Номер 4.67, страница 111 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Функции. Производные. Интегралы. Параграф 4. Производная - номер 4.67, страница 111.

Условие.

4.67* Вычислите значение производной функции в указанных точках $x_1$ и $x_2$:

а) $y = (x - 2)^{20}$, $x_1 = 1$, $x_2 = 3$;

б) $y = (x + 5)^{21}$, $x_1 = -6$, $x_2 = -4$;

в) $y = (2x - 11)^{100}$, $x_1 = 5$, $x_2 = 6$;

г) $y = (2x - 3)^{1001}$, $x_1 = 1$, $x_2 = 2$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Для решения задачи во всех пунктах используется правило нахождения производной сложной функции (также известное как цепное правило). Если функция имеет вид $y = (f(x))^n$, то ее производная равна $y' = n \cdot (f(x))^{n-1} \cdot f'(x)$.

а) Дана функция $y = (x - 2)^{20}$ и точки $x_1 = 1, x_2 = 3$.

1. Найдем производную функции. В данном случае $f(x) = x - 2$ и $n = 20$. Производная внутренней функции $f'(x) = (x - 2)' = 1$.
$y' = 20 \cdot (x - 2)^{20-1} \cdot (x-2)' = 20(x-2)^{19} \cdot 1 = 20(x-2)^{19}$.

2. Вычислим значение производной в точке $x_1 = 1$:
$y'(1) = 20(1-2)^{19} = 20(-1)^{19} = 20 \cdot (-1) = -20$.

3. Вычислим значение производной в точке $x_2 = 3$:
$y'(3) = 20(3-2)^{19} = 20(1)^{19} = 20 \cdot 1 = 20$.

Ответ: $y'(1) = -20$, $y'(3) = 20$.

б) Дана функция $y = (x + 5)^{21}$ и точки $x_1 = -6, x_2 = -4$.

1. Найдем производную функции. Здесь $f(x) = x + 5$, $n = 21$. Производная внутренней функции $f'(x) = (x + 5)' = 1$.
$y' = 21 \cdot (x + 5)^{21-1} \cdot (x+5)' = 21(x+5)^{20} \cdot 1 = 21(x+5)^{20}$.

2. Вычислим значение производной в точке $x_1 = -6$:
$y'(-6) = 21(-6+5)^{20} = 21(-1)^{20} = 21 \cdot 1 = 21$.

3. Вычислим значение производной в точке $x_2 = -4$:
$y'(-4) = 21(-4+5)^{20} = 21(1)^{20} = 21 \cdot 1 = 21$.

Ответ: $y'(-6) = 21$, $y'(-4) = 21$.

в) Дана функция $y = (2x - 11)^{100}$ и точки $x_1 = 5, x_2 = 6$.

1. Найдем производную функции. Здесь $f(x) = 2x - 11$, $n = 100$. Производная внутренней функции $f'(x) = (2x - 11)' = 2$.
$y' = 100 \cdot (2x - 11)^{100-1} \cdot (2x-11)' = 100(2x - 11)^{99} \cdot 2 = 200(2x - 11)^{99}$.

2. Вычислим значение производной в точке $x_1 = 5$:
$y'(5) = 200(2 \cdot 5 - 11)^{99} = 200(10 - 11)^{99} = 200(-1)^{99} = 200 \cdot (-1) = -200$.

3. Вычислим значение производной в точке $x_2 = 6$:
$y'(6) = 200(2 \cdot 6 - 11)^{99} = 200(12 - 11)^{99} = 200(1)^{99} = 200 \cdot 1 = 200$.

Ответ: $y'(5) = -200$, $y'(6) = 200$.

г) Дана функция $y = (2x - 3)^{1001}$ и точки $x_1 = 1, x_2 = 2$.

1. Найдем производную функции. Здесь $f(x) = 2x - 3$, $n = 1001$. Производная внутренней функции $f'(x) = (2x - 3)' = 2$.
$y' = 1001 \cdot (2x - 3)^{1001-1} \cdot (2x - 3)' = 1001(2x - 3)^{1000} \cdot 2 = 2002(2x - 3)^{1000}$.

2. Вычислим значение производной в точке $x_1 = 1$:
$y'(1) = 2002(2 \cdot 1 - 3)^{1000} = 2002(2 - 3)^{1000} = 2002(-1)^{1000} = 2002 \cdot 1 = 2002$.

3. Вычислим значение производной в точке $x_2 = 2$:
$y'(2) = 2002(2 \cdot 2 - 3)^{1000} = 2002(4 - 3)^{1000} = 2002(1)^{1000} = 2002 \cdot 1 = 2002$.

Ответ: $y'(1) = 2002$, $y'(2) = 2002$.