Номер 4.70, страница 114 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 4. Производная. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 4.70, страница 114.

Условие.

4.70° По какой формуле находят производную данной функции, используя производную обратной к ней функции?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Пусть дана дифференцируемая функция $y = f(x)$, и для нее существует обратная функция $x = g(y)$, которая также является дифференцируемой. Чтобы найти формулу для производной $f'(x)$, воспользуемся тождеством, связывающим прямую и обратную функции:

$g(f(x)) = x$

Продифференцируем обе части этого тождества по переменной $x$. Для левой части применим правило дифференцирования сложной функции (цепное правило):

$(g(f(x)))' = (x)'$

$g'(f(x)) \cdot f'(x) = 1$

Теперь из полученного уравнения выразим искомую производную $f'(x)$:

$f'(x) = \frac{1}{g'(f(x))}$

Данная формула означает, что значение производной прямой функции в точке $x_0$ равно обратной величине значения производной обратной функции в соответствующей точке $y_0 = f(x_0)$. Важно, чтобы знаменатель, то есть $g'(f(x))$, не был равен нулю.

В обозначениях Лейбница эта зависимость выглядит более интуитивно. Если производная прямой функции обозначается как $\frac{dy}{dx}$, а производная обратной функции как $\frac{dx}{dy}$, то формула принимает вид:

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\frac{dx}{dy}}$

Ответ: Производную функции $y=f(x)$ находят, используя производную обратной к ней функции $x=g(y)$, по формуле $f'(x) = \frac{1}{g'(f(x))}$. В обозначениях Лейбница эта формула записывается как $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\frac{dx}{dy}}$.