наименьшего значения. Сравнивая вычисленные значения $f(-4)=-71$, $f(-1)=10$, $f(3)=-22$, $f(4)=-15$, находим:

• Наибольшее значение функции на отрезке $[-4, 4]$ равно $10$ и достигается в точке $x = -1$.
• Наименьшее значение функции на отрезке $[-4, 4]$ равно $-71$ и достигается в точке $x = -4$.

Ответ: точка максимума $x = -1$; точка минимума $x = -4$.

б) точки локального экстремума;

Точки локального экстремума — это значения аргумента $x$, в которых наблюдается локальный максимум или минимум. Из анализа знака производной мы определили, что:

• $x = -1$ — точка локального максимума.
• $x = 3$ — точка локального минимума.

Ответ: точки локального экстремума: $x = -1$ (точка локального максимума), $x = 3$ (точка локального минимума).

в) максимум и минимум;

Максимум и минимум (глобальные или абсолютные) — это, соответственно, наибольшее и наименьшее значения функции на заданном отрезке.

• Максимум функции на отрезке $[-4, 4]$: $\max_{x \in [-4, 4]} f(x) = f(-1) = 10$.
• Минимум функции на отрезке $[-4, 4]$: $\min_{x \in [-4, 4]} f(x) = f(-4) = -71$.

Ответ: максимум функции равен $10$; минимум функции равен $-71$.

г) локальные экстремумы.

Локальные экстремумы — это значения функции в точках локального экстремума.

• Локальный максимум — это значение функции в точке $x=-1$: $f(-1) = 10$.
• Локальный минимум — это значение функции в точке $x=3$: $f(3) = -22$.

Ответ: локальный максимум равен $10$; локальный минимум равен $-22$.