Номер 4.73, страница 114 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 4. Производная. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 4.73, страница 114.

Условие.

4.73 Найдите производную данной функции:

а) $y = \arccos (\pi x)$, $x \in \left(-\frac{1}{\pi}; \frac{1}{\pi}\right)$;

б) $y = \operatorname{arctg} x^3$, $x \in \mathbb{R}$;

в) $y = \arcsin (5x)$, $x \in \left(-\frac{1}{5}; \frac{1}{5}\right)$;

г) $y = (\operatorname{arcctg} (3x))^5$, $x \in \mathbb{R}$;

д) $y = \arccos (-2x)$, $x \in \left(-\frac{1}{2}; \frac{1}{2}\right)$;

е) $y = (\arcsin (4x))^5$, $x \in \left(-\frac{1}{4}; \frac{1}{4}\right)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) Для функции $y = \arccos(\pi x)$ мы используем правило дифференцирования сложной функции (цепное правило). Пусть $u(x) = \pi x$, тогда $y(u) = \arccos(u)$. Производная будет равна $y' = y'(u) \cdot u'(x)$.
Производная от арккосинуса: $(\arccos u)' = -\frac{1}{\sqrt{1-u^2}}$.
Производная от внутренней функции: $(\pi x)' = \pi$.
Собирая все вместе, получаем:
$y' = -\frac{1}{\sqrt{1-(\pi x)^2}} \cdot (\pi x)' = -\frac{1}{\sqrt{1-\pi^2 x^2}} \cdot \pi = -\frac{\pi}{\sqrt{1-\pi^2 x^2}}$.
Ответ: $y' = -\frac{\pi}{\sqrt{1-\pi^2 x^2}}$.

б) Для функции $y = \operatorname{arctg}(x^3)$ также применим цепное правило. Пусть $u(x) = x^3$, тогда $y(u) = \operatorname{arctg}(u)$.
Производная от арктангенса: $(\operatorname{arctg} u)' = \frac{1}{1+u^2}$.
Производная от внутренней функции: $(x^3)' = 3x^2$.
Таким образом, производная исходной функции равна:
$y' = \frac{1}{1+(x^3)^2} \cdot (x^3)' = \frac{1}{1+x^6} \cdot 3x^2 = \frac{3x^2}{1+x^6}$.
Ответ: $y' = \frac{3x^2}{1+x^6}$.

в) Для функции $y = \arcsin(5x)$ используем цепное правило. Пусть $u(x) = 5x$, тогда $y(u) = \arcsin(u)$.
Производная от арксинуса: $(\arcsin u)' = \frac{1}{\sqrt{1-u^2}}$.
Производная от внутренней функции: $(5x)' = 5$.
Собирая все вместе, получаем:
$y' = \frac{1}{\sqrt{1-(5x)^2}} \cdot (5x)' = \frac{1}{\sqrt{1-25x^2}} \cdot 5 = \frac{5}{\sqrt{1-25x^2}}$.
Ответ: $y' = \frac{5}{\sqrt{1-25x^2}}$.

г) Для функции $y = (\operatorname{arcctg}(3x))^5$ применяем цепное правило несколько раз. Сначала для степенной функции $y=u^5$, где $u = \operatorname{arcctg}(3x)$.
$y' = (u^5)' = 5u^4 \cdot u' = 5(\operatorname{arcctg}(3x))^4 \cdot (\operatorname{arcctg}(3x))'$.
Теперь найдем производную от $u = \operatorname{arcctg}(3x)$. Это снова сложная функция. Пусть $v=3x$.
Производная от арккотангенса: $(\operatorname{arcctg} v)' = -\frac{1}{1+v^2}$.
$(\operatorname{arcctg}(3x))' = -\frac{1}{1+(3x)^2} \cdot (3x)' = -\frac{1}{1+9x^2} \cdot 3 = -\frac{3}{1+9x^2}$.
Подставляем это в выражение для $y'$:
$y' = 5(\operatorname{arcctg}(3x))^4 \cdot \left(-\frac{3}{1+9x^2}\right) = -\frac{15(\operatorname{arcctg}(3x))^4}{1+9x^2}$.
Ответ: $y' = -\frac{15(\operatorname{arcctg}(3x))^4}{1+9x^2}$.

д) Для функции $y = \arccos(-2x)$ используем цепное правило. Пусть $u(x) = -2x$, тогда $y(u) = \arccos(u)$.
Производная от арккосинуса: $(\arccos u)' = -\frac{1}{\sqrt{1-u^2}}$.
Производная от внутренней функции: $(-2x)' = -2$.
Следовательно, производная равна:
$y' = -\frac{1}{\sqrt{1-(-2x)^2}} \cdot (-2x)' = -\frac{1}{\sqrt{1-4x^2}} \cdot (-2) = \frac{2}{\sqrt{1-4x^2}}$.
Ответ: $y' = \frac{2}{\sqrt{1-4x^2}}$.

е) Для функции $y = (\arcsin(4x))^5$ применяем цепное правило. Сначала для степенной функции $y=u^5$, где $u = \arcsin(4x)$.
$y' = (u^5)' = 5u^4 \cdot u' = 5(\arcsin(4x))^4 \cdot (\arcsin(4x))'$.
Теперь найдем производную от $u = \arcsin(4x)$. Пусть $v=4x$.
Производная от арксинуса: $(\arcsin v)' = \frac{1}{\sqrt{1-v^2}}$.
$(\arcsin(4x))' = \frac{1}{\sqrt{1-(4x)^2}} \cdot (4x)' = \frac{1}{\sqrt{1-16x^2}} \cdot 4 = \frac{4}{\sqrt{1-16x^2}}$.
Подставляем это в выражение для $y'$:
$y' = 5(\arcsin(4x))^4 \cdot \frac{4}{\sqrt{1-16x^2}} = \frac{20(\arcsin(4x))^4}{\sqrt{1-16x^2}}$.
Ответ: $y' = \frac{20(\arcsin(4x))^4}{\sqrt{1-16x^2}}$.